مخطط ساتاك

في الدراسة الرياضية لجبر لي ومجموعات لي ، تُعدّ مخططات ساتيك تعميمًا لمخططات دينكين التي تُصنّف عمليات الالتفاف لأنظمة الجذور ذات الصلة في سياقات متعددة. وقد طُرحت هذه المخططات في كتاب ساتيك (1960 ، ص 109) ، واستُخدمت في الأصل لتصنيف جبر لي البسيط الحقيقي . بالإضافة إلى ذلك، فهي تُصنّف أيضًا الأزواج المتناظرة. ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})}$من جبر لي، حيث${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هو شبه بسيط.

وبشكل أكثر تحديدًا، بالنظر إلى جبر لي شبه بسيط معقد${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، مخططات ساتيك المصنوعة من${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يصنف مخطط دينكين عمليات الالتفاف لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$نظام الجذر الذي يمتد إلى تشاكل ذاتي مضاد للخطية σ من${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$[ ^{1 ]} النقاط ^{الثابتة}${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\sigma }}$ثم تصبح شكلاً حقيقياً من${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$تُستخدم مخططات ساتيك نفسها أيضًا لتصنيف عمليات الالتفاف لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$نظام الجذر الذي يمتد إلى تشاكل ذاتي (خطي) σ من${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$[ ^{2 ]} النقاط ^{الثابتة}${\displaystyle {\mathfrak {ك}}}$تشكل جبر لي فرعي معقد من${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، لهذا السبب${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})}$هو زوج متناظر.

وبشكل أكثر عمومية، فإن مؤشر تيتس أو مخطط ساتيك-تيتس لمجموعة جبرية اختزالية على حقل ما هو تعميم لمخطط ساتيك للحقول العشوائية، والذي قدمه تيتس (1966) ، والذي يقلل تصنيف المجموعات الجبرية الاختزالية إلى تصنيف المجموعات الجبرية الاختزالية غير المتناحية .

تختلف مخططات ساتيك عن مخططات فوجان على الرغم من تشابهها ظاهرياً.

ليكن V فضاءً متجهيًا حقيقيًا. نظام جذر σ ^{[ 3 ]}${\displaystyle (R,\sigma )}$يتكون من نظام جذري${\displaystyle R\subset V}$التي تمتد على V وتكامل خطي σ لـ V يحقق${\displaystyle \sigma (R)=R}$.

يترك${\displaystyle R_{\bullet }\subset R}$لتكن مجموعة الجذور الثابتة بواسطة σ ولتكن $${\displaystyle \Sigma$$ :=\left\{{\frac {\alpha -\sigma (\alpha )}{2}}:\alpha \in R\setminus R_{\bullet }\right\}.} Σ يسمى نظام الجذر المقيد .

مخطط ساتيك لنظام جذر سيجما${\displaystyle (R,\sigma )}$يتم الحصول عليها على النحو التالي: ليكن${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}$لتكن جذورًا بسيطة لـ R بحيث${\displaystyle \alpha _{n+1-p},\dots ,\alpha _{n}}$هي جذور بسيطة لـ${\displaystyle R_{\bullet }}$يمكننا تعريف عملية الالتفاف τ لـ${\displaystyle \{1,\dots ,n-p\}}$بامتلاك $${\displaystyle \sigma (\alpha _{i})=\alpha _{\tau (i)}+\mathbb {Z} R_{\bullet }\qquad (i=1,\dots ,n-p).}$$ثم يتم الحصول على مخطط ساتيك من مخطط دينكين الذي يصف R عن طريق تلوين الرؤوس المقابلة لـ${\displaystyle \alpha _{n+1-p},\dots ,\alpha _{n}}$وبرسم الأسهم بين الرؤوس البيضاء التي يتم تبديلها بواسطة τ .

في أراكي (1962 ، §5) تم إثبات أن كل مخطط ساتيك ناشئ عن جبر لي شبه بسيط حقيقي (أو ما يعادله: زوج متناظر)${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})}$مع${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$(شبه بسيط) هو اتحاد غير متصل لـ

• رسم تخطيطي لدينكين نفسه مرتين (برؤوس بيضاء)، مع أسهم مطابقة للرؤوس.
• أحد المخططات التالية:

