مضلع منتظم

في الهندسة الإقليدية ، المضلع المنتظم هو مضلع مستقيم الزوايا (جميع زواياه متساوية في القياس) ومتساوي الأضلاع (جميع أضلاعه متساوية في الطول). قد تكون المضلعات المنتظمة محدبة أو نجمية . في النهاية ، تقترب سلسلة من المضلعات المنتظمة ذات عدد متزايد من الأضلاع من دائرة ، إذا كان المحيط أو المساحة ثابتًا، أو من شكل منتظم غير متماثل ( خط مستقيم فعليًا )، إذا كان طول الضلع ثابتًا.

الممتلكات العامة

تنطبق هذه الخصائص على جميع المضلعات المنتظمة، سواء كانت محدبة أو نجمية :

المضلع المنتظم ذو n ضلعًا له تناظر دوراني من الرتبة n .

تقع جميع رؤوس المضلع المنتظم على دائرة مشتركة ( الدائرة المحيطة به )؛ أي أنها نقاط متحدة الدائرة. بمعنى آخر، المضلع المنتظم هو مضلع دائري .

بالإضافة إلى خاصية تساوي أطوال الأضلاع، فإن هذا يعني أن كل مضلع منتظم له دائرة داخلية تمس كل ضلع عند منتصفه. وبالتالي، فإن المضلع المنتظم هو مضلع مماس .

يمكن إنشاء مضلع منتظم ذو n ضلع باستخدام الفرجار والمسطرة إذا وفقط إذا كانت العوامل الأولية الفردية لـ n هي أعداد فيرما الأولية المختلفة .

يمكن إنشاء مضلع منتظم ذي n ضلعًا باستخدام فن طي الورق (الأوريغامي) إذا وفقط إذا $n=2^{a}3^{b}p_{1}\cdots p_{r}$ بالنسبة للبعض $r\in \mathbb {N}$ ، حيث كل متميز $p_{i}$ هو عدد أولي من نوع بيربونت . ^{[ 1 ]}

التناظر

مجموعة التناظر لمضلع منتظم ذي n ضلعًا هي المجموعة ثنائية السطوح Dₙ (من الرتبة 2ⁿ ) _: D₂ _، D₃ ، _D₄ ، _... تتكون من الدورانات في Cₙ _، بالإضافة إلى تناظر الانعكاس حول n محورًا تمر بالمركز. إذا كان n زوجيًا، فإن نصف هذه المحاور يمر برأسين متقابلين، والنصف الآخر يمر بمنتصف ضلعين متقابلين. أما إذا كان n فرديًا، فإن جميع المحاور تمر برأس ومنتصف الضلع المقابل.

المضلعات المحدبة المنتظمة

جميع المضلعات البسيطة المنتظمة (المضلع البسيط هو الذي لا يتقاطع مع نفسه في أي نقطة) محدبة. والمضلعات التي لها نفس عدد الأضلاع متشابهة أيضاً .

يُرمز إلى المضلع المنتظم المحدب ذي n ضلعًا برمز شلافلي الخاص به. $\{n\}$ . ل $n<3$ لدينا حالتان متدهورتان :

أحادي الشكل {1}؛ نقطة: متدهور في الفضاء العادي . (لا تعتبر معظم المراجع المضلع الأحادي مضلعًا حقيقيًا، ويرجع ذلك جزئيًا إلى هذا، وأيضًا لأن الصيغ أدناه لا تعمل، وبنيته ليست بنية أي مضلع مجرد .)
ديجون {2}؛ قطعة مستقيمة: متدهور في الفضاء العادي . (بعض المراجع لا تعتبر المضلع الثنائي مضلعًا حقيقيًا لهذا السبب.)

في بعض السياقات، تكون جميع المضلعات المدروسة منتظمة. في هذه الحالة، يُستثنى عادةً مصطلح "منتظم". على سبيل المثال، يجب أن تكون جميع أوجه المجسمات المنتظمة منتظمة، ويتم وصفها ببساطة بأنها مثلث، مربع، خماسي، إلخ.

الزوايا

بالنسبة للمضلع المنتظم المحدب ذي n ضلعًا، فإن قياس كل زاوية داخلية هو:

{\frac {(n-2)180}{n}}

درجات؛

{\frac {(n-2)\pi }{n}}

الراديان؛ أو

{\frac {(n-2)}{2n}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{n}}

دورات كاملة ،

ولكل زاوية خارجية (أي مكملة للزاوية الداخلية) قياس من ${\tfrac {360}{n}}$ درجات، مع مجموع الزوايا الخارجية يساوي 360 درجة أو 2π راديان أو دورة كاملة.

