نظرية القياس

تُفسر النسخة "المتغيرة قياسًا" من نظرية القياس هذا التأثير من خلال إدخال حقل قياس (يُسمى رياضيًا اتصال إهرسمان ) وصياغة جميع معدلات التغير بدلالة المشتقة المتغيرة بالنسبة لهذا الاتصال. يصبح حقل القياس جزءًا أساسيًا من وصف التكوين الرياضي. يتميز التكوين الذي يمكن فيه حذف حقل القياس بتحويل قياس بأن قوة حقله (أو انحنائه رياضيًا ) تساوي صفرًا في كل مكان؛ ولا تقتصر نظرية القياس على هذه التكوينات. بعبارة أخرى، السمة المميزة لنظرية القياس هي أن حقل القياس لا يُعوض فقط عن اختيار غير مناسب لنظام الإحداثيات؛ فعمومًا لا يوجد تحويل قياس يُؤدي إلى تلاشي حقل القياس.

عند تحليل ديناميكيات نظرية القياس، يجب التعامل مع حقل القياس كمتغير ديناميكي، على غرار العناصر الأخرى في وصف الحالة الفيزيائية. بالإضافة إلى تفاعله مع العناصر الأخرى عبر المشتقة المتغيرة، يُساهم حقل القياس عادةً بالطاقة في صورة حد "الطاقة الذاتية". ويمكن الحصول على معادلات نظرية القياس من خلال:

• انطلاقاً من فرضية ساذجة بدون حقل القياس (حيث تظهر المشتقات في شكل "مجرد")؛
• سرد تلك التناظرات العالمية للنظرية التي يمكن وصفها بواسطة معلمة مستمرة (عادة ما تكون مكافئًا مجردًا لزاوية الدوران)؛
• حساب معاملات التصحيح الناتجة عن السماح لمعامل التناظر بالتغير من مكان لآخر؛ و
• إعادة تفسير مصطلحات التصحيح هذه على أنها اقترانات بحقل قياس واحد أو أكثر، وإعطاء هذه الحقول مصطلحات الطاقة الذاتية المناسبة والسلوك الديناميكي.

هذا هو المعنى الذي تقوم به نظرية القياس "بتوسيع" التناظر العالمي إلى تناظر محلي، وتشبه إلى حد كبير التطور التاريخي لنظرية قياس الجاذبية المعروفة باسم النسبية العامة .

تستخدم نظريات القياس لنمذجة نتائج التجارب الفيزيائية في:

• حصر نطاق التكوينات الممكنة بتلك المتوافقة مع المعلومات المستخدمة في إعداد التجربة، ثم
• حساب التوزيع الاحتمالي للنتائج المحتملة التي صُممت التجربة لقياسها.

لا يمكننا التعبير عن الأوصاف الرياضية لـ "معلومات الإعداد" و"نتائج القياس المحتملة"، أو "الشروط الحدية" للتجربة، دون الرجوع إلى نظام إحداثيات محدد، بما في ذلك اختيار المقياس. يفترض المرء تجربة مناسبة معزولة عن التأثيرات "الخارجية"، وهو افتراض يعتمد في حد ذاته على المقياس. يُعد سوء التعامل مع حسابات اعتماد المقياس في الشروط الحدية مصدرًا متكررًا للشذوذ ، وتُصنف مناهج تجنب الشذوذ نظريات المقياس .

تُعدّ نظريتا القياس المذكورتان أعلاه، وهما الديناميكا الكهربائية المتصلة والنسبية العامة، نظريات حقل متصلة. وتفترض تقنيات الحساب في نظرية متصلة ضمنيًا ما يلي:

• بالنظر إلى اختيار ثابت تمامًا للمقياس، يتم وصف الشروط الحدية لتكوين فردي بشكل كامل
• بافتراض وجود مقياس ثابت تمامًا ومجموعة كاملة من الشروط الحدية، فإن أقل فعل يحدد تكوينًا رياضيًا فريدًا، وبالتالي حالة فيزيائية فريدة تتوافق مع هذه الحدود.
• لا يؤدي تثبيت المقياس إلى ظهور أي شذوذ في الحساب، سواء بسبب اعتماد المقياس في وصف المعلومات الجزئية حول الشروط الحدية أو بسبب عدم اكتمال النظرية.

