نظرية الكذب

في الرياضيات ، أسس عالم الرياضيات سوفوس لي ( يُلفظ / liː / لي ) فروعًا دراسية شملت تكامل المعادلات التفاضلية ، ومجموعات التشاكل الذاتي، وتماس الكرات ، والتي عُرفت فيما بعد بنظرية لي . ^{[ 1 ]} على سبيل المثال، يُعدّ هندسة كرة لي أحد هذه الفروع . تتناول هذه المقالة منهجه في دراسة مجموعات التحويل، وهو أحد فروع الرياضيات ، والذي طوره كلٌّ من ويلهلم كيلينغ وإيلي كارتان .

أساس نظرية لي هو التطبيق الأسي الذي يربط جبر لي بزمر لي، والذي يُسمى تناظر زمرة لي-جبر لي . يندرج هذا الموضوع ضمن الهندسة التفاضلية لأن زمر لي عبارة عن فضاءات قابلة للتفاضل . تتطور زمر لي من العلاقة المطابقة (1)، وتُولد متجهات المماس للزمر الفرعية ذات المعامل الواحد جبر لي. بنية زمرة لي مضمنة في جبرها، وتُعبر بنية جبر لي عن طريق أنظمة الجذور وبيانات الجذور .

لقد كانت نظرية لي مفيدة بشكل خاص في الفيزياء الرياضية لأنها تصف مجموعات التحويل القياسية: مجموعة غاليليو ، ومجموعة لورنتز ، ومجموعة بوانكاريه ، ومجموعة الزمكان المطابقة .

تُعدّ الزمر ذات المعامل الواحد أول مثال لنظرية لي. وتنشأ الحالة المدمجة من خلال صيغة أويلر في المستوى المركب . وتظهر زمر أخرى ذات معامل واحد في مستوى الأعداد المركبة المنقسمة على شكل قطع زائد وحدوي.

${\displaystyle \lbrace \exp(jt)=\cosh(t)+j\sinh(t):t\in R\rbrace ,\quad j^{2}=+1}$

وفي مستوى العدد المزدوج كخط${\displaystyle \lbrace \exp(\varepsilon t)=1+\varepsilon t:t\in R\rbrace \quad \varepsilon ^{2}=0.}$ في هذه الحالات، تحمل معلمات جبر لي أسماءً: الزاوية ، والزاوية الزائدية ، والميل . ^{[ 2 ]} تُعد هذه الأنواع من الزوايا مفيدة لتوفير التحليلات القطبية التي تصف الجبر الجزئي المستوي للمصفوفات الحقيقية 2 × 2.

يوجد زوج من زمرة لي الكلاسيكية ذات ثلاثة معلمات وجبرها: الكواترنيونات ذات الطول الواحد ، والتي يمكن تعريفها بالكرة ثلاثية الأبعاد . جبر لي الخاص بها هو الفضاء الجزئي لمتجهات الكواترنيونات . بما أن المبدل ij − ji = 2k، فإن قوس لي في هذا الجبر يساوي ضعف حاصل الضرب الاتجاهي للتحليل الشعاعي العادي .

مثال آخر بسيط ذو ثلاثة معلمات هو زمرة هايزنبرغ وجبر لي الخاص بها. تبدأ المعالجات القياسية لنظرية لي عادةً بالزمر الكلاسيكية .

توجد التعبيرات المبكرة لنظرية لي في الكتب التي ألفها سوفوس لي مع فريدريك إنجل وجورج شيفرز في الفترة من 1888 إلى 1896.

في أعمال لي المبكرة، تمحورت الفكرة حول بناء نظرية للمجموعات المتصلة ، مكملةً لنظرية المجموعات المنفصلة التي تطورت في نظرية الأشكال النمطية ، على يد فيليكس كلاين وهنري بوانكاريه . وكان التطبيق الأولي الذي وضعه لي في اعتباره هو نظرية المعادلات التفاضلية . وعلى غرار نظرية غالوا ومعادلات كثيرات الحدود ، تمثلت الفكرة الأساسية في نظرية قادرة على توحيد مجال المعادلات التفاضلية العادية بأكمله، من خلال دراسة التناظر .

بحسب توماس دبليو هوكينز الابن ، فإن إيلي كارتان هو من جعل نظرية لي على ما هي عليه:

على الرغم من أن لي كان لديه العديد من الأفكار الخصبة، إلا أن كارتان كان المسؤول الأول عن توسيعات وتطبيقات نظريته التي جعلتها عنصرًا أساسيًا في الرياضيات الحديثة. هو من قام، بمساعدة من فايل ، بتطوير الأفكار الجبرية الأساسية لكيلينغ إلى نظرية بنية وتمثيل جبر لي شبه البسيط، والتي تلعب دورًا محوريًا في نظرية لي المعاصرة. وعلى الرغم من أن لي تصور تطبيقات لنظريته في الهندسة، إلا أن كارتان هو من ابتكرها فعليًا، على سبيل المثال من خلال نظرياته عن الفضاءات المتناظرة والمعممة، بما في ذلك جميع الأدوات المصاحبة لها ( الأطر المتحركة ، الأشكال التفاضلية الخارجية ، إلخ) ^{[ 3 ].}

في عمله على مجموعات التحويل، برهن سوفوس لي ثلاث نظريات تربط بين المجموعات والجبر التي تحمل اسمه. أوضحت النظرية الأولى أساس الجبر من خلال التحويلات المتناهية الصغر . ^{[ 4 ] : ​​96.} وأوضحت النظرية الثانية ثوابت بنية الجبر كنتيجة لضرب المبدلات فيه. ^{[ 4 ] : ​​100.} وأظهرت النظرية الثالثة أن هذه الثوابت مضادة للتناظر وتحقق متطابقة جاكوبي . ^{[ 4 ] : ​​106.} كما كتب روبرت جيلمور:

تُوفّر نظريات لي الثلاث آليةً لبناء جبر لي المرتبط بأي زمرة لي. كما تُحدّد خصائص جبر لي. ¶ أما عكس نظريات لي الثلاث فيُقدّم آليةً لربط زمرة لي بأي جبر لي ذي بُعد محدود... تسمح نظرية تايلور ببناء دالة البنية التحليلية الأساسية φ ( β , α ) من جبر لي. ¶ تُوفّر هذه النظريات السبع - نظريات لي الثلاث وعكسها، ونظرية تايلور - تكافؤًا جوهريًا بين زمر لي وجبر لي. ^{[ 4 ]}

تعتمد نظرية لي في كثير من الأحيان على دراسة الزمر الجبرية الخطية الكلاسيكية . وتشمل فروعها الخاصة زمر ويل ، وزمر كوكسيتر ، والمباني . وقد تم توسيع هذا الموضوع الكلاسيكي ليشمل زمر من نوع لي .

في عام 1900، تحدى ديفيد هيلبرت منظري لي من خلال مشكلته الخامسة التي قدمها في المؤتمر الدولي للرياضيات في باريس.

• صيغة بيكر-كامبل-هاوسدورف
• مسرد مصطلحات زمر لي وجبر لي
• قائمة بمواضيع مجموعات الكذب
• مُكامل مجموعة لي

• جون أ. كولمان (1989) "أعظم ورقة بحثية رياضية على مر العصور"، مجلة الرياضيات الذكية 11(3):  29-38.

• ماجستير أكيفيس وبكالوريوس روزنفيلد (1993)، إيلي كارتان ( 1869-1951 ) ، ترجمة من الأصل الروسي بقلم ف. ف. غولدبرغ، الفصل الثاني: زمر لي وجبر لي، الجمعية الأمريكية للرياضيات ، رقم ISBN 0-8218-4587-X.
• PM Cohn (1957) مجموعات لي ، منشورات كامبريدج في الفيزياء الرياضية.
  • ناينهاوس، ألبرت (1959). "مراجعة: زمر لي ، بقلم بي إم كوهن" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 65 (6): 338-341 . doi : 10.1090/s0002-9904-1959-10358-x .
• JL Coolidge (1940) تاريخ الأساليب الهندسية ، ص 304-17، مطبعة جامعة أكسفورد (منشورات دوفر 2003).
• روبرت جيلمور (2008) زمر لي، الفيزياء، والهندسة: مقدمة للفيزيائيين والمهندسين والكيميائيين ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 9780521884006.
• إف. ريس هارفي (1990) سبينورز ومعايرات ، أكاديميك برس، رقم ISBN 0-12-329650-1.
• هول، برايان سي. (2015)، زمر لي، وجبر لي، والتمثيلات: مقدمة تمهيدية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  222 (الطبعة الثانية  )، سبرينغر، ISBN 978-3319134666.
• هوكينز، توماس (2000). ظهور نظرية زمر لي: مقال في تاريخ الرياضيات، 1869-1926 . سبرينغر. ISBN 0-387-98963-3.
• ساتينجر، ديفيد هـ.؛ ويفر، أو إل (1986). زمر لي والجبر مع تطبيقات في الفيزياء والهندسة والميكانيكا . سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 3-540-96240-9.
• ستيلويل، جون (2008). نظرية الكذب الساذجة . سبرينغر. ISBN 978-0-387-98289-2.
• مجلة هيلديرمان فيرلاج لنظرية الكذب