المؤثر الخطي المغلق

في التحليل الوظيفي ، وهو فرع من فروع الرياضيات ، يُعرف المؤثر الخطي المغلق ، أو المؤثر المغلق عمومًا، بأنه مؤثر خطي مُعرَّف جزئيًا يكون رسمه البياني مغلقًا (انظر خاصية الرسم البياني المغلق ). وهو مثال أساسي على المؤثر غير المحدود .

تنص نظرية الرسم البياني المغلق على أن المؤثر الخطي${\displaystyle f:X\to Y}$يكون المؤثر بين فضاءات باناخ مغلقًا إذا وفقط إذا كان مؤثرًا محدودًا وكان مجال المؤثر${\displaystyle X}$في الواقع، العديد من المؤثرات غير محدودة، ولكن من المرغوب فيه جعلها ذات رسم بياني مغلق. لذا، لا يمكن تعريفها على جميع${\displaystyle X}$ولتبقى مفيدة، يتم تعريفها بدلاً من ذلك على فضاء فرعي مناسب ولكنه كثيف ، مما يسمح بتقريب أي متجه ويحافظ على الأدوات الرئيسية (الإغلاقات، المرافقات، النظرية الطيفية ) متاحة.

من الشائع في التحليل الوظيفي النظر في الدوال الجزئية ، وهي دوال معرفة على مجموعة جزئية من فضاء ما.${\displaystyle X.}$ دالة جزئية${\displaystyle f}$يتم الإعلان عنها باستخدام الترميز${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y,}$مما يدل على أن${\displaystyle f}$يوجد نموذج أولي${\displaystyle f:D\to Y}$(أي أن نطاقها هو)${\displaystyle D}$ونطاقها المشترك هو${\displaystyle Y}$)

كل دالة جزئية هي، على وجه الخصوص، دالة، وبالتالي يمكن تطبيق جميع المصطلحات الخاصة بالدوال عليها. على سبيل المثال، رسم بياني لدالة جزئية${\displaystyle f}$هي المجموعة ${\displaystyle \operatorname {graph} {\!(f)}=\{(x,f(x)):x\in \operatorname {dom} f\}.}$ لكن أحد الاستثناءات على ذلك هو تعريف "الرسم البياني المغلق". دالة جزئية${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y}$يقال إن الرسم البياني مغلق إذا${\displaystyle \operatorname {graph} f}$هي مجموعة فرعية مغلقة من${\displaystyle X\times Y}$في بنية المنتج ؛ ومن المهم ملاحظة أن فضاء المنتج هو${\displaystyle X\times Y}$وليس​${\displaystyle D\times Y=\operatorname {dom} f\times Y}$كما تم تعريفها أعلاه للدوال العادية. على النقيض من ذلك، عندما${\displaystyle f:D\to Y}$تُعتبر دالة عادية (بدلاً من كونها دالة جزئية).${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y}$ثم إن عبارة "امتلاك رسم بياني مغلق" تعني بدلاً من ذلك أن${\displaystyle \operatorname {graph} f}$هي مجموعة فرعية مغلقة من${\displaystyle D\times Y.}$لو${\displaystyle \operatorname {graph} f}$هي مجموعة فرعية مغلقة من${\displaystyle X\times Y}$إذن فهي أيضاً مجموعة فرعية مغلقة من${\displaystyle \operatorname {dom} (f)\times Y}$مع أن العكس ليس مضموناً بشكل عام.

التعريف : إذا كانت X و Y فضاءات متجهة طوبولوجية (TVSs) ، فإننا نسمي التطبيق الخطي f  : D ( f ) ⊆ X → Y مؤثرًا خطيًا مغلقًا إذا كان الرسم البياني الخاص به مغلقًا في X × Y.

إن عكس كلمة "مغلق" هو ​​"غير مغلق"، أي أن المؤثر الخطي غير المغلق هو مؤثر خطي يكون رسمه البياني أصغر تمامًا من إغلاقه.

المؤثر المغلق بين فضاءات باناخ محدود، وفقًا لنظرية الرسم البياني المغلق . ومن الأمثلة الأكثر إثارة للاهتمام للمؤثرات المغلقة أنها غير محدودة.

لو${\displaystyle (X,\tau )}$هو جهاز تلفزيون هاوسدورف و${\displaystyle \nu }$هي طوبولوجيا متجهة على${\displaystyle X}$هذا أدق بكثير من${\displaystyle \tau ,}$ثم خريطة الهوية${\displaystyle \operatorname {Id}$ :(X,\tau )\to (X,\nu )} مؤثر خطي مغلق غير متصل. ^{[ 1 ]}

ضع في اعتبارك عامل الاشتقاق${\displaystyle f={\frac {d}{dx}}}$أين${\displaystyle X=Y=C([a,b])}$هو فضاء باناخ (مع معيار القيمة العليا ) لجميع الدوال المتصلة على فترة${\displaystyle [a,b].}$إذا استولى المرء على نطاقها${\displaystyle D(f)}$يكون${\displaystyle C^{1}([a,b]),}$ثم${\displaystyle f}$هو مؤثر مغلق، أي غير محدود. ^{[ 2 ]} من ناحية أخرى، إذا${\displaystyle D(f)}$هل المساحة${\displaystyle C^{\infty }([a,b])}$من الدوال العددية السلسة إذن${\displaystyle f}$لن يكون مغلقًا بعد الآن، ولكنه سيكون قابلاً للإغلاق، وسيكون الإغلاق هو امتداده المحدد في${\displaystyle C^{1}([a,b]).}$لإثبات ذلك${\displaystyle f}$لا يُغلق عند تقييده بـ${\displaystyle C^{\infty }([a,b])\to C^{\infty }([a,b])}$، خذ دالة${\displaystyle u}$إنه${\displaystyle C^{1}}$لكن ليس أملسًا، مثل${\displaystyle u(x)=x^{3/2}}$ثم قم بتنعيمها إلى سلسلة من الدوال الملساء${\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$بحيث${\displaystyle \|u_{n}-u\|_{\infty }\to 0}$، ثم${\displaystyle \|f(u_{n})-u'\|_{\infty }\to 0}$، لكن${\displaystyle (u,u')}$غير موجود في الرسم البياني لـ${\displaystyle f|_{C^{\infty }([a,b])}}$.

يمكن التحقق بسهولة من الخصائص التالية للمؤثر الخطي${\displaystyle f:\operatorname {D} (f)\subseteq X\to Y}$بين مسافات باناش:

• لو${\displaystyle f}$يتم تعريفها على النطاق بأكمله${\displaystyle X}$، ثم${\displaystyle f}$تكون مغلقة إذا وفقط إذا كانت محدودة.
• لو${\displaystyle A}$مغلق حينها${\displaystyle A-\lambda \mathrm {Id} _{\operatorname {D} (f)}}$مغلق حيث${\displaystyle \lambda }$هو كمية قياسية و${\displaystyle \mathrm {Id} _{\operatorname {D} (f)}}$هي دالة الهوية ؛
• لو${\displaystyle f}$إذا كانت مغلقة، فإن نواتها (أو فضاءها الصفري) هي فضاء متجهي فرعي مغلق من${\displaystyle X}$؛
• لو${\displaystyle f}$إذا كانت الدالة مغلقة وحقنية ، فإن معكوسها${\displaystyle f^{-1}}$مغلق أيضاً؛
• مؤثر خطي${\displaystyle f}$يُقرّ بالإغلاق إذا وفقط إذا كان لكل${\displaystyle x\in X}$وكل زوج من التسلسلات${\displaystyle x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }}$و${\displaystyle y_{\bullet }=(y_{i})_{i=1}^{\infty }}$في${\displaystyle \operatorname {D} (f)}$كلاهما يتقاربان إلى${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$بحيث يكون كلاهما${\displaystyle f(x_{\bullet })=(f(x_{i}))_{i=1}^{\infty }}$و${\displaystyle f(y_{\bullet })=(f(y_{i}))_{i=1}^{\infty }}$تتقارب في${\displaystyle Y}$، لدى المرء${\displaystyle \lim _{i\to \infty }f(x_{i})=\lim _{i\to \infty }f(y_{i})}$.

• دوليكي، سيمون ؛ مينارد، فريدريك (2016). أسس التقارب في الطوبولوجيا . نيوجيرسي: شركة وورلد ساينتيفيك للنشر. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917 . 
• مرتاد، محمد هشام (2022)، "الانغلاق" ، أمثلة مضادة في نظرية المؤثرات ، تشام: دار نشر سبرينغر الدولية، ص 307-344 ، doi : 10.1007/978-3-030-97814-3_19 ، ISBN  978-3-030-97813-6^{[ 1 ]}
• ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
• رودين، والتر (1991). التحليل الوظيفي . السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .