جبر لي المضغوط

في مجال نظرية لي الرياضية ، يوجد تعريفان لجبر لي المدمج . من الناحية الخارجية والطوبولوجية، جبر لي المدمج هو جبر لي لمجموعة لي مدمجة ؛ ^{[ 1 ]} ويشمل هذا التعريف الأسطح الحلقية. أما من الناحية الجوهرية والجبرية، فجبر لي المدمج هو جبر لي حقيقي تكون صيغة كيلينغ الخاصة به سالبة التحديد ؛ وهذا التعريف أكثر تقييدًا ويستثني الأسطح الحلقية. ^{[ 2 ]} ويمكن اعتبار جبر لي المدمج أصغر صيغة حقيقية لجبر لي عقدي مناظر، أي التعقيد.

بصورة رسمية، يمكن تعريف جبر لي المدمج إما على أنه جبر لي لمجموعة لي مدمجة ، أو على أنه جبر لي حقيقي يكون شكل كيلينغ الخاص به سالباً تماماً. لا تتفق هذه التعريفات تماماً: ^{[ 2 ]}

• إن شكل كيلينج على جبر لي لمجموعة لي المدمجة هو شبه محدد سالب ، وليس محدد سالب بشكل عام.
• إذا كان شكل كيلينج لجبر لي سالبًا محددًا، فإن جبر لي هو جبر لي لمجموعة لي شبه بسيطة مضغوطة .

بشكل عام، يتحلل جبر لي لمجموعة لي المدمجة إلى مجموع مباشر لجبر لي لمجموع تبديلي (الذي تكون المجموعة الفرعية المقابلة له عبارة عن طارة) ومجموع يكون شكل كيلينج عليه سالبًا محددًا.

إن عكس النتيجة الأولى أعلاه خاطئ: حتى لو كانت صيغة كيلينغ لجبر لي شبه سالبة، فهذا لا يعني أن جبر لي هذا هو جبر لي لزمرة متراصة. على سبيل المثال، صيغة كيلينغ لجبر لي لزمرة هايزنبرغ تساوي صفرًا، وبالتالي فهي شبه سالبة، لكن جبر لي هذا ليس جبر لي لأي زمرة متراصة.

• جبر لي المضغوط هو اختزالي ؛ ^{[ 3 ]} لاحظ أن النتيجة المماثلة صحيحة بالنسبة للمجموعات المضغوطة بشكل عام.
• جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$بالنسبة لمجموعة لي المدمجة G التي تقبل جداءً داخليًا ثابتًا تحت تأثير Ad( G ) ، ^{[ 4 ]} والعكس صحيح، إذا${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يقبل حاصل ضرب داخلي ثابت تحت تأثير Ad، إذن${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هي جبر لي لبعض الزمر المدمجة. ^{[ 5 ]} إذا${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$بما أن الدالة شبه بسيطة، يمكن اعتبار هذا الضرب الداخلي معكوسًا لصيغة كيلينغ. وبالتالي، بالنسبة لهذا الضرب الداخلي، تعمل الدالة Ad( G ) بتحويلات متعامدة (${\displaystyle \operatorname {SO} ({\mathfrak {g}})}$) و${\displaystyle \operatorname {ad} \ {\mathfrak {g}}}$تتصرف بواسطة المصفوفات المتناظرة المائلة (${\displaystyle {\mathfrak {so}}({\mathfrak {g}})}$^[ 4 ^] من الممكن تطوير نظرية جبر لي شبه البسيط المعقد من خلال النظر إليها على أنها تعقيدات لجبر لي للمجموعات المدمجة؛ ^{[ 6 ] إن وجود جداء داخلي ثابت تحت تأثير Ad على الشكل} الحقيقي المدمج يبسط التطوير بشكل كبير.