يتم تحديد احتمالية نتائج القياس المحتملة من خلال:

• تحديد توزيع احتمالي لجميع الحالات الفيزيائية التي تحددها الشروط الحدية المتوافقة مع معلومات الإعداد
• تحديد توزيع احتمالي لنتائج القياس لكل حالة فيزيائية ممكنة
• يتم دمج توزيعي الاحتمال هذين للحصول على توزيع لنتائج القياس المحتملة بما يتوافق مع معلومات الإعداد.

تتمتع هذه الافتراضات بصحة كافية عبر نطاق واسع من مقاييس الطاقة والظروف التجريبية للسماح لهذه النظريات بتقديم تنبؤات دقيقة حول جميع الظواهر التي نواجهها في الحياة اليومية تقريبًا: الضوء والحرارة والكهرباء والكسوف والرحلات الفضائية وما إلى ذلك. إنها تفشل فقط على أصغر وأكبر المقاييس بسبب أوجه القصور في النظريات نفسها، وعندما تنهار التقنيات الرياضية نفسها، لا سيما في حالة الاضطراب والظواهر الفوضوية الأخرى .

إلى جانب نظريات الحقول المتصلة الكلاسيكية، تُعدّ نظريات الحقول الكمومية ، بما فيها الديناميكا الكهربائية الكمومية والنموذج القياسي لفيزياء الجسيمات الأولية، من أكثر نظريات القياس شيوعًا. تنطلق نظرية الحقل الكمومي من نظيرتها المتصلة، وهي عبارة عن تكامل فعل متغير القياس يُحدد الحالات الفيزيائية "المسموح بها" وفقًا لمبدأ الفعل الأدنى . مع ذلك، تختلف النظريات المتصلة والكمومية اختلافًا كبيرًا في كيفية تعاملها مع درجات الحرية الزائدة التي تُمثلها تحويلات القياس. تستخدم النظريات المتصلة، ومعظم المعالجات التعليمية لأبسط نظريات الحقول الكمومية، وصفة تثبيت القياس لتقليص نطاق التكوينات الرياضية التي تُمثل حالة فيزيائية معينة إلى نطاق أصغر مرتبط بمجموعة قياس أصغر (مجموعة التناظر الكلية، أو ربما حتى المجموعة التافهة).

تُكسر نظريات الحقول الكمومية الأكثر تعقيدًا، ولا سيما تلك التي تتضمن زمرة قياس غير تبديلية، تناظر القياس ضمن تقنيات نظرية الاضطراب عن طريق إدخال حقول إضافية ( أشباح فاديف-بوبوف ) وحدود مضادة مدفوعة بإلغاء الشذوذ ، في نهج يُعرف باسم تكميم BRST . وبينما تُعد هذه الاعتبارات تقنية للغاية من وجهة نظر معينة، إلا أنها ترتبط ارتباطًا وثيقًا بطبيعة القياس، وحدود معرفة الوضع الفيزيائي، والتفاعلات بين الظروف التجريبية غير المحددة بدقة والنظرية الفيزيائية غير المفهومة تمامًا. وقد وجدت التقنيات الرياضية التي طُوّرت لجعل نظريات القياس قابلة للتطبيق العديد من التطبيقات الأخرى، من فيزياء الحالة الصلبة وعلم البلورات إلى الطوبولوجيا منخفضة الأبعاد .

في علم الكهرباء الساكنة ، يمكن مناقشة المجال الكهربائي، E ، أو الجهد الكهربائي المقابل له ، V. معرفة أحدهما تُمكّن من إيجاد الآخر، باستثناء أن الجهود التي تختلف بمقدار ثابت،${\displaystyle V\mapsto V+C}$تُشير هذه القيم إلى نفس المجال الكهربائي. وذلك لأن المجال الكهربائي يرتبط بتغيرات الجهد من نقطة إلى أخرى في الفضاء، والثابت C يُلغى عند الطرح لإيجاد تغير الجهد. من منظور حساب المتجهات ، يُعتبر المجال الكهربائي هو تدرج الجهد.${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V}$بتعميم مفهوم الكهرباء الساكنة على الكهرومغناطيسية، نحصل على جهد ثانٍ، وهو الجهد الشعاعي A ، مع

${\displaystyle {\begin{align}\mathbf {E} &=-\nabla V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\\\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \end{محاذاة}}}$

لم تعد تحويلات القياس العامة الآن مجرد${\displaystyle V\mapsto V+C}$لكن

${\displaystyle {\begin{align}\mathbf {A} &\mapsto \mathbf {A} +\nabla f\\V&\mapsto V-{\frac {\partial f}{\partial t}}\end{محاذاة}}}$

حيث f هي أي دالة قابلة للتفاضل مرتين بشكل مستمر وتعتمد على الموضع والزمن. وتبقى المجالات الكهرومغناطيسية كما هي تحت تحويل القياس.

يتطلب الجزء المتبقي من هذا القسم بعض الإلمام بنظرية المجال الكلاسيكية أو الكمومية ، واستخدام اللاغرانجيان .

التعريفات الواردة في هذا القسم: مجموعة القياس ، حقل القياس ، لاغرانجيان التفاعل ، بوزون القياس .

يوضح ما يلي كيف يمكن "تحفيز" ثبات القياس المحلي بشكل استدلالي بدءًا من خصائص التناظر العالمي، وكيف يؤدي ذلك إلى تفاعل بين الحقول غير المتفاعلة في الأصل.

لنفترض مجموعة من${\displaystyle n}$حقول قياسية حقيقية غير متفاعلة ، ذات كتل متساوية m . يوصف هذا النظام بفعل هو مجموع الفعل (المعتاد) لكل حقل قياسي.${\displaystyle \varphi _{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \,\mathrm {d} ^{4}x\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi _{i}\partial ^{\mu }\varphi _{i}-{\frac {1}{2}}m^{2}\varphi _{i}^{2}\right]}$

يمكن كتابة دالة لاغرانج (الكثافة) بشكل مختصر على النحو التالي

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}\partial ^{\mu }\Phi - {\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{\mathsf {T}}\Phi }$

عن طريق إدخال متجه من الحقول

${\displaystyle \ \Phi ^{\mathsf {T}}=(\varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n})}$

على المدى${\displaystyle \partial _{\mu }\Phi }$هي المشتقة الجزئية لـ${\displaystyle \Phi }$على طول البعد${\displaystyle \mu }$.

بات من الواضح الآن أن لاغرانجيان ثابت تحت التحويل

${\displaystyle \ \Phi \mapsto \Phi '=G\Phi }$

عندما تكون G مصفوفة ثابتة تنتمي إلى المجموعة المتعامدة O( n ) من الرتبة n × n . ويُلاحظ أن هذا يحافظ على لاغرانجيان، لأن مشتقة${\displaystyle \Phi '}$يتحول بشكل مطابق إلى${\displaystyle \Phi }$وتظهر كلتا الكميتين داخل الضرب النقطي في لاغرانجيان (التحويلات المتعامدة تحافظ على الضرب النقطي).

${\displaystyle \ (\partial _{\mu }\Phi )\mapsto (\partial _{\mu }\Phi )'=G\partial _{\mu }\Phi }$

هذا ما يميز التناظر العالمي لهذا اللاغرانجي المحدد، وغالبًا ما تُسمى مجموعة التناظر بمجموعة القياس ؛ ويُطلق عليها رياضيًا اسم مجموعة البنية ، خاصة في نظرية البنى-G. وبالمناسبة، تنص نظرية نوثر على أن الثبات تحت هذه المجموعة من التحويلات يؤدي إلى حفظ التيارات .

${\displaystyle \ J_{\mu }^{a}=i\partial _{\mu }\Phi ^{\mathsf {T}}T^{a}\Phi }$

حيث تمثل المصفوفات T ^a مولدات لمجموعة SO( n ). يوجد تيار محفوظ واحد لكل مولد.

الآن، يتطلب اشتراط أن يكون لهذا اللاغرانجيان ثبات محلي من الدرجة O( n ) أن يُسمح لمصفوفات G (التي كانت ثابتة سابقًا) بأن تصبح دوالًا لإحداثيات الزمكان x .

في هذه الحالة، لا "تمر" مصفوفات G عبر المشتقات، عندما G = G ( x )،

${\displaystyle \ \partial _{\mu }(G\Phi )\neq G(\partial _{\mu }\Phi )}$

يؤدي عدم تبادل المشتقة مع "G" إلى ظهور حد إضافي (وفقًا لقاعدة الضرب)، مما يُخلّ بثبات لاغرانجيان. ولتصحيح ذلك، نُعرّف مُؤثر اشتقاق جديدًا بحيث تكون مشتقة${\displaystyle \Phi '}$يتحول مرة أخرى بشكل مطابق مع${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \ (D_{\mu }\Phi )'=GD_{\mu }\Phi }$

يُطلق على هذا "المشتق" الجديد اسم المشتق المتغير (المقياسي) ويأخذ الشكل التالي

${\displaystyle \ D_{\mu }=\جزئي _{\mu }-igA_{\mu }}$

حيث يُسمى g ثابت الاقتران؛ وهو كمية تُحدد قوة التفاعل. بعد حساب بسيط، يمكننا أن نرى أن حقل القياس A ( x ) يجب أن يتحول على النحو التالي

${\displaystyle \ A'_{\mu }=GA_{\mu }G^{-1}-{\frac {i}{g}}(\partial _{\mu }G)G^{-1}}$

يُعد حقل القياس عنصرًا من عناصر جبر لي، وبالتالي يمكن توسيعه على النحو التالي:

${\displaystyle \ A_{\mu }=\sum _{a}A_{\mu }^{a}T^{a}}$

وبالتالي، يوجد عدد من حقول القياس يساوي عدد مولدات جبر لي.

وأخيرًا، لدينا الآن لاغرانجيان ثابت المقياس محليًا

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {loc}}={\frac {1}{2}}(D_{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}D^{\mu}\Phi - {\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{\mathsf {T}}\Phi }$

يستخدم باولي مصطلح تحويل القياس من النوع الأول للدلالة على تحويل${\displaystyle \Phi }$، بينما التحول التعويضي في${\displaystyle A}$يُطلق عليه اسم تحويل القياس من النوع الثاني .

يُلاحظ أن الفرق بين هذا اللاغرانجي واللاغرانجي الأصلي الثابت عالميًا هو لاغرانجي التفاعل

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }=i{\frac {g}{2}}\Phi ^{\mathsf {T}}A_{\mu }^{\mathsf {T}}\partial ^{\mu }\Phi +i{\frac {g}{2}}(\partial _{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}A^{\mu }\Phi -{\frac {g^{2}}{2}}(A_{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}A^{\mu }\Phi }$

يُدخل هذا الحد تفاعلات بين الحقول العددية n كنتيجة مباشرة لمتطلبات ثبات القياس المحلي. مع ذلك، لجعل هذا التفاعل فيزيائيًا وليس عشوائيًا تمامًا، يجب أن ينتشر الوسيط A ( x ) في الفضاء. سيتم تناول ذلك في القسم التالي بإضافة حد آخر.${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }}$بالنسبة إلى لاغرانجيان. في النسخة الكمومية من نظرية الحقل الكلاسيكية المُستنتجة ، تُسمى كمات حقل القياس A ( x ) بوزونات القياس . يُفسَّر لاغرانجيان التفاعل في نظرية الحقل الكمومي على أنه تفاعل بوزونات قياسية من خلال تبادل بوزونات القياس هذه.

تكاد صورة نظرية القياس الكلاسيكية التي طُورت في القسم السابق أن تكون مكتملة، باستثناء حقيقة أنه لتعريف المشتقات المتغيرة D ، يحتاج المرء إلى معرفة قيمة حقل القياس.${\displaystyle A(x)}$في جميع نقاط الزمكان. بدلاً من تحديد قيم هذا الحقل يدويًا، يمكن التعبير عنه كحل لمعادلة حقل. ويشترط أيضًا أن يكون لاغرانجيان الذي يُولّد معادلة الحقل هذه ثابتًا محليًا تحت التحويلات القياسية، ومن الأشكال الممكنة للاغرانجيان حقل القياس ما يلي:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{gf}}=-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }\right)=-{\frac {1}{4}}F^{a\mu \nu }F_{\mu \nu }^{a}}$

حيث${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}}$يتم الحصول عليها من الإمكانات${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$، كونها مكونات${\displaystyle A(x)}$، بواسطة

${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+g\sum _{b,c}f^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}}$

و${\displaystyle f^{abc}}$هي ثوابت البنية لجبر لي لمولدات مجموعة القياس. يُطلق على هذه الصيغة من لاغرانجيان اسم فعل يانغ-ميلز . توجد أيضًا أفعال أخرى ثابتة القياس (مثل الديناميكا الكهربائية غير الخطية ، وفعل بورن-إنفيلد ، ونموذج تشيرن-سيمونز ، وحد ثيتا ، إلخ).

في هذا المصطلح اللاغرانجي، لا يوجد حقل يكون تحويله معاكساً لتحويل حقل آخر.${\displaystyle A}$يُعدّ ثبات هذا الحدّ تحت تحويلات القياس حالةً خاصةً من التناظر الكلاسيكي (الهندسي) المسبق . يجب تقييد هذا التناظر لإجراء التكميم، وتُسمى هذه العملية تثبيت القياس ، ولكن حتى بعد التقييد، قد تكون تحويلات القياس ممكنة. ^{[ 13 ]}

أصبح الآن لاغرانجيان الكامل لنظرية القياس

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\text{loc}}+{\mathcal {L}}_{\text{gf}}={\mathcal {L}}_{\text{global}}+{\mathcal {L}}_{\text{int}}+{\mathcal {L}}_{\text{gf}}}$

كتطبيق بسيط للصيغة المطورة في الأقسام السابقة، لننظر في حالة الديناميكا الكهربائية ، مع وجود مجال الإلكترون فقط . إن الفعل الأساسي الذي يُولّد معادلة ديراك لمجال الإلكترون هو

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc^{2}\right)\psi \,\mathrm {d} ^{4}x}$

التناظر العالمي لهذا النظام هو

${\displaystyle \psi \mapsto e^{i\theta }\psi }$

مجموعة القياس هنا هي U(1) ، مجرد دورانات لزاوية الطور للحقل، مع تحديد الدوران المحدد بواسطة الثابت θ .

يستلزم "تحديد موضع" هذا التناظر استبدال θ بـ θ ( x ) . ومن ثم، يكون المشتق المتغير المناسب هو

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-i{\frac {e}{\hbar }}A_{\mu }}$

إن تعريف "الشحنة" e (لا ينبغي الخلط بينها وبين الثابت الرياضي e في وصف التناظر) بالشحنة الكهربائية المعتادة (وهذا هو أصل استخدام المصطلح في نظريات القياس)، وتعريف حقل القياس A ( x ) بالجهد الرباعي المتجه للحقل الكهرومغناطيسي ، ينتج عنه لاغرانجيان تفاعلي

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{int}}={\frac {e}{\hbar }}{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x)A_{\mu }(x)=J^{\mu }(x)A_{\mu }(x)}$

أين${\displaystyle J^{\mu }(x)={\frac {e}{\hbar }}{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x)}$يمثل التيار الكهربائي متجهًا رباعيًا في حقل ديراك . ومن ثم، يُلاحظ أن مبدأ القياس يُدخل بشكل طبيعي ما يُسمى بالاقتران الأدنى بين المجال الكهرومغناطيسي ومجال الإلكترون.

