متعددة حدود جونز

في مجال نظرية العقد الرياضية ، تُعدّ متعددة حدود جونز متعددة حدود للعقد اكتشفها فوغان جونز عام 1984. ^{[ 1 ] [ 2 ]} وتحديدًا، هي ثابت للعقدة أو الرابط الموجه ، حيث تُسند لكل عقدة أو رابط موجه متعددة حدود لوران في المتغير.${\displaystyle t^{1/2}}$بمعاملات صحيحة . ^{[ 3 ]}​

لنفترض أن لدينا رابطًا موجهًا${\displaystyle L}$، مُعطاة على شكل مخطط عقدي . سنُعرّف متعددة حدود جونز${\displaystyle V(L)}$باستخدام متعددة الحدود ذات الأقواس للويس كوفمان ، والتي نرمز إليها بـ${\displaystyle \langle ~\rangle }$هنا، تمثل كثيرة الحدود بين القوسين كثيرة حدود لوران في المتغير${\displaystyle A}$بمعاملات صحيحة.

أولاً، نقوم بتعريف متعددة الحدود المساعدة (المعروفة أيضًا باسم متعددة الحدود ذات الأقواس المعيارية).

${\displaystyle X(L)=(-A^{3})^{-w(L)}\langle L\rangle ,}$

أين${\displaystyle w(L)}$يدل على التواء${\displaystyle L}$في الرسم التخطيطي المعطى. انحناء الرسم التخطيطي هو عدد التقاطعات الموجبة (${\displaystyle L_{+}}$(كما هو موضح في الشكل أدناه) مطروحًا منه عدد التقاطعات السالبة (${\displaystyle L_{-}}$). لا يُعدّ الالتواء ثابتًا للعقدة.

${\displaystyle X(L)}$هو ثابت العقدة لأنه ثابت تحت تغييرات مخطط${\displaystyle L}$بواسطة حركات ريديميستر الثلاث . وينتج الثبات تحت حركات ريديميستر من النوع الثاني والثالث من ثبات القوس تحت تلك الحركات. ومن المعروف أن متعددة حدود القوس تتغير بمعامل${\displaystyle -A^{\pm 3}}$بموجب حركة ريديميستر من النوع الأول. تعريف${\displaystyle X}$تم تصميم متعددة الحدود المذكورة أعلاه لإلغاء هذا التغيير، حيث يتغير الالتواء بشكل مناسب بواسطة${\displaystyle +1}$أو${\displaystyle -1}$بموجب النوع الأول من الحركات.

والآن قم بإجراء الاستبدال${\displaystyle A=t^{-1/4}}$في${\displaystyle X(L)}$للحصول على متعددة حدود جونز${\displaystyle V(L)}$ينتج عن ذلك متعددة حدود لوران ذات معاملات صحيحة في المتغير${\displaystyle t^{1/2}}$.

استمدّ جونز صياغته الأصلية لكثير الحدود من دراسته لجبر المؤثرات. وفي منهج جونز، نتجت هذه الصياغة عن نوع من "أثر" تمثيل جديلة معين في جبر نشأ أصلاً أثناء دراسة نماذج معينة، مثل نموذج بوتس ، في الميكانيكا الإحصائية .

لنفترض وجود وصلة L. تنص نظرية ألكسندر على أنها تمثل الإغلاق الأثري لضفيرة، ولتكن مكونة من n خيطًا. الآن، لنُعرّف تمثيلًا${\displaystyle \rho }$تحويل مجموعة الجدائل على n خيطًا، B _n ، إلى جبر تمبرلي-ليب${\displaystyle \operatorname {TL} _{n}}$بمعاملات في${\displaystyle \mathbb {Z} [A,A^{-1}]}$و${\displaystyle \delta =-A^{2}-A^{-2}}$ مولد الجدائل القياسي${\displaystyle \sigma _{i}}$يتم إرسالها إلى${\displaystyle A\cdot e_{i}+A^{-1}\cdot 1}$، أين${\displaystyle 1,e_{1},\dots ,e_{n-1}}$هي المولدات القياسية لجبر تمبرلي-ليب. ويمكن التحقق بسهولة من أن هذا يحدد تمثيلاً.

خذ كلمة الضفيرة${\displaystyle \sigma }$تم الحصول عليها سابقًا من${\displaystyle L}$واحسب${\displaystyle \delta ^{n-1}\operatorname {tr} \rho (\sigma )}$أين${\displaystyle \operatorname {tr} }$هذا هو أثر ماركوف . وهذا يعطي${\displaystyle \langle L\rangle }$، أين${\displaystyle \langle }$${\displaystyle \rangle }$هي متعددة الحدود بين قوسين. ويمكن ملاحظة ذلك من خلال اعتبار جبر تمبرلي-ليب، كما فعل لويس كوفمان ، كجبر تخطيطي خاص.

تتمثل إحدى مزايا هذا النهج في أنه يمكن للمرء اختيار تمثيلات مماثلة في جبريات أخرى، مثل تمثيلات المصفوفة R ، مما يؤدي إلى "ثوابت جونز المعممة".

تتميز متعددة حدود جونز بأخذ القيمة 1 على أي رسم تخطيطي للعقدة غير المكتملة، وتفي بعلاقة الخيط التالية :

${\displaystyle (t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-})\,}$

أين${\displaystyle L_{+}}$،${\displaystyle L_{-}}$، و${\displaystyle L_{0}}$هي ثلاثة مخططات ربط موجهة متطابقة باستثناء منطقة صغيرة واحدة حيث تختلف من خلال تغييرات التقاطع أو التنعيم الموضحة في الشكل أدناه:

إن تعريف متعددة حدود جونز بواسطة القوس يجعل من السهل إثبات أنه بالنسبة للعقدة${\displaystyle K}$، تُعطى متعددة حدود جونز لصورتها المرآوية عن طريق استبدال${\displaystyle t^{-1}}$ل${\displaystyle t}$في${\displaystyle V(K)}$وبالتالي، فإن العقدة المزدوجة ، وهي عقدة مكافئة لصورتها المرآوية، تحتوي على عناصر متناظرة في متعددة حدود جونز الخاصة بها. انظر المقال الخاص بعلاقة الخيوط للحصول على مثال على عملية حسابية باستخدام هذه العلاقات.

ومن الخصائص المميزة الأخرى لهذا الثابت أن متعددة حدود جونز للوصلة المتناوبة هي متعددة حدود متناوبة . وقد أثبتت مورين ثيستلثويت هذه الخاصية ^{[ 5 ]} عام 1987. كما يُعزى برهان آخر لهذه الخاصية إلى هيرناندو بورغوس-سوتو ، الذي وسّع نطاقها ليشمل التشابكات. ^{[ 6 ]}

لا تُعدّ متعددة حدود جونز ثابتةً تامة. يوجد عدد لا نهائي من العُقد غير المتكافئة التي لها نفس متعددة حدود جونز. يمكن إيجاد مثال على عُقدتين مختلفتين لهما نفس متعددة حدود جونز في كتاب موراسوجي. ^{[ 7 ]}

بالنسبة لعدد صحيح موجب${\displaystyle N}$، ال${\displaystyle N}$متعددة حدود جونز الملونة${\displaystyle V_{N}(L,t)}$هو تعميم لكثير حدود جونز. وهو ثابت ريشيتكين-توراييف المرتبط بـ${\displaystyle (N+1)}$التمثيل غير القابل للاختزال للمجموعة الكمومية${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2})}$في هذا المخطط، تكون متعددة حدود جونز هي متعددة حدود جونز أحادية اللون، وثابت ريشيتكين-تورايف المرتبط بالتمثيل القياسي (غير القابل للاختزال وثنائي الأبعاد) لـ${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2})}$. يمكن للمرء أن يفكر في خيوط الرابط على أنها "ملونة" بواسطة تمثيل، ومن هنا جاء الاسم.

وبشكل أعم، بالنظر إلى رابط ${\displaystyle L}$ل${\displaystyle k}$المكونات والتمثيلات${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}}$ل${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2})}$، ال${\displaystyle (V_{1},\ldots ,V_{k})}$متعددة حدود جونز الملونة${\displaystyle V_{V_{1},\ldots ,V_{k}}(L,t)}$هو ثابت ريشيتكين-تورايف المرتبط بـ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}}$(نفترض هنا أن المكونات مرتبة). بالنظر إلى تمثيلين${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$تحقق كثيرات حدود جونز الملونة الخاصيتين التاليتين: ^{[ 8 ]}

• ${\displaystyle V_{V\oplus W}(L,t)=V_{V}(L,t)+V_{W}(L,t)}$،
• ${\displaystyle V_{V\otimes W}(L,t)=V_{V,W}(L^{2},t)}$، أين ${\displaystyle L^{2}}$يشير إلى توصيل الكابلين ${\displaystyle L}$.

تُستنتج هذه الخصائص من حقيقة أن كثيرات حدود جونز الملونة هي ثوابت ريشيتكين-تورايف.

يترك${\displaystyle K}$كن عقدة. تذكر ذلك من خلال مشاهدة رسم تخطيطي لـ${\displaystyle K}$باعتبارها عنصرًا من عناصر جبر تمبرلي-ليب بفضل قوس كوفمان، يمكن استعادة متعددة حدود جونز لـ${\displaystyle K}$وبالمثل، فإن${\displaystyle N}$متعددة حدود جونز الملونة لـ${\displaystyle K}$يمكن إعطاء وصف توافقي باستخدام عناصر جونز-وينزل المتطابقة ، كما يلي:

• ضع في اعتبارك${\displaystyle N}$-التوصيلات${\displaystyle K^{N}}$ل${\displaystyle K}$؛
• اعتبره عنصرًا من عناصر جبر تمبرلي-ليب؛
• أدخل العناصر المتطابقة لجونز-وينزل على بعض${\displaystyle N}$خيوط متوازية.

العنصر الناتج عن${\displaystyle \mathbb {Q} (t)}$هو${\displaystyle N}$متعددة حدود جونز الملونة. انظر الملحق ح من ^{[ 9 ]} لمزيد من التفاصيل.

يبقى السؤال مطروحًا حول ما إذا كانت هناك عقدة غير تافهة ذات متعددة حدود جونز مساوية لتلك الخاصة بالعقدة غير المكتملة . من المعروف، استنادًا إلى عمل مورين ثيستلثويت ، وجود روابط غير تافهة ذات متعددة حدود جونز مساوية لتلك الخاصة بالروابط غير المكتملة المقابلة لها . ^{[ 11 ]} أبسط مثال على ذلك يحتوي على 15 تقاطعًا أساسيًا ويتكون من عقدة ثلاثية الفصوص مرتبطة بعقدة على شكل الرقم ثمانية . من المعروف أن كل عقدة أولية تحتوي على ما يصل إلى 24 تقاطعًا، والتي يزيد عددها عن ثلاثمائة مليون، ^{[ 12 ]} لها متعددة حدود جونز غير تافهة. وقد تم تحديد ذلك من خلال حساب متعددة حدود جونز لعدة تريليونات من مخططات العقد، والتحقق من أن تلك المخططات ذات متعددات حدود جونز التافهة تتوافق مع العقد التافهة. ^{[ 13 ]} وقد أثبت كرونهايمر وموروكا أنه لا توجد عقدة غير تافهة ذات تماثل خوفانوف مساوٍ لتماثل العقدة غير المكتملة. ^{[ 14 ]} على الرغم من أنه لا توجد عقدة غير تافهة معروفة لها نفس متعددة حدود جونز مثل العقدة غير المعقدة، إلا أنه قد يكون لعقدتين أو أكثر نفس متعددة حدود جونز، ويتطلب ذلك ثوابت أخرى لتمييزها. ومن الأمثلة على ذلك عقدة كونواي وعقدة كينوشيتا-تيراساكا ، التي تحتوي على 11 تقاطعًا. ^{[ 15 ]}

• آدامز، كولين (2000-12-06). كتاب العقدة . الجمعية الرياضية الأمريكية . ISBN 0-8050-7380-9.
• جونز، فوغان . "متعددة حدود جونز" (ملف PDF) .
• جونز، فوغان (1987). "تمثيلات جبر هيك لمجموعات الجدائل ومتعددات الحدود الرابطة". حوليات الرياضيات . 126 (2): 335-388 . doi : 10.2307/1971403 . JSTOR 1971403 . 
• كوفمان، لويس هـ. (1987). "نماذج الحالة ومتعددة حدود جونز" . الطوبولوجيا . 26 (3): 395-407 . doi : 10.1016/0040-9383(87)90009-7 .(يشرح التعريف باستخدام كثير الحدود بين قوسين وعلاقته بصياغة جونز باستخدام تمثيل الجديلة)
• ليكوريش، دبليو بي ريموند (1997). مقدمة في نظرية العقد . نيويورك؛ برلين؛ هايدلبرغ؛ برشلونة؛ بودابست؛ هونغ كونغ؛ لندن؛ ميلانو؛ باريس؛ سانتا كلارا؛ سنغافورة؛ طوكيو: سبرينغر. ص  175. ISBN 978-0-387-98254-0.
• ثيستلثويت، مورون (2001). "الروابط مع متعددة حدود جونز التافهة". مجلة نظرية العقد وتداعياتها . 10 (4): 641-643 . doi : 10.1142/S0218216501001050 .
• إلياهو، شالوم؛ كوفمان، لويس هـ .؛ ثيستلثويت، مورون ب. (2003). "عائلات لا نهائية من الروابط ذات متعددة حدود جونز التافهة" . علم الطوبولوجيا . 42 (1): 155-169 . doi : 10.1016/S0040-9383(02)00012-5 .
• برزيتيكي، جوزيف هـ. (1991). "وحدات سكيين للمتشعبات ثلاثية الأبعاد". نشرة الأكاديمية البولندية للعلوم . 39 ( 1-2 ): 91-100 . arXiv : math/0611797 .

• "متعدد الحدود جونز-كونواي" ، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS ، 2001 [1994]
• روابط مع كثير حدود جونز التافه بقلم مورون ثيستلثويت
• " متعددة حدود جونز "، أطلس العقدة .