تعبئة الدوائر في مثلث متساوي الأضلاع

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 26 صور
الموسوعة الحرة

تُعدّ مسألة رصّ الدوائر في مثلث متساوي الأضلاع مسألة رصّ في الرياضيات المتقطعة ، حيث يهدف الحلّ إلى رصّ n دائرة وحدة داخل أصغر مثلث متساوي الأضلاع ممكن . وقد تمّ إثبات وجود حلول مثلى عندما يكون n ≤ 15 ، ولأيّ عدد مثلثي من الدوائر، كما تتوفر تخمينات عندما يكون n ≤ 34. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]

تنص فرضية بول إردوش ونورمان أولر على أنه إذا كان n عددًا مثلثيًا، فإن التعبئة المثلى لـ n − 1 و n دائرة لها نفس طول الضلع: أي، وفقًا للفرضية، يمكن إيجاد التعبئة المثلى لـ n − 1 دائرة عن طريق إزالة أي دائرة واحدة من التعبئة السداسية المثلى لـ n دائرة. [ 5 ] من المعروف الآن أن هذه الفرضية صحيحة لـ n ≤ 15. [ 6 ] في ورقة بحثية لغراهام ولوباتشيفسكي حول حلول 22 ≤ n ≤ 34، افترضا أيضًا سبع عائلات لانهائية من الحلول المثلى بالإضافة إلى عائلة إردوش وأولر. تعطي هذه العائلات حلولًا مفترضة لأعداد أخرى كثيرة، بما في ذلك n = 37، 40، 42، 43، 46، 49. [ 3 ]

الحلول الدنيا لطول ضلع المثلث: [ 1 ]

عدد الدوائررقم المثلثطولمنطقةشكل
1نعم23{\displaystyle 2{\sqrt {3}}}= 3.464...5.196...
22+23{\displaystyle 2+2{\sqrt {3}}}= 5.464...12.928...
3نعم2+23{\displaystyle 2+2{\sqrt {3}}}= 5.464...12.928...
443{\displaystyle 4{\sqrt {3}}}= 6.928...20.784...
54+23{\displaystyle 4+2{\sqrt {3}}}= 7.464...24.124...
6نعم4+23{\displaystyle 4+2{\sqrt {3}}}= 7.464...24.124...
72+43{\displaystyle 2+4{\sqrt {3}}}= 8.928...34.516...
82+23+2333{\displaystyle 2+2{\sqrt {3}}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {33}}}= 9.293...37.401...
96+23{\displaystyle 6+2{\sqrt {3}}}= 9.464...38.784...
10نعم6+23{\displaystyle 6+2{\sqrt {3}}}= 9.464...38.784...
114+23+436{\displaystyle 4+2{\sqrt {3}}+{\tfrac {4}{3}}{\sqrt {6}}}= 10.730...49.854...
124+43{\displaystyle 4+4{\sqrt {3}}}= 10.928...51.712...
134+1033+236{\displaystyle 4+{\tfrac {10}{3}}{\sqrt {3}}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {6}}}= 11.406...56.338...
148+23{\displaystyle 8+2{\sqrt {3}}}= 11.464...56.908...
15نعم8+23{\displaystyle 8+2{\sqrt {3}}}= 11.464...56.908...

تتمثل إحدى المشكلات ذات الصلة الوثيقة في تغطية المثلث متساوي الأضلاع بعدد ثابت من الدوائر المتساوية، بحيث يكون نصف قطر كل دائرة أصغر ما يمكن. [ 7 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 ميليسن، هانز (1993)، "أكثر التراص كثافة للدوائر المتطابقة في مثلث متساوي الأضلاع"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 100 (10): 916-925 ، doi : 10.2307/2324212 ، JSTOR 2324212 ، MR 1252928  .
  2. ↑ ميليسن، جيه بي إم؛ شور، بي سي (1995)، "تعبئة 16 أو 17 أو 18 دائرة في مثلث متساوي الأضلاع" ، الرياضيات المتقطعة ، 145 ( 1-3 ): 333-342 ، doi : 10.1016/0012-365X(95)90139-C ، MR 1356610 .
  3. 1 2 غراهام، آر إل ؛ لوباتشيفسكي، بي دي (1995)، "التعبئة الكثيفة للأقراص المتساوية في مثلث متساوي الأضلاع: من 22 إلى 34 وما بعدها" ، المجلة الإلكترونية للتوافقية ، 2 : المقالة 1، حوالي 39 صفحة (إلكترونية)، MR 1309122 .
  4. ↑ تيديشي، ناتالي "حول تعبئة ثلاثة عشر نقطة في مثلث متساوي الأضلاع"، قسم العلوم الرياضية، جامعة كارنيجي ميلون، بيتسبرغ، https://doi.org/10.33697/ajur.2021.042
  5. ↑ أولر، نورمان (1961)، "مسألة التعبئة المحدودة"، النشرة الرياضية الكندية ، 4 (2): 153-155 ، doi : 10.4153/CMB-1961-018-7 ، MR 0133065 .
  6. ^ Payan، Charles (1997)، “Empilement de cercles égaux dans un المثلث المتساوي. À Propos d'une conjecture d'Erdős-Oler”، الرياضيات المنفصلة (بالفرنسية)، 165/166: 555–565 ، دوى : 10.1016/S0012-365X(96)00201-4 ، السيد 1439300 .
  7. ↑ نورميلا، كاري ج. (2000)، "التغطيات المثلى المفترضة لمثلث متساوي الأضلاع بما يصل إلى 36 دائرة متساوية" ، الرياضيات التجريبية ، 9 (2): 241-250 ، doi : 10.1080/10586458.2000.10504649 ، MR 1780209 ، S2CID 45127090  .