عندما يقترب عدد الأضلاع (n) من اللانهاية، تقترب الزاوية الداخلية من 180 درجة. بالنسبة لمضلع منتظم ذي 10000 ضلع ( مضلع متعدد الأضلاع )، تبلغ الزاوية الداخلية 179.964 درجة. مع ازدياد عدد الأضلاع، قد تقترب الزاوية الداخلية جدًا من 180 درجة، ويقترب شكل المضلع من شكل الدائرة. مع ذلك، لا يمكن أن يتحول المضلع إلى دائرة أبدًا. لا يمكن أن تساوي قيمة الزاوية الداخلية 180 درجة بالضبط، لأن محيط الدائرة سيصبح خطًا مستقيمًا فعليًا (انظر المضلع اللانهائي ). لهذا السبب، الدائرة ليست مضلعًا ذا عدد لا نهائي من الأضلاع.

الأقطار

ل $n>2$ عدد الأقطار هو ${\tfrac {1}{2}}n(n-3)$ أي، 0، 2، 5، 9، ...، للمثلث، والمربع، والخماسي، والسداسي، ... . تقسم الأقطار المضلع إلى 1، 4، 11، 24، ... أجزاء. ^{[ أ ]}

بالنسبة لمضلع منتظم ذي n ضلعًا مرسوم داخل دائرة نصف قطرها $1$ ، حاصل ضرب المسافات من رأس معين إلى جميع الرؤوس الأخرى (بما في ذلك الرؤوس المجاورة والرؤوس المتصلة بقطر) يساوي n .

نقاط في المستوى

بالنسبة لمضلع منتظم بسيط ذي $n ضلع$ $ونصف$ قطر محيط $R$ ومسافات $di$ من نقطة عشوائية في المستوى إلى الرؤوس، لدينا ^{[ 2 ]}

{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}+3R^{4}={\biggl (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}+R^{2}{\biggr )}^{2}.

بالنسبة لقوى المسافات الأعلى $d_{i}$ من أي نقطة في المستوى إلى رؤوس مضلع منتظم ذي $n$ ضلعًا، إذا

S_{n}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}

،

ثم ^{[ 3 ]}

S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}\left(S_{n}^{(2)}-R^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}

،

و

S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\frac {1}{2^{k}}}{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}\left(S_{n}^{(4)}-\left(S_{n}^{(2)}\right)^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}

،

حيث $m$ عدد صحيح موجب أقل من $n$ .

إذا كانت $L$ هي المسافة من نقطة عشوائية في المستوى إلى مركز ثقل مضلع منتظم ذي $n$ ضلع ونصف قطر محيط $R$ ، فإن ^{[ 3 ]}

\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}=n\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}L^{2k}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m-2k}\right)

،

أين $m=1,2,\dots ,n-1$ .

نقاط داخلية

بالنسبة لمضلع منتظم $ذي n$ ضلعًا، فإن مجموع المسافات العمودية من أي نقطة داخلية إلى الأضلاع $n يساوي$ $n$ مضروبًا في المسافة العمودية من المركز إلى أي ضلع [ ^{4 ] :}^{ص 72.} وتُعدّ هذه تعميمًا لنظرية فيفياني لحالة n = 3. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

نصف القطر المحيطي

خماسي منتظم ( ن = 5) طول ضلعه s ونصف قطر الدائرة المحيطة به R وعموده a

يرتبط نصف قطر الدائرة المحيطة R من مركز المضلع المنتظم إلى أحد رؤوسه بطول الضلع s أو بالعمود a بالعلاقة التالية:

R={\frac {s}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\quad _{,}\quad a={\frac {s}{2\tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}

بالنسبة للمضلعات القابلة للإنشاء ، توجد تعبيرات جبرية لهذه العلاقات .

مجموع الأعمدة المرسومة من رؤوس مضلع منتظم ذي n ضلعًا إلى أي خط مماس للدائرة المحيطة به يساوي n ضعف نصف قطر الدائرة المحيطة. ^{[ 4 ]}^{: ص 73}

مجموع مربعات المسافات من رؤوس مضلع منتظم ذي n ضلعًا إلى أي نقطة على دائرته المحيطة يساوي 2nR²، حيث ^R هو نصف قطر الدائرة المحيطة. ^{[ 4 ]}^{: ص 73}

مجموع مربعات المسافات من منتصفات أضلاع مضلع منتظم ذي n ضلعًا إلى أي نقطة على الدائرة المحيطة به يساوي 2nR² - 1/ 4ns² ، حيث s هو طول الضلع^و R هو نصف قطر ^{الدائرة}المحيطة . ^[⁴^]^: ص⁷³

لو $d_{i}$ هي المسافات من رؤوس منتظم $n$ -gon إلى أي نقطة على دائرته المحيطة، ثم ^{[ 3 ]}

3{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}{\biggr )}^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}

.

التشريح

يذكر كوكسيتر أن كل شكل زونوغون (شكل ذو ضلعين طولهما 2 م، أضلاعهما المتقابلة متوازية ومتساوية الطول) يمكن تقسيمه إلى ${\tbinom {m}{2}}$ أو 1/2 م ( م - 1) متوازيات أضلاع . تحتوي هذه التبليطات على مجموعات فرعية من الرؤوس والحواف والوجوه في ^{إسقاطات} متعامدة من المكعبات م . ^[⁷ ]

ينطبق هذا بشكل خاص على أي مضلع منتظم ذي عدد زوجي من الأضلاع، وفي هذه الحالة تكون متوازيات الأضلاع جميعها معينات. يمكن تقسيم المضلعات المنتظمة ذات 4m+2 ضلعًا بطريقة ذات تناظر شعاعي من الرتبة (2m+1). تُبيّن القائمة OEIS : A006245 عدد الحلول للمضلعات الأصغر.

أمثلة على عمليات التشريح لمضلعات منتظمة مختارة ذات أضلاع زوجية

الجوانب	6	8	10	12	14	16
معينات	3	6	10	15	21	28


الجوانب	18	20	24	30	40	50
معينات	36	45	66	105	190	300

منطقة

المساحة A لمضلع منتظم محدب ذو n ضلعًا له ضلع s ونصف ^قطر محيط R و a ومحيط p معطاة بواسطة ^[⁸^]^[⁹ ] ${\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}nsa\\&={\tfrac {1}{2}}pa\\&={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)\\&=na^{2}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)\end{aligned}}$

بالنسبة للمضلعات المنتظمة التي يكون طول ضلعها s = 1، ونصف قطر محيطها R = 1، أو طول عمودها a = 1، ينتج عن ذلك الجدول التالي: ^{[ ب ]} ( بما أن $\cot x\rightarrow 1/x$ مثل $x\rightarrow 0$ المنطقة عندما $s=1$ يميل إلى $n^{2}/4\pi$ مثل $n$ (يكبر حجمه.)

عدد الأضلاع	المساحة عندما يكون طول الضلع s = 1		المساحة عندما يكون نصف قطر الدائرة المحيطة R = 1			المساحة عندما يكون العمود a = 1
عدد الأضلاع	بالضبط	التقريب	بالضبط	التقريب	نسبة إلى مساحة الدائرة المحيطة	بالضبط	التقريب	بالنسبة للمساحة داخل الدائرة
ن	$\scriptstyle {\tfrac {n}{4}}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)$		$\scriptstyle {\tfrac {n}{2}}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)$		$\scriptstyle {\tfrac {n}{2\pi }}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)$	$\scriptstyle n\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)$		$\scriptstyle {\tfrac {n}{\pi }}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)$
3	⁠ $\scriptstyle {\tfrac {\sqrt {3}}{4}}$ ⁠	0.433012702	⁠ $\scriptstyle {\tfrac {3{\sqrt {3}}}{4}}$ ⁠	1.299038105	0.4134966714	⁠ $\scriptstyle 3{\sqrt {3}}$ ⁠	5.196152424	1.653986686
4	1	1.000000000	2	2.000000000	0.6366197722	4	4.000000000	1.273239544
5	⁠ $\scriptstyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}$ ⁠	1.720477401	⁠ $\scriptstyle {\tfrac {5}{4}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}$ ⁠	2.377641291	0.7568267288	⁠ $\scriptstyle 5{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$ ⁠	3.632712640	1.156328347
6	⁠ $\scriptstyle {\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}$ ⁠	2.598076211	⁠ $\scriptstyle {\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}$ ⁠	2.598076211	0.8269933428	⁠ $\scriptstyle 2{\sqrt {3}}$ ⁠	3.464101616	1.102657791
7		3.633912444		2.736410189	0.8710264157		3.371022333	1.073029735
8	⁠ $\scriptstyle 2+2{\sqrt {2}}$ ⁠	4.828427125	⁠ $\scriptstyle 2{\sqrt {2}}$ ⁠	2.828427125	0.9003163160	⁠ $\scriptstyle 8\left({\sqrt {2}}-1\right)$ ⁠	3.313708500	1.054786175
9		6.181824194		2.892544244	0.9207254290		3.275732109	1.042697914
10	⁠ $\scriptstyle {\tfrac {5}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$ ⁠	7.694208843	⁠ $\scriptstyle {\tfrac {5}{2}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}$ ⁠	2.938926262	0.9354892840	⁠ $\scriptstyle 2{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}$ ⁠	3.249196963	1.034251515
11		9.365639907		2.973524496	0.9465022440		3.229891423	1.028106371
12	⁠ $\scriptstyle 6+3{\sqrt {3}}$ ⁠	11.19615242	3	3.000000000	0.9549296586	⁠ $\scriptstyle 12\left(2-{\sqrt {3}}\right)$ ⁠	3.215390309	1.023490523
13		13.18576833		3.020700617	0.9615188694		3.204212220	1.019932427
14		15.33450194		3.037186175	0.9667663859		3.195408642	1.017130161
15	⁠ $\scriptstyle {\tfrac {15}{8}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\right)$ ⁠	17.64236291	⁠ $\scriptstyle {\tfrac {15}{16}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)$ ⁠	3.050524822	0.9710122088	⁠ $\scriptstyle {\tfrac {15}{2}}\left(3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}-{\sqrt {2\left(25-11{\sqrt {5}}\right)}}\right)$ ⁠	3.188348426	1.014882824
16	⁠ $\scriptstyle 4\left(1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {2\left(2+{\sqrt {2}}\right)}}\right)$ ⁠	20.10935797	⁠ $\scriptstyle 4{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$ ⁠	3.061467460	0.9744953584	⁠ $\scriptstyle 16\left(1+{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {2\left(2-{\sqrt {2}}\right)}}-1\right)$ ⁠	3.182597878	1.013052368
17		22.73549190		3.070554163	0.9773877456		3.177850752	1.011541311
18		25.52076819		3.078181290	0.9798155361		3.173885653	1.010279181
19		28.46518943		3.084644958	0.9818729854		3.170539238	1.009213984
20	⁠ $\scriptstyle 5\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)$ ⁠	31.56875757	⁠ $\scriptstyle {\tfrac {5}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$ ⁠	3.090169944	0.9836316430	⁠ $\scriptstyle 20\left(1+{\sqrt {5}}-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)$ ⁠	3.167688806	1.008306663
100		795.5128988		3.139525977	0.9993421565		3.142626605	1.000329117
1000		79577.20975		3.141571983	0.9999934200		3.141602989	1.000003290
10⁴		7957746.893		3.141592448	0.9999999345		3.141592757	1.000000033
10⁶		79577471545		3.141592654	1.000000000		3.141592654	1.000000000

من بين جميع المضلعات ذات n ضلعًا بمحيط معين، يكون المضلع ذو المساحة الأكبر منتظمًا. ^{[ 10 ]}

مضلع قابل للإنشاء

بعض المضلعات المنتظمة يسهل إنشاؤها باستخدام الفرجار والمسطرة ، بينما يستحيل إنشاء مضلعات منتظمة أخرى على الإطلاق. عرف علماء الرياضيات اليونانيون القدماء كيفية إنشاء مضلع منتظم بثلاثة أو أربعة أو خمسة أضلاع، ^{[ 11 ]}^{: ص. 11،} كما عرفوا كيفية إنشاء مضلع منتظم بضعف عدد أضلاع مضلع منتظم مُعطى. ^{[ 11 ]}^{: ص. 49-50.} أدى هذا إلى طرح السؤال التالي: هل من الممكن إنشاء جميع المضلعات المنتظمة ذات n ضلعًا باستخدام الفرجار والمسطرة؟ إذا لم يكن ذلك ممكنًا، فأي المضلعات ذات n ضلعًا يمكن إنشاؤها وأيها لا يمكن إنشاؤها؟

أثبت كارل فريدريش غاوس إمكانية إنشاء المضلع المنتظم ذي 17 ضلعًا في عام 1796. وبعد خمس سنوات، طور نظرية الدورات الغاوسية في كتابه "Disquisitiones Arithmeticae" . وقد مكنته هذه النظرية من صياغة شرط كافٍ لإمكانية إنشاء المضلعات المنتظمة.

يمكن إنشاء شكل منتظم ذو n ضلع باستخدام الفرجار والمسطرة إذا كان n هو ناتج قوة العدد 2 وأي عدد من أعداد فيرما الأولية المختلفة (بما في ذلك عدم وجود أي عدد أولي).

