هنري لوبيغ

هنري ليون لوبيغ (‎/ləˈbɛɡ / ‎؛ [ 3 ] ^{بالفرنسية} : ^[ ɑ̃ʁi leɔ̃ ləbɛɡ] ‎؛ ²⁸ يونيو 1875 - 26 يوليو 1941) كان عالم رياضيات فرنسيًا اشتهر بنظرية التكامل ، التي كانت تعميمًا لمفهوم التكامل في القرن السابع عشر، وهو جمع المساحة بين محور ومنحنى دالة معرفة على ذلك المحور. نُشرت نظريته في الأصل في أطروحته " Intégrale, longueur, aire " (التكامل، الطول، المساحة) في جامعة نانسي عام 1902. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

وُلد هنري لوبيغ في 28 يونيو 1875 في بوفيه ، أواز . كان والده يعمل في الطباعة، وكانت والدته مُعلمة . أنشأ والداه مكتبة منزلية كان بإمكان هنري الصغير استخدامها. توفي والده بمرض السل عندما كان لوبيغ لا يزال صغيرًا جدًا، واضطرت والدته لإعالته بمفردها. ولأنه أظهر موهبةً فذةً في الرياضيات في المرحلة الابتدائية، رتب أحد مُعلميه دعمًا مجتمعيًا لمواصلة تعليمه في كلية بوفيه ، ثم في ثانوية سان لويس ، ثم ثانوية لويس لو غران في باريس . ^{[ 6 ]}

في عام ١٨٩٤، قُبل لوبيغ في المدرسة العليا للأساتذة ، حيث واصل تركيز جهوده على دراسة الرياضيات، وتخرج منها عام ١٨٩٧. بعد تخرجه، بقي في المدرسة العليا للأساتذة لمدة عامين، وعمل في المكتبة، حيث اطلع على أبحاث رينيه لويس باير، وهو خريج حديث من المدرسة، حول الانقطاع . في الوقت نفسه، بدأ دراساته العليا في جامعة السوربون ، حيث اطلع على أعمال إميل بوريل في نظرية القياس المبدئي ، وأعمال كاميل جوردان في قياس جوردان . في عام ١٨٩٩، انتقل إلى وظيفة تدريس في مدرسة ليسيه سنترال في نانسي ، بينما واصل العمل على أطروحته للدكتوراه. في عام ١٩٠٢، حصل على درجة الدكتوراه من جامعة السوربون عن أطروحته الرائدة بعنوان "التكامل، الطول، المساحة"، والتي قدمها تحت إشراف بوريل، الذي يكبره بأربع سنوات. ^{[ ٧ ]}

تزوج ليبيغ من أخت أحد زملائه الطلاب، وأنجب هو وزوجته طفلين، سوزان وجاك.

بعد نشر أطروحته، عُرض على لوبيغ في عام 1902 منصب في جامعة رين ، حيث حاضر هناك حتى عام 1906، ثم انتقل إلى كلية العلوم بجامعة بواتييه . وفي عام 1910، انتقل لوبيغ إلى جامعة السوربون كمحاضر ، ورُقّي إلى أستاذ ابتداءً من عام 1919. وفي عام 1921، غادر السوربون ليصبح أستاذًا للرياضيات في كوليج دو فرانس ، حيث حاضر وأجرى أبحاثًا لبقية حياته. ^{[ 8 ]} وفي عام 1922، انتُخب عضوًا في أكاديمية العلوم . توفي هنري لوبيغ في 26 يوليو 1941 في باريس . ^{[ 7 ]}

نُشرت أول ورقة بحثية لليبيغ عام 1898 بعنوان "حول تقريب الدوال". تناولت هذه الورقة نظرية فايرشتراس حول تقريب الدوال المتصلة باستخدام كثيرات الحدود. بين مارس 1899 وأبريل 1901، نشر ليبيغ ست مذكرات في مجلة Comptes Rendus . تناولت أول هذه المذكرات، والتي لا علاقة لها بتطويره لتكامل ليبيغ، توسيع نظرية باير لتشمل الدوال ذات متغيرين. أما المذكرات الخمس التالية، فتناولت الأسطح القابلة للتطبيق على مستوى، ومساحة المضلعات المائلة ، وتكاملات السطح ذات المساحة الدنيا بحد معين، وقدمت المذكرة الأخيرة تعريف تكامل ليبيغ لدالة ما f(x). ظهرت أطروحة لوبيغ العظيمة، "التكامل، الطول، المساحة" ، مع عرض كامل لهذا العمل، في مجلة "حوليات الرياضيات" عام ١٩٠٢. يتناول الفصل الأول نظرية القياس (انظر قياس بوريل ). وفي الفصل الثاني، يُعرّف التكامل هندسيًا وتحليليًا. وتُوسّع الفصول التالية ملاحظات "كومبت راندو" المتعلقة بالطول والمساحة والأسطح القابلة للتطبيق. أما الفصل الأخير فيتناول بشكل أساسي مسألة بلاتو . تُعتبر هذه الأطروحة من أروع ما كتبه عالم رياضيات على الإطلاق. ^{[ ١ ]}

جُمعت محاضراته التي ألقاها بين عامي 1902 و1903 في كتاب بعنوان " محاضرات بوريل " بعنوان " دروس في التكامل والبحث عن الدوال الأولية ". وتُعدّ مسألة التكامل، بوصفها بحثًا عن دالة أولية، محور الكتاب. يعرض لوبيغ مسألة التكامل في سياقها التاريخي، متناولًا بالبحث أوغستين لويس كوشي ، وبيتر غوستاف ليجون ديريشليه ، وبرنهارد ريمان . ويطرح لوبيغ ستة شروط يُستحسن أن يستوفيها التكامل، آخرها: "إذا تزايدت المتتالية fⁿ ₍ x) حتى النهاية f(x)، فإن تكامل fⁿ ₍ x) يؤول إلى تكامل f(x)". ويُبيّن لوبيغ أن شروطه تُفضي إلى نظرية القياس والدوال القابلة للقياس ، وإلى التعريفات التحليلية والهندسية للتكامل.

ثم انتقل إلى الدوال المثلثية في بحثه المنشور عام ١٩٠٣ بعنوان "حول المتسلسلات المثلثية". وقدّم في هذا البحث ثلاث نظريات رئيسية: أن المتسلسلة المثلثية التي تمثل دالة محدودة هي متسلسلة فورييه، وأن معامل فورