نظرية ابن العم

في التحليل الحقيقي ، وهو فرع من فروع الرياضيات، تنص نظرية كوزين على ما يلي:

إذا كان لكل نقطة في منطقة مغلقة (أو " مغلقة ومحدودة " بالمعنى الحديث ) دائرة ذات نصف قطر محدود (أو " جوار ")، فإنه يمكن تقسيم المنطقة إلى عدد محدود من المناطق الفرعية بحيث تكون كل منطقة فرعية داخل دائرة من مجموعة معينة مركزها في تلك المنطقة الفرعية. ^{[ 1 ]}

تم إثبات هذه النتيجة في الأصل بواسطة بيير كوزان، وهو تلميذ هنري بوانكاريه ، في عام 1895، وهي توسع نظرية هاين-بوريل الأصلية حول التراص للأغطية العشوائية للمجموعات الفرعية المتراصة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ومع ذلك، لم يُنسب الفضل إلى بيير كوزان. فقد نُسبت نظرية كوزان عمومًا إلى هنري لوبيغ باسم نظرية بوريل-لوبيغ . وكان لوبيغ على دراية بهذه النتيجة في عام 1898، وأثبتها في أطروحته عام 1903. ^{[ 1 ]}

وبعبارة حديثة، يُقال ذلك على النحو التالي:

يترك${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ليكن غطاءً كاملاً للفترة [ a , b ]، أي مجموعة من الفترات الجزئية المغلقة من [ a , b ] بحيث يكون لكل x ∈ [ a , b ]، يوجد δ > 0 بحيث${\displaystyle {\mathcal {C}}}$تحتوي على جميع الفترات الجزئية من [ a , b ] التي تحتوي على x وطولها أصغر من δ . عندئذٍ يوجد تجزئة${\displaystyle {I_{1},I_{2},\cdots ,I_{n}}}$من الفترات غير المتداخلة لـ [ a , b ]، حيث${\displaystyle I_{i}=[x_{i-1},x_{i}]\in {\mathcal {C}}}$و a = x ₀ < x ₁ < ⋯ < x _n = b لجميع 1≤ i ≤ n .

تُدرس نظرية كوزين في الرياضيات العكسية حيث أنها واحدة من أولى النظريات من الدرجة الثالثة التي يصعب إثباتها من حيث بديهيات الفهم المطلوبة.

تُعد نظرية كوزين أداة أساسية في دراسة تكامل هينستوك-كورزويل ، وفي هذا السياق، تُعرف باسم لِمة كوزين أو نظرية الدقة .

مقياس على${\displaystyle [a,b]}$هي دالة حقيقية موجبة تمامًا${\displaystyle \delta$ :[a,b]\to \mathbb {R} ^{+}} ، بينما التقسيم الموسوم لـ${\displaystyle [a,b]}$هي متتالية منتهية ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle P=\langle a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq \cdots \leq x_{\ell -1}\leq t_{\ell }\leq x_{\ell }=b\rangle }$

بالنظر إلى مقياس${\displaystyle \delta$ :[a,b]\to \mathbb {R} ^{+}} وقسم مُوسَم${\displaystyle P}$ل${\displaystyle [a,b]}$نقول${\displaystyle P}$يكون${\displaystyle \delta }$-لا بأس إن كان ذلك للجميع${\displaystyle 1\leq j\leq \ell }$لدينا${\displaystyle [x_{j-1},x_{j}]\subseteq B{\big (}t_{j},\delta (t_{j}){\big )}}$، أين${\displaystyle B(x,r)}$يرمز إلى الكرة المفتوحة ذات نصف القطر${\displaystyle r}$مركزها في${\displaystyle x}$تُصاغ الآن معضلة كوزين على النحو التالي:

لو${\displaystyle a\leq b\in \mathbb {R} }$ثم كل مقياس${\displaystyle \delta$ :[a,b]\to \mathbb {R} ^{+}} له a${\displaystyle \delta }$-تقسيم دقيق . ^{[ 4 ]}

لنظرية كوزين برهان حدسي باستخدام مبدأ الاستقراء المفتوح ، والذي ينص على ما يلي:

مجموعة فرعية مفتوحة${\displaystyle S}$فترة حقيقية مغلقة${\displaystyle [a,b]}$يُقال إن الاستدلال استقرائي إذا كان يحقق ما يلي:${\displaystyle [a,r)\subset S}$يشير إلى${\displaystyle [a,r]\subset S}$ينص مبدأ الاستقراء المفتوح على أن أي مجموعة جزئية مفتوحة استقرائية${\displaystyle S}$ل${\displaystyle [a,b]}$يجب أن تكون المجموعة كاملة.