إضافة دالة لاغرانجية لحقل القياس${\displaystyle A_{\mu }(x)}$من حيث موتر قوة المجال تمامًا كما هو الحال في الديناميكا الكهربائية، يحصل المرء على لاغرانجيان المستخدم كنقطة بداية في الديناميكا الكهربائية الكمومية .

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{QED}}={\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\mu }D_{\mu }-mc^{2}\right)\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$

كانت الديناميكا الكهربائية الكمومية (QED) أول نظرية قياس تم تكميمها . تضمنت الطرق الأولى التي طُوّرت لهذا الغرض تثبيت القياس ثم تطبيق التكميم الكنسي . كما طُوّرت طريقة غوبتا-بلولر لمعالجة هذه المشكلة. تُعالج نظريات القياس غير التبادلية الآن بوسائل متنوعة. تُغطى طرق التكميم في مقالة التكميم .

يكمن الهدف الرئيسي من التكميم في القدرة على حساب السعات الكمومية لمختلف العمليات التي تسمح بها النظرية. من الناحية التقنية، تُختزل هذه العمليات إلى حسابات دوال ارتباط معينة في حالة الفراغ . وهذا يتطلب إعادة تطبيع النظرية.

عندما يكون ثابت الاقتران المتغير للنظرية صغيرًا بما يكفي، يمكن حساب جميع الكميات المطلوبة في نظرية الاضطراب . تُسمى مخططات التكميم التي تهدف إلى تبسيط هذه الحسابات (مثل التكميم الكنسي ) بمخططات التكميم الاضطرابي . في الوقت الحاضر، تُتيح بعض هذه الطرق إجراء أدق الاختبارات التجريبية لنظريات القياس.

مع ذلك، في معظم نظريات القياس، توجد العديد من المسائل المهمة التي لا تخضع لنظرية الاضطراب. ويمكن تسمية مخططات التكميم المناسبة لهذه المسائل (مثل نظرية قياس الشبكة ) بمخططات التكميم غير الاضطرابية . وغالبًا ما تتطلب الحسابات الدقيقة في هذه المخططات استخدام الحوسبة الفائقة ، ولذلك فهي أقل تطورًا حاليًا من المخططات الأخرى.

يتضح من ذلك أن بعض تناظرات النظرية الكلاسيكية لا تنطبق على نظرية الكم؛ وهي ظاهرة تُعرف باسم الشذوذ . ومن أشهرها:

• يؤدي شذوذ المقياس ، الذي ينتج عنه ثابت اقتران متغير ، إلى ظهور ظاهرة قطب لاندو في الديناميكا الكهربائية الكمية . أما في الديناميكا اللونية الكمية ، فيؤدي ذلك إلى الحرية التقاربية .
• الشذوذ الكيرالي في نظريات الحقول الكيرالية أو المتجهة التي تحتوي على فرميونات. يرتبط هذا الشذوذ ارتباطًا وثيقًا بالطوبولوجيا من خلال مفهوم الإنستانتونات . في الديناميكا اللونية الكمومية، يتسبب هذا الشذوذ في تحلل البيون إلى فوتونين .
• الشذوذ القياسي ، الذي يجب أن يُلغى في أي نظرية فيزيائية متسقة. في النظرية الكهروضعيفة، يتطلب هذا الإلغاء تساوي عدد الكواركات واللبتونات .