القطع الزائد المترافق

في الهندسة ، يشترك القطع الزائد المرافق لقطع زائد معين في نفس الخطوط المقاربة ولكنه يقع في القطاعين المقابلين من المستوى مقارنة بالقطع الزائد الأصلي.

يمكن إنشاء القطع الزائد ومرافقه كمقاطع مخروطية ناتجة عن تقاطع مستوى مع مخروطين مزدوجين متماسين لهما نفس الرأس . لكل مخروط محور، ويكون المقطع المستوي موازياً للمستوى المتكون من المحورين.

باستخدام الهندسة التحليلية ، تحقق القطوع الزائدة المعادلات المتناظرة

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$، برؤوس ( أ ، 0) و ( –أ ، 0)، و

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1}$(والتي يمكن كتابتها أيضاً على النحو التالي)${\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1}$), مع الرؤوس (0، b ) و (0،– b ).

في حالة a = b تكون القطع الزائدية مستطيلة، وانعكاس المستوى في خط مقارب يبدل المرافقات.

وبالمثل، بالنسبة لثابت غير صفري c ، تشكل محاور الإحداثيات خطوط التقارب للزوج المترافق${\displaystyle xy=c^{2}}$و${\displaystyle xy=-c^{2}}$.

قدّم أبولونيوس البرغي مفهوم القطع الزائد المترافق من خلال بناء هندسي: "إذا كان لدينا خطان مستقيمان ينصف أحدهما الآخر بأي زاوية، فسنرسم قطعين زائدين لكل منهما فرعان بحيث يكون الخطان المستقيمان قطرين مترافقين للقطعين الزائدين." ^{[ 1 ]} "يُطلق على القطعين الزائدين اللذين تم إنشاؤهما بهذه الطريقة اسم القطع الزائد المترافق ، والقطع الأخير المرسوم هو القطع الزائد المترافق مع الأول."

وصف أبولونيوس الخاصية التالية: ليكن PP' وDD' قطرين مترافقين لقطعين زائدين مترافقين. ارسم المماسات عند النقاط P وP' وD وD'. عندئذٍ... تُشكّل المماسات متوازي أضلاع ، ويمر قطراه LM وL'M' بالمركز C. كذلك، PL = PL' = P'M = P'M' = CD. ^{[ 1 ]} يُلاحظ أن قطري متوازي الأضلاع هما خطان مقاربان مشتركان بين القطعين الزائدين. إما PP' أو DD' هو قطر عرضي، والآخر هو القطر المترافق.

في عام 1763، قام روجر بوسكوفيتش برسم القطع الزائد المترافقة كشكل 13 في رسوماته التوضيحية لنظرية الفلسفة الطبيعية .

يحدد كتاب "عناصر الديناميكا" (1878) لـ دبليو كي كليفورد القطع الزائد المترافق. ^{[ 2 ]}

في عام 1894، استخدم ألكسندر ماكفارلين رسمًا توضيحيًا للقطع الزائدية اليمنى المترافقة في دراسته "مبادئ التحليل الإهليلجي والزائدي". ^{[ 3 ]}

في عام 1895، أشار دبليو إتش بيسانت إلى القطوع الزائدة المترافقة في كتابه عن القطوع المخروطية. ^{[ 4 ]}

في كتابه الصادر عام 1896 عن أبولونيوس والمذكور أعلاه، قدم توماس هيث تكوين القطع الزائد المترافقة وأقطارها المختلفة على النحو التالي: "تحديد القطع الزائد المترافق ذي الفرعين باعتباره القطع الزائد الكامل الذي له زوج من الأقطار المترافقة المشتركة مع القطع الزائد الأصلي، مع اختلاف أن القطر الثانوي للقطع الزائد الأصلي هو القطر المستعرض للقطع الزائد المترافق، والعكس صحيح ." ^{[ 5 ]}

قدّم جورج سالمون رسمًا توضيحيًا للقطع الزائد المترافق على شكل منحنى منقط في كتابه "رسالة في القطوع المخروطية " (1900). ^{[ 6 ]} عرّف فريدريك س. وودز وفريدريك هـ. بيلي القطع الزائد المترافق في كتابهما " دورة في الرياضيات " (1907). ^{[ 7 ]}

في عام 1908، استخدم هيرمان مينكوفسكي القطع الزائد المترافقة لتحديد وحدات المدة والمسافة في مخطط الزمكان الذي يوضح مستوى في فضاء مينكوفسكي الخاص به . ^{[ 8 ]}

يمكن صياغة مبدأ النسبية على النحو التالي: "يمكن اعتبار أي زوج من الأقطار المترافقة للقطع الزائد المترافقة بمثابة محاور المكان والزمان". ^{[ 9 ]}

في عام 1957، قام باري سبين بتوضيح القطوع الزائدة المستطيلة المترافقة. ^{[ 10 ]}