مجموعة إسقاطية وحدوية

يمكن تطبيق نفس البنية على المصفوفات التي تعمل على فضاء هيلبرت لانهائي الأبعاد${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

لنفترض أن U( H ) يرمز إلى فضاء المؤثرات الوحدوية على فضاء هيلبرت لانهائي الأبعاد. عندما يكون f : X → U( H ) تطبيقًا متصلًا من فضاء متراص X إلى المجموعة الوحدوية، يمكن استخدام تقريب محدود الأبعاد لصورته وحيلة بسيطة من نظرية K.

${\displaystyle u\oplus 1_{\ell ^{2}}\sim u\oplus 1_{\ell ^{2}}\oplus 1_{\ell ^{2}}\oplus \cdots \sim u\oplus u^{-1}\oplus u\oplus u^{-1}\oplus \cdots \sim 1_{\ell ^{2}}\oplus 1_{\ell ^{2}}\oplus \cdots ,\qquad u\in {\rm {U}}(H),}$

لإثبات أنها متماثلة طوبولوجيًا مع التطبيق التافه على نقطة واحدة. هذا يعني أن U( H ) قابلة للانكماش بشكل ضعيف، ويُظهر دليل إضافي أنها قابلة للانكماش بالفعل. تجدر الإشارة إلى أن هذه ظاهرة لا نهائية الأبعاد تمامًا، على عكس نظائرها محدودة الأبعاد U( n ) وحدها U(∞) تحت تطبيقات التضمين التي لا تقبل الانكماش مع السماح بتطبيقات متصلة غير تافهة طوبولوجيًا على U(1) مُعطاة بواسطة محدد المصفوفات.

مركز المجموعة الوحدوية اللانهائية الأبعاد${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}$كما هو الحال في الحالة ذات الأبعاد المحدودة، فإن U(1) تؤثر بدورها على المجموعة الوحدوية عبر الضرب في طور. ولأن المجموعة الوحدوية لا تحتوي على المصفوفة الصفرية ، فإن هذا التأثير حر.${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}$هو فضاء قابل للانكماش مع فعل U(1)، مما يحدده على أنه EU(1) وفضاء مدارات U(1) على أنه BU(1) ، وهو الفضاء المصنف لـ U(1).

${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$يُعرَّف بدقة على أنه فضاء مدارات فعل U(1) على${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}$، هكذا${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$هو تجسيد للفضاء التصنيفي BU(1). على وجه الخصوص، باستخدام التشاكل

${\displaystyle \pi _{n}(X)=\pi _{n+1}(BX)}$

بين مجموعات التماثل للفضاء X ومجموعات التماثل للفضاء المصنف BX، بالإضافة إلى نوع التماثل للدائرة U(1).

${\displaystyle \pi _{k}(\mathrm {U} (1))={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=1\\0&k\neq 1\end{cases}}}$

نجد مجموعات التماثل لـ${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$

${\displaystyle \pi _{k}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=2\\0&k\neq 2\end{cases}}}$

وبالتالي تحديد${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$كممثل لمساحة إيلنبرغ-ماكلين${\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,2)}$.

ونتيجة لذلك،${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$يجب أن يكون من نفس نوع التماثل مثل الفضاء الإسقاطي المركب ذي الأبعاد اللانهائية ، والذي يمثل أيضًا${\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,2)}$وهذا يعني على وجه الخصوص أن لديهم مجموعات تماثلية ومجموعات تماثلية متماثلة:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} ^{2n}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))&=\mathrm {H} _{2n}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))=\mathbb {Z} \\\mathrm {H} ^{2n+1}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))&=\mathrm {H} _{2n+1}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))=0\end{aligned}}}$

لا يوجد تمثيل لـ PU( n ) بشكل عام في البعد n ، تمامًا كما أن SO(3) ليس له تمثيل ثنائي الأبعاد.

يمتلك PU( n ) تأثيرًا مرافقًا على SU( n )، وبالتالي فإنه يمتلك${\displaystyle (n^{2}-1)}$تمثيل ذو بُعد n. عندما n = 2، يُقابل هذا التمثيل ثلاثي الأبعاد لـ SO(3). يُعرَّف الفعل المرافق باعتبار عنصر من PU( n ) فئة تكافؤ لعناصر U( n ) تختلف في الأطوار. يمكن حينها حساب الفعل المرافق بالنسبة لأي من هذه العناصر المُمثلة لـ U( n )، وتتبادل الأطوار مع جميع العناصر الأخرى، وبالتالي تُلغى. لذا، يكون الفعل مستقلاً عن اختيار العنصر المُمثل، وبالتالي فهو مُعرَّف جيدًا.

في العديد من التطبيقات، لا يعمل PU( n ) في أي تمثيل خطي، بل في تمثيل إسقاطي ، وهو تمثيل حتى طور مستقل عن المتجه الذي يؤثر عليه. هذه التمثيلات مفيدة في ميكانيكا الكم، حيث تُعرَّف الحالات الفيزيائية فقط حتى الطور. على سبيل المثال، تتحول حالات الفرميونات ذات الكتلة تحت تمثيل إسقاطي، ولكن ليس تحت تمثيل المجموعة الصغيرة PU(2) = SO(3).

يتم تصنيف التمثيلات الإسقاطية لمجموعة ما من خلال تماثلها التكاملي الثاني ، والذي في هذه الحالة هو

${\displaystyle \mathrm {H} ^{2}(\mathrm {PU} (n))=\mathbb {Z} /n}$

أو

${\displaystyle \mathrm {H} ^{2}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))=\mathbb {Z} .}$

يمكن اشتقاق مجموعات التماثل في الحالة المنتهية من المتتالية التامة الطويلة للحزم والحقيقة المذكورة أعلاه بأن SU( n ) هي${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$الحزمة فوق PU( n ). تم إثبات التماثل في الحالة اللانهائية أعلاه من خلال التشاكل مع التماثل للفضاء الإسقاطي العقدي اللانهائي.

وبالتالي، يتمتع PU( n ) بـ n تمثيلات إسقاطية، أولها هو التمثيل الأساسي لغطائه SU( n )، بينما${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$لها عدد لا نهائي قابل للعد. وكما هو معتاد، فإن التمثيلات الإسقاطية لمجموعة ما هي تمثيلات عادية لامتداد مركزي لتلك المجموعة. في هذه الحالة، فإن المجموعة المركزية الممتدة المقابلة لأول تمثيل إسقاطي لكل مجموعة وحدوية إسقاطية هي ببساطة المجموعة الوحدوية الأصلية التي أخذنا خارج قسمتها على U(1) في تعريف PU.

يُعدّ الفعل المرافق للمجموعة الوحدوية الإسقاطية اللانهائية مفيدًا في التعريفات الهندسية لنظرية K الملتوية . هنا، الفعل المرافق للمجموعة اللانهائية الأبعاد${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$يتم استخدام إما عوامل فريدهولم أو المجموعة الوحدوية اللانهائية .

في الإنشاءات الهندسية لنظرية K الملتوية ذات الالتواء H ،${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$يمثل الليف جزءًا من الحزمة، وتتوافق الالتواءات المختلفة H مع التليفات المختلفة. كما هو موضح أدناه، من الناحية الطوبولوجية${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$يمثل فضاء إيلنبرغ-ماكلين${\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,2)}$وبالتالي فإن فضاء التصنيف لـ${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$الحزم هي فضاء إيلنبرغ-ماكلين${\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,3)}$.${\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,3)}$وهي أيضاً فضاء التصنيف لمجموعة التماثل التكاملي الثالث ، لذلك${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$تُصنَّف الحزم وفقًا لعلم التماثل التكاملي الثالث. ونتيجةً لذلك، فإنّ الالتواءات الممكنة H لنظرية K الملتوية هي تحديدًا عناصر علم التماثل التكاملي الثالث.

في نظرية القياس يانغ-ميلز النقية SU( n ) ، وهي نظرية قياس تحتوي على الغلوونات فقط ولا تحتوي على مادة أساسية، تتحول جميع الحقول في المجموعة المرافقة لمجموعة القياس SU( n ).${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$يتبادل مركز SU( n )، لكونه في المركز، مع الحقول ذات القيم في SU( n )، وبالتالي فإن الفعل المرافق للمركز تافه. لذلك، فإن تناظر القياس هو خارج قسمة SU( n ) على${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$، وهو PU( n ) ويعمل على الحقول باستخدام الفعل المرافق الموصوف أعلاه.

في هذا السياق، يترتب على التمييز بين SU( n ) و PU( n ) نتيجة فيزيائية هامة. فـ SU( n ) متصلة ببساطة، بينما المجموعة الأساسية لـ PU( n ) هي${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$، المجموعة الدورية من الرتبة n . لذلك، فإن نظرية قياس PU( n ) ذات الكميات القياسية المرافقة ستحتوي على دوامات غير تافهة ذات بُعد مشترك 2 ، حيث تلتف القيم المتوقعة للكميات القياسية حول دورة PU( n ) غير التافهة عند الدوران حول الدوامة. وبالتالي، فإن هذه الدوامات تحتوي أيضًا على شحنات في${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$وهذا يعني أن هذه الدوامات تتجاذب، وعندما تتلامس n تتلاشى. ومن أمثلة هذه الدوامات سلسلة دوغلاس-شنكر في نظريات قياس سيبرغ-ويتن SU( n ) .