(عدد فيرما الأولي هو عدد أولي على الصورة $2^{\left(2^{n}\right)}+1.$ ذكر غاوس، دون برهان، أن هذا الشرط ضروري أيضاً ، لكنه لم ينشر برهانه قط. وقدّم بيير وانتزل برهاناً كاملاً على الضرورة عام ١٨٣٧. وتُعرف هذه النتيجة باسم نظرية غاوس-وانتزل .

وبالمثل، يكون المضلع المنتظم ذو n ضلعًا قابلاً للإنشاء إذا وفقط إذا كان جيب تمام زاويته المشتركة عددًا قابلاً للإنشاء - أي يمكن كتابته بدلالة العمليات الحسابية الأساسية الأربع واستخراج الجذور التربيعية.

المضلعات المائلة المنتظمة

يحتوي المكعب على شكل سداسي منتظم مائل ، يظهر على شكل 6 حواف حمراء متعرجة بين مستويين متعامدين على المحور القطري للمكعب.	تمثل الحواف الجانبية المتعرجة لمنشور مضاد من النوع n منشورًا منتظمًا منحرفًا من النوع 2 n ، كما هو موضح في هذا المنشور المضاد ذو 17 ضلعًا.

يمكن اعتبار المضلع المائل المنتظم في الفضاء ثلاثي الأبعاد بمثابة مسارات غير مستوية متعرجة بين مستويين متوازيين، يُعرّفان على أنهما الحواف الجانبية لمنشور مضاد منتظم . جميع الحواف والزوايا الداخلية متساوية.

تحتوي الأجسام الأفلاطونية ( الهرم الرباعي ، المكعب ، الهرم الثماني ، الهرم الاثني عشري ، والهرم العشري ) على مضلعات بيتري، التي تظهر باللون الأحمر هنا، بأضلاع طولها 4، 6، 6، 10، و10 على التوالي.

بشكل عام، يمكن تعريف المضلعات المائلة المنتظمة في الفضاء ذي الأبعاد n . ومن الأمثلة على ذلك مضلعات بيتري ، وهي مسارات مضلعة من الحواف تقسم متعدد السطوح المنتظم إلى نصفين، وتُرى كمضلع منتظم في الإسقاط المتعامد.

في حالة اللانهاية، تصبح المضلعات المائلة المنتظمة مضلعات لا نهائية مائلة .

المضلعات النجمية المنتظمة

المضلع المنتظم غير المحدب هو مضلع نجمي منتظم . المثال الأكثر شيوعًا هو النجمة الخماسية ، التي لها نفس رؤوس الخماسي ، ولكنها تربط رؤوسًا متبادلة.

بالنسبة لمضلع نجمي ذي n ضلعًا، يُعدَّل رمز شلافلي للدلالة على كثافة أو "نجمية" المضلع m ، على النحو التالي: { n / m }. إذا كانت m تساوي 2، على سبيل المثال، فسيتم توصيل كل نقطة ثانية. وإذا كانت m تساوي 3، فسيتم توصيل كل نقطة ثالثة. يلتف محيط المضلع حول المركز m مرة.

النجوم العادية (غير المنحلة) التي يصل عدد جوانبها إلى 12 هي:

النجمة الخماسية – {5/2}
الشكل السباعي – {7/2} و {7/3}
الشكل الثماني – {8/3}
نمط الشخصية التساعي – {9/2} و {9/4}
ديكاجرام – {10/3}
الهينديكاغرام – {11/2}، {11/3}، {11/4} و{11/5}
مخطط اثني عشر – {12/5}

يجب أن يكون m و n عددين أوليين فيما بينهما ، وإلا فإن الشكل سيتدهور.

النجوم العادية المنحطة التي يصل عدد جوانبها إلى 12 جانبًا هي:

رباعي الأضلاع – {4/2}
الأشكال السداسية – {6/2}، {6/3}
المثمنات - {8/2}، {8/4}
إنياغون – {9/3}
العشريات - {10/2}، {10/4}، و{10/5}
الأضلاع الاثني عشرية – {12/2}، {12/3}، {12/4}، و{12/6}

تفسيران لـ {6/2}
غرونباوم {6/2} أو 2{3} ^{[ 13 ]}	كوكسيتر 2 {3} أو {6}[2{3}]{6}

سداسي ملتف مرتين	الشكل السداسي كتركيب من مثلثين

تختلف الآراء حول طبيعة الشكل المنحط تبعًا للأصل الدقيق لرمز شلافلي. على سبيل المثال، يمكن التعامل مع {6/2} بإحدى طريقتين:

على مدار معظم القرن العشرين (انظر على سبيل المثال Coxeter (1948) )، كنا نأخذ عادةً /2 للإشارة إلى ربط كل رأس من رؤوس {6} المحدبة بجيرانه القريبين على بعد خطوتين، للحصول على المركب المنتظم لمثلثين، أو الشكل السداسي .
يوضح كوكسيتر هذا المركب المنتظم باستخدام الرمز { kp }[ k { p }]{ kp } للمركب { p / k }، لذا يُمثَّل الشكل السداسي بـ {6}[2{3}]{6}. ^{[ 14 ]} وبشكل أكثر إيجازًا، يكتب كوكسيتر أيضًا 2{ n /2}، مثل 2{3} للشكل السداسي كمركب من تناوبات المضلعات المنتظمة ذات الأضلاع الزوجية، مع وضع خط مائل على العامل الرئيسي لتمييزه عن التفسير المتطابق. ^{[ 15 ]}
يعتبر العديد من علماء الهندسة المعاصرين، مثل غرونباوم (2003) ^{[ 13 ]} ، هذا غير صحيح. فهم يعتبرون /2 دلالة على التحرك موضعين حول {6} في كل خطوة، ما ينتج عنه مثلث "ملفوف مرتين" له رأسان متراكبان عند كل زاوية وضلعان على طول كل قطعة مستقيمة. لا يتوافق هذا فقط مع النظريات الحديثة للمضلعات المجردة ، بل إنه يحاكي بشكل أدق الطريقة التي ابتكر بها بوينسو (1809) مضلعاته النجمية - وذلك بأخذ سلك واحد وثنيه عند نقاط متتالية بنفس الزاوية حتى يكتمل الشكل.

ازدواجية المضلعات المنتظمة

جميع المضلعات المنتظمة هي متماثلة ذاتيًا مع التطابق ، وبالنسبة لـ n الفردي فهي متماثلة ذاتيًا مع الهوية.

بالإضافة إلى ذلك، فإن الأشكال النجمية المنتظمة (المركبات)، كونها تتكون من مضلعات منتظمة، هي أيضًا ذاتية التناظر.

المضلعات المنتظمة كوجوه متعددة السطوح

يحتوي المجسم المنتظم على مضلعات منتظمة كأوجه، بحيث يكون لكل رأسين يوجد تطابق هندسي يحول أحدهما إلى الآخر (تمامًا كما هو الحال بالنسبة للمضلع المنتظم).

المجسم شبه المنتظم هو مجسم منتظم يحتوي على نوعين فقط من الأوجه يتناوبان حول كل رأس.

المجسم المنتظم هو مجسم موحد له نوع واحد فقط من الوجوه.

تُعرف المجسمات المحدبة المتبقية (غير المنتظمة) ذات الوجوه المنتظمة باسم مجسمات جونسون .

يُطلق على المجسم متعدد الأوجه الذي يحتوي على مثلثات منتظمة كأوجه اسم دلتاهيدرون .

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ (التسلسل A007678 في OEIS )

↑ النتائج لـ R = 1 و a = 1 التي تم الحصول عليها باستخدام برنامج Maple ، باستخدام تعريف الدالة:

f : = proc ( n ) options operator , arrow ; [ [ convert ( 1/4 * n * cot ( Pi / n ) , radical ) , convert ( 1/4 * n * cot ( Pi / n ) , float ) ] , [ convert ( 1/2 * n * sin ( 2 * Pi / n ) , radical ) , convert ( 1/2 * n * sin ( 2 * Pi / n ) , float ) , convert ( 1/2 * n * sin ( 2 * Pi / n ) / Pi , float ) ] , [ convert ( n * tan ( Pi / n ) , radical ) , convert ( n * tan ( Pi / n ) , float ) , convert ( n * tan ( Pi / n ) / Pi , float ) ] ] end proc

يتم الحصول على التعبيرات الخاصة بـ n = 16 من خلال تطبيق صيغة نصف الزاوية الظلية مرتين على tan(π/4).

مراجع

↑ هوا، يونغ لي (2017). فن طي الورق - الأعداد القابلة للبناء (ملف PDF) (رسالة ماجستير). جامعة جورجيا. الصفحات 55-59 .
↑ بارك، بو سونغ. "مسافات متعددات السطوح المنتظمة"، منتدى الهندسة 16، 2016، 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf مؤرشف بتاريخ 10-10-2016 في أرشيف الإنترنت
1 2 3 ميشكيشفيلي، ماموكا (2020). "المتوسطات الدورية للمضلعات المنتظمة والأجسام الأفلاطونية" . الاتصالات في الرياضيات والتطبيقات . 11 : 335-355 . arXiv : 2010.12340 . doi : 10.26713/cma.v11i3.1420 (غير نشط في 1 يوليو 2025).{{cite journal}}: صيانة CS1: رقم التعريف الرقمي غير نشط اعتبارًا من يوليو 2025 ( رابط )
1 2 3 4 جونسون، روجر أ.، الهندسة الإقليدية المتقدمة ، دار نشر دوفر، 2007 (الأصل 1929).
↑ بيكوفر، كليفورد أ، كتاب الرياضيات ، ستيرلينغ، 2009: ص 150
↑ تشن، تشيبو، وليانغ، تيان. “عكس نظرية فيفياني”، مجلة كلية الرياضيات 37(5)، 2006، الصفحات من 390 إلى 391.
↑ كوكسيتر ، الترفيهات الرياضية والمقالات، الطبعة الثالثة عشرة، ص 141
↑ "مرجع الرياضيات المفتوح" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 فبراير 2014 .
↑ "كلمات رياضية" .
↑ شاكريان، جي دي "نظرة مشوهة للهندسة". الفصل 7 في كتاب " البرقوق الرياضية " (تحرير ر. هونسبرغر). واشنطن العاصمة: الجمعية الرياضية الأمريكية، 1979: 147.
1 2 بولد، بنيامين. مسائل الهندسة الشهيرة وكيفية حلها ، منشورات دوفر، 1982 (الأصل 1969).
↑ كابراف، جاي (2002). ما وراء القياس: جولة إرشادية عبر الطبيعة والأسطورة والعدد . وورلد ساينتيفيك. ص 258. ISBN 978-981-02-4702-7.
1 2 هل أشكال متعددة الأوجه لديك هي نفسها أشكال متعددة الأوجه لدي؟ برانكو غرونباوم (2003)، الشكل 3
↑ متعددات الوجوه المنتظمة، ص 95
↑ كوكسيتر، كثافات المضلعات المنتظمة II، 1932، ص 53

للمزيد من القراءة

لي، هوا يونغ؛ "الأوريغامي - الأرقام القابلة للبناء".
كوكسيتر، إتش إس إم (1948). متعددات الوجوه المنتظمة . ميثوين وشركاه.
غرونباوم، ب.؛ هل متعددات السطوح الخاصة بك هي نفسها متعددات السطوح الخاصة بي؟، الهندسة المنفصلة والحاسوبية: كتاب غودمان-بولاك التذكاري ، تحرير أرونوف وآخرون، سبرينغر (2003)، ص 461-488.
بوينسوت، إل . Memoire sur les polygones and polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9 (1810)، الصفحات من 16 إلى 48.

روابط خارجية

وايسشتاين، إريك دبليو. "المضلع المنتظم" . عالم الرياضيات .
وصف المضلع المنتظم مع رسوم متحركة تفاعلية
الدائرة الداخلية لمضلع منتظم مع رسوم متحركة تفاعلية
مساحة المضلع المنتظم: ثلاث صيغ مختلفة، مع رسوم متحركة تفاعلية
إنشاءات فناني عصر النهضة للمضلعات المنتظمة. مؤرشف بتاريخ 12 فبراير 2006 في أرشيف الإنترنت ( Wayback Machine) على موقع Convergence .

v ت هـ المضلعات المحدبة الأساسية المنتظمة والمتجانسة في الأبعاد من 2 إلى 10
عائلة	$أن $	$ب ن$	$I 2 (p)$ / $D n$	$E 6$ / $E 7$ / $E 8$ / $F 4$ / $G 2$	$H n$
مضلع منتظم	مثلث	مربع	بي-جون	مسدس	البنتاغون
متعدد السطوح منتظم	رباعي الأوجه	ثماني الأوجه • مكعب	مكعب ديميكيوب		المجسم ذو الاثني عشر وجهًا • المجسم ذو العشرين وجهًا
بوليكلورون موحد	بنتاشورون	16 خلية • تيسيراكت	ديميتسيراكت	24 خلية	120 خلية • 600 خلية
متعدد الوجوه الخماسي المنتظم	5-simplex	5-أورثوبليكس • 5-كيوب	5-نصف مكعب
متعدد الوجوه سداسي منتظم	6-simplex	6-أورثوبليكس • 6-كيوب	6-نصف مكعب	1 ₂₂ • 2 ₂₁
متعدد الوجوه منتظم ذو 7 أوجه	7-simplex	7-أورثوبليكس • 7-كيوب	7-نصف مكعب	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
متعدد الوجوه منتظم ذو 8 أوجه	8-simplex	8-أورثوبليكس • 8-كيوب	8-نصف مكعب	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
متعدد الوجوه موحد ذو 9 أوجه	9-simplex	9-أورثوبليكس • 9-كيوب	9-نصف مكعب
متعدد الوجوه منتظم مكون من 10 أجزاء	10-simplex	10-أورثوبلكس • 10-كيوب	10-نصف مكعب
متعدد السطوح المنتظم من النوع n	n - سيمبلكس	ن - أورثوبليكس • ن - كيوب	ن - نصف مكعب	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	متعدد الوجوه الخماسي n
المواضيع: عائلات متعددات الوجوه • متعدد الوجوه المنتظم • قائمة متعددات الوجوه المنتظمة والمركبات • عمليات متعددات الوجوه