مخططات ساتيك المتصلة غير القابلة للاختزال

اسم	رسم بياني	نوع نظام الجذر المقيد	مثال على جبر لي شبه البسيط الحقيقي	مثال على زوج متناظر (${\displaystyle \mathbb {C} }$(محذوف)
${\displaystyle {\mathsf {AI}}_{n}}$		${\displaystyle {\mathsf {A}}_{n}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n+1)}$	${\displaystyle ({\mathfrak {sl}}(n+1),{\mathfrak {so}}(n+1))}$
${\displaystyle {\mathsf {AII}}_{2p+1}}$		${\displaystyle {\mathsf {A}}_{p}}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(2p+2)}$	${\displaystyle ({\mathfrak {sl}}(2p+2),{\mathfrak {sp}}(2p))}$
${\displaystyle {\mathsf {AIII}}_{n,p}\quad (4\leq 2p\leq n)}$		${\displaystyle {\mathsf {BC}}_{p}}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(p,n+1-p)}$	${\displaystyle ({\mathfrak {sl}}(n+1),{\mathfrak {s}}({\mathfrak {gl}}(p)\oplus {\mathfrak {gl}}(n+1-p)))}$
${\displaystyle {\mathsf {AIII}}_{2p-1,p}}$		${\displaystyle {\mathsf {C}}_{p}}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(p,p)}$	${\displaystyle ({\mathfrak {sl}}(2p),{\mathfrak {s}}({\mathfrak {gl}}(p)\oplus {\mathfrak {gl}}(p)))}$
${\displaystyle {\mathsf {AIV}}_{n}}$		${\displaystyle {\mathsf {BC}}_{1}}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n,1)}$	${\displaystyle ({\mathfrak {sl}}(n+1),{\mathfrak {gl}}(n))}$
${\displaystyle {\mathsf {BI}}_{n,p}\quad (2\leq p\leq n)}$		${\displaystyle {\mathsf {B}}_{p}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(p,2n+1-p)}$	${\displaystyle ({\mathfrak {so}}(2n+1),{\mathfrak {so}}(p)\oplus {\mathfrak {so}}(2n+1-p))}$
${\displaystyle {\mathsf {BII}}_{n}}$		${\displaystyle {\mathsf {A}}_{1}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n,1)}$	${\displaystyle ({\mathfrak {so}}(2n+1),{\mathfrak {so}}(2n))}$
${\displaystyle {\mathsf {CI}}_{n}}$		${\displaystyle {\mathsf {C}}_{n}}$	${\displaystyle sp(2n)}$	${\displaystyle ({\mathfrak {sp}}(2n),{\mathfrak {gl}}(2n))}$
${\displaystyle {\mathsf {CII}}_{n,p}\quad (2\leq 2p\leq n-1)}$		${\displaystyle {\mathsf {BC}}_{p}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2p,2n-2p)}$	${\displaystyle ({\mathfrak {sp}}(2n),{\mathfrak {sp}}(2p)\oplus {\mathfrak {sp}}(2n-2p))}$
${\displaystyle {\mathsf {CII}}_{2p,p}}$		${\displaystyle {\mathsf {C}}_{p}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2p,2p)}$	${\displaystyle ({\mathfrak {sp}}(4p),{\mathfrak {sp}}(2p)\oplus {\mathfrak {sp}}(2p))}$
${\displaystyle {\mathsf {DI}}_{n,p}\quad (2\leq p\leq n-2)}$		${\displaystyle {\mathsf {B}}_{p}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(p,2n-p)}$	${\displaystyle ({\mathfrak {so}}(2n),{\mathfrak {so}}(p)\oplus {\mathfrak {so}}(2n-p))}$
${\displaystyle {\mathsf {DI}}_{n,n-1}}$		${\displaystyle {\mathsf {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n-1,n+1)}$	${\displaystyle ({\mathfrak {so}}(2n),{\mathfrak {so}}(n-1)\oplus {\mathfrak {so}}(n+1))}$
${\displaystyle {\mathsf {DI}}_{n,n}}$		${\displaystyle {\mathsf {D}}_{n}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,n)}$	${\displaystyle ({\mathfrak {so}}(2n),{\mathfrak {so}}(n)\oplus {\mathfrak {so}}(n))}$
${\displaystyle {\mathsf {DII}}_{n}}$		${\displaystyle {\mathsf {A}}_{1}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n-1,1)}$	${\displaystyle ({\mathfrak {so}}(2n),{\mathfrak {so}}(2n-1))}$
${\displaystyle {\mathsf {DIII}}_{2p}}$		${\displaystyle {\mathsf {C}}_{p}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}^{*}(4p)}$	${\displaystyle ({\mathfrak {so}}(4p),{\mathfrak {gl}}(2p))}$
${\displaystyle {\mathsf {DIII}}_{2p+1}}$		${\displaystyle {\mathsf {BC}}_{p}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}^{*}(4p+2)}$	${\displaystyle ({\mathfrak {so}}(4p+2),{\mathfrak {gl}}(2p+1))}$
${\displaystyle {\mathsf {EI}}}$		${\displaystyle {\mathsf {E}}_{6}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6,6}}$	${\displaystyle ({\mathfrak {e}}_{6},{\mathfrak {sp}}(8))}$
${\displaystyle {\mathsf {EII}}}$		${\displaystyle {\mathsf {F}}_{4}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6,2}}$	${\displaystyle ({\mathfrak {e}}_{6},{\mathfrak {sl}}(6)\oplus {\mathfrak {sl}}(2))}$
${\displaystyle {\mathsf {EIII}}}$		${\displaystyle {\mathsf {BC}}_{2}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6,-14}}$	${\displaystyle ({\mathfrak {e}}_{6},{\mathfrak {so}}(10)\oplus \mathbb {C} )}$
${\displaystyle {\mathsf {EIV}}}$		${\displaystyle {\mathsf {A}}_{2}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6,-26}}$	${\displaystyle ({\mathfrak {e}}_{6},{\mathfrak {f}}_{4})}$
${\displaystyle {\mathsf {EV}}}$		${\displaystyle {\mathsf {E}}_{7}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7,7}}$	${\displaystyle ({\mathfrak {e}}_{7},{\mathfrak {sl}}(8))}$
${\displaystyle {\mathsf {EVI}}}$		${\displaystyle {\mathsf {F}}_{4}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7,-5}}$	${\displaystyle ({\mathfrak {e}}_{7},{\mathfrak {so}}(12)\oplus {\mathfrak {sl}}(2))}$
${\displaystyle {\mathsf {EVII}}}$		${\displaystyle {\mathsf {C}}_{3}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7,-25}}$	${\displaystyle ({\mathfrak {e}}_{7},{\mathfrak {e}}_{6}\oplus \mathbb {C} )}$
${\displaystyle {\mathsf {EVIII}}}$		${\displaystyle {\mathsf {E}}_{8}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8,8}}$	${\displaystyle ({\mathfrak {e}}_{8},{\mathfrak {so}}(16))}$
${\displaystyle {\mathsf {EIX}}}$		${\displaystyle {\mathsf {F}}_{4}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8,-24}}$	${\displaystyle ({\mathfrak {e}}_{8},{\mathfrak {e}}_{7}\oplus {\mathfrak {sl}}(2))}$
${\displaystyle {\mathsf {FI}}}$		${\displaystyle {\mathsf {F}}_{4}}$	${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4,4}}$	${\displaystyle ({\mathfrak {f}}_{4},{\mathfrak {sp}}(6)\oplus {\mathfrak {sl}}(2))}$
${\displaystyle {\mathsf {FII}}}$		${\displaystyle {\mathsf {BC}}_{1}}$	${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4,-20}}$	${\displaystyle ({\mathfrak {f}}_{4},{\mathfrak {so}}(9))}$
${\displaystyle {\mathsf {G}}}$		${\displaystyle {\mathsf {G}}_{2}}$	${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2,2}}$	${\displaystyle ({\mathfrak {g}}_{2},{\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {sl}}(2))}$