  يمكن اعتبار هذا نظيرًا مُختصرًا لنظرية آدو حول قابلية تمثيل جبر لي: تمامًا كما أن كل جبر لي محدود الأبعاد في خاصية 0 مُضمن في${\displaystyle {\mathfrak {gl}},}$كل جبر لي مضغوط مضمن في${\displaystyle {\mathfrak {so}}.}$

• مخطط ساتيك لجبر لي المضغوط هو مخطط دينكين لجبر لي المركب مع تظليل جميع الرؤوس باللون الأسود.
• تعتبر جبر لي المدمجة عكس جبر لي الحقيقي المنفصل بين الأشكال الحقيقية ، حيث أن جبر لي المنفصل يكون "أبعد ما يمكن" عن كونه مدمجًا.

تُصنَّف وتُسمّى جبر لي المضغوط وفقًا للأشكال الحقيقية المضغوطة لجبر لي شبه البسيط المركب . وهذه هي:

• ${\displaystyle A_{n}:}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{n+1},}$يتوافق مع المجموعة الوحدوية الخاصة (بشكل صحيح، الشكل المضغوط هو PSU، المجموعة الوحدوية الخاصة الإسقاطية )؛
• ${\displaystyle B_{n}:}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n+1},}$بما يتوافق مع المجموعة المتعامدة الخاصة (أو${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{2n+1},}$(الموافق للمجموعة المتعامدة )؛
• ${\displaystyle C_{n}:}$${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{n},}$المقابل للمجموعة التبسيطية المدمجة ؛ ويكتب أحيانًا${\displaystyle {\mathfrak {usp}}_{n},}$؛
• ${\displaystyle D_{n}:}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n},}$بما يتوافق مع المجموعة المتعامدة الخاصة (أو${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{2n},}$( المتوافق مع المجموعة المتعامدة ) (بشكل صحيح، الشكل المضغوط هو PSO، المجموعة المتعامدة الخاصة الإسقاطية )؛
• الأشكال الحقيقية المدمجة لجبر لي الاستثنائي${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}.}$

التشاكلات

لا يُعدّ التصنيف زائداً عن الحاجة إذا أخذنا في الاعتبار${\displaystyle n\geq 1}$ل${\displaystyle A_{n},}$${\displaystyle n\geq 2}$ل${\displaystyle B_{n},}$${\displaystyle n\geq 3}$ل${\displaystyle C_{n},}$و${\displaystyle n\geq 4}$ل${\displaystyle D_{n}.}$أما إذا أخذ المرء بدلاً من ذلك${\displaystyle n\geq 0}$أو${\displaystyle n\geq 1}$يمكن الحصول على بعض التشاكلات الاستثنائية .

ل${\displaystyle n=0,}$${\displaystyle A_{0}\cong B_{0}\cong C_{0}\cong D_{0}}$هو المخطط التافه، الذي يتوافق مع المجموعة التافهة${\displaystyle \operatorname {SU} (1)\cong \operatorname {SO} (1)\cong \operatorname {Sp} (0)\cong \operatorname {SO} (0).}$

ل${\displaystyle n=1,}$التماثل${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{3}\cong {\mathfrak {sp}}_{1}}$يتوافق مع تماثل المخططات${\displaystyle A_{1}\cong B_{1}\cong C_{1}}$والتشاكلات المقابلة لمجموعات لي${\displaystyle \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)}$(الرباعيات الثلاثية أو الرباعيات الوحدوية ).

ل${\displaystyle n=2,}$التماثل${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{5}\cong {\mathfrak {sp}}_{2}}$يتوافق مع تماثل المخططات${\displaystyle B_{2}\cong C_{2},}$والتماثل المقابل لمجموعات لي${\displaystyle \operatorname {Sp} (2)\cong \operatorname {Spin} (5).}$

ل${\displaystyle n=3,}$التماثل${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{6}}$يتوافق مع تماثل المخططات${\displaystyle A_{3}\cong D_{3},}$والتماثل المقابل لمجموعات لي${\displaystyle \operatorname {SU} (4)\cong \operatorname {Spin} (6).}$

إذا أخذنا في الاعتبار${\displaystyle E_{4}}$و${\displaystyle E_{5}}$كرسوم بيانية، هذه متماثلة مع${\displaystyle A_{4}}$و${\displaystyle D_{5},}$على التوالي، مع التشاكلات المقابلة لجبر لي.

• الأشكال الحقيقية
• جبر لي المنفصل

• زمرة لي، متراصة ، في موسوعة الرياضيات