[2] (التسلسل A007678 في OEIS )

[11] النتائج لـ R = 1 و a = 1 التي تم الحصول عليها باستخدام برنامج Maple ، باستخدام تعريف الدالة:
f : = proc ( n ) options operator , arrow ; [ [ convert ( 1/4 * n * cot ( Pi / n ) , radical ) , convert ( 1/4 * n * cot ( Pi / n ) , float ) ] , [ convert ( 1/2 * n * sin ( 2 * Pi / n ) , radical ) , convert ( 1/2 * n * sin ( 2 * Pi / n ) , float ) , convert ( 1/2 * n * sin ( 2 * Pi / n ) / Pi , float ) ] , [ convert ( n * tan ( Pi / n ) , radical ) , convert ( n * tan ( Pi / n ) , float ) , convert ( n * tan ( Pi / n ) / Pi , float ) ] ] end proc
يتم الحصول على التعبيرات الخاصة بـ n = 16 من خلال تطبيق صيغة نصف الزاوية الظلية مرتين على tan(π/4).

[1] هوا، يونغ لي (2017). فن طي الورق - الأعداد القابلة للبناء (ملف PDF) (رسالة ماجستير). جامعة جورجيا. الصفحات 55-59 .

[3] بارك، بو سونغ. "مسافات متعددات السطوح المنتظمة"، منتدى الهندسة 16، 2016، 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf مؤرشف بتاريخ 10-10-2016 في أرشيف الإنترنت

[Mamuka-4] 1 2 3 ميشكيشفيلي، ماموكا (2020). "المتوسطات الدورية للمضلعات المنتظمة والأجسام الأفلاطونية" . الاتصالات في الرياضيات والتطبيقات . 11 : 335-355 . arXiv : 2010.12340 . doi : 10.26713/cma.v11i3.1420 (غير نشط في 1 يوليو 2025).{{cite journal}}: صيانة CS1: رقم التعريف الرقمي غير نشط اعتبارًا من يوليو 2025 ( رابط )

[Johnson-5] 1 2 3 4 جونسون، روجر أ.، الهندسة الإقليدية المتقدمة ، دار نشر دوفر، 2007 (الأصل 1929).

[6] بيكوفر، كليفورد أ، كتاب الرياضيات ، ستيرلينغ، 2009: ص 150

[7] تشن، تشيبو، وليانغ، تيان. “عكس نظرية فيفياني”، مجلة كلية الرياضيات 37(5)، 2006، الصفحات من 390 إلى 391.

[8] كوكسيتر ، الترفيهات الرياضية والمقالات، الطبعة الثالثة عشرة، ص 141

[9] "مرجع الرياضيات المفتوح" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 فبراير 2014 .

[10] "كلمات رياضية" .

[12] شاكريان، جي دي "نظرة مشوهة للهندسة". الفصل 7 في كتاب " البرقوق الرياضية " (تحرير ر. هونسبرغر). واشنطن العاصمة: الجمعية الرياضية الأمريكية، 1979: 147.

[Bold-13] 1 2 بولد، بنيامين. مسائل الهندسة الشهيرة وكيفية حلها ، منشورات دوفر، 1982 (الأصل 1969).

[14] كابراف، جاي (2002). ما وراء القياس: جولة إرشادية عبر الطبيعة والأسطورة والعدد . وورلد ساينتيفيك. ص 258. ISBN 978-981-02-4702-7.

[Branko-15] 1 2 هل أشكال متعددة الأوجه لديك هي نفسها أشكال متعددة الأوجه لدي؟ برانكو غرونباوم (2003)، الشكل 3

[16] متعددات الوجوه المنتظمة، ص 95

[17] كوكسيتر، كثافات المضلعات المنتظمة II، 1932، ص 53

[ 1 ]

[ أ ]

[ 2 ]

[ 3 ]

4 ] :

[ 5 ]

[ 6 ]

إسقاطات

قطر

[

[ ب ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