• تتوافق جبر لي المدمجة مع مخطط ساتيك مع تظليل جميع الرؤوس باللون الأسود. وهذا يتوافق مع الزوج المتناظر${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}})}$
• تتوافق جبر لي المنقسم مع مخطط ساتيك ذي الرؤوس البيضاء فقط (أي غير السوداء) وغير المزدوجة.
• يمكن العثور على جدول في ( Onishchik & Vinberg 1994 ، الجدول 4، الصفحات 229-230 ) .

تُستخدم كل من مخططات ساتيك وفوجان لتصنيف زمر لي شبه البسيطة أو جبر لي (أو الزمر الجبرية) على الأعداد الحقيقية، وكلاهما يتكون من مخططات دينكين مُحسّنة بتلوين مجموعة فرعية من العقد وربط بعض أزواج الرؤوس بأسهم. مع ذلك، يمكن تعميم مخططات ساتيك على أي حقل (انظر أعلاه) وتندرج تحت النموذج العام لعلم التماثل لغالوا ، بينما تُعرَّف مخططات فوجان تحديدًا على الأعداد الحقيقية. بشكل عام، يُشفَّر هيكل جبر لي شبه البسيط الحقيقي بطريقة أكثر وضوحًا في مخطط ساتيك الخاص به، لكن مخططات فوجان أسهل في التصنيف.

الفرق الأساسي هو أن مخطط ساتيك لجبر لي شبه البسيط الحقيقي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$مع عملية الالتفاف كارتان θ وزوج كارتان المرتبط بها${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$يُعرَّف الفضاء الذاتي (+1 و-1 لـ θ ) بالبدء من جبر كارتان فرعي مستقر θ غير مضغوط إلى أقصى حد${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$أي، الشخص الذي${\displaystyle \theta ({\mathfrak {h}})={\mathfrak {h}}}$و${\displaystyle {\mathfrak {h}}\cap {\mathfrak {k}}}$أصغر ما يمكن (في العرض التقديمي أعلاه،${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$يظهر كجبر لي للطور المنقسم الأقصى S )، بينما تُعرَّف مخططات فوغان بدءًا من جبر كارتان الفرعي المستقر θ والمضغوط بشكل أقصى ، أي الذي يكون فيه${\displaystyle \theta ({\mathfrak {h}})={\mathfrak {h}}}$و${\displaystyle {\mathfrak {h}}\cap {\mathfrak {k}}}$أكبر ما يمكن.

يمثل مخطط دينكين غير المزخرف (أي المخطط الذي يحتوي على عقد بيضاء فقط وبدون أسهم)، عند تفسيره على أنه مخطط ساتيك، الشكل الحقيقي المنقسم لجبر لي، بينما يمثل الشكل المضغوط عند تفسيره على أنه مخطط فوجان.

لنفترض أن G زمرة جبرية معرفة على حقل k ، مثل حقل الأعداد الحقيقية. لنفترض أن S طارة منقسمة عظمى في G ، وأن T طارة عظمى تحتوي على S معرفة على الإغلاق الجبري المنفصل K لـ k . عندئذٍ، تمتلك G ( K ) مخطط دينكين بالنسبة لبعض الجذور الموجبة لـ T. يمتلك مخطط دينكين هذا تأثيرًا طبيعيًا لزمرة غالوا لـ K / k . كما أن بعض الجذور البسيطة تتلاشى على S. يُعطى مخطط ساتيك-تيتس بواسطة مخطط دينكين D ، بالإضافة إلى تأثير زمرة غالوا، مع تلوين الجذور البسيطة التي تتلاشى على S باللون الأسود. في حالة كون k حقل الأعداد الحقيقية، تكون رتبة زمرة غالوا المطلقة 2، ويُمثل تأثيرها على D برسم النقاط المترافقة لمخطط دينكين بالقرب من بعضها البعض، ويُسمى مخطط ساتيك-تيتس مخطط ساتيك.

• نظام الجذر النسبي
• قائمة مؤشرات أثداء غير قابلة للاختزال

• بامب، دانيال (2004)، زمر لي ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  225، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/978-1-4757-4094-3 ، ISBN 978-0-387-21154-1MR 2062813​ 
• هيلجاسون، سيجوردور (2001)، الهندسة التفاضلية، زمر لي، والفضاءات المتناظرة ، دراسات عليا في الرياضيات ، المجلد  34، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، doi : 10.1090/gsm/034 ، ISBN 978-0-8218-2848-9، MR 1834454 
• أونيشيك، أ. ل.؛ فينبرغ، إرنست بوريسوفيتش (1994)، زمر لي وجبر لي III: بنية زمر لي وجبر لي ، سبرينغر، ISBN 978-3-540-54683-2
• ساتيك، إيشيرو (1960)، "حول تمثيلات وتكثيفات الفضاءات الريمانية المتناظرة"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 71 (1): 77-110 ، doi : 10.2307/1969880 ، ISSN 0003-486X ، JSTOR 1969880 ، MR 0118775   
• Satake, Ichiro (1971), Classification theory of semi-simple algebraic groups, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, vol. 3, New York: Marcel Dekker Inc., ISBN 978-0-8247-1607-3, MR 0316588
• Spindel, Philippe; Persson, Daniel; Henneaux, Marc (2008), "Spacelike Singularities and Hidden Symmetries of Gravity", Living Reviews in Relativity, 11 (1): 1, arXiv:0710.1818, Bibcode:2008LRR....11....1H, doi:10.12942/lrr-2008-1, PMC 5255974, PMID 28179821
• Tits, Jacques (1966), "Classification of algebraic semisimple groups", Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965), Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 33–62, MR 0224710
• Tits, Jacques (1971), "Représentations linéaires irréductibles d'un groupe réductif sur un corps quelconque", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1971 (247): 196–220, doi:10.1515/crll.1971.247.196, ISSN 0075-4102, MR 0277536, S2CID 116999784
• Araki, Shōrō (1962). "On root systems and infinitesimal classification of irreducible symmetric spaces". Journal of Mathematics, Osaka City University. 13: 1–34.
• Kolb, Stefan (December 2014). "Quantum symmetric Kac–Moody pairs". Advances in Mathematics. 267: 395–469. arXiv:1207.6036. doi:10.1016/j.aim.2014.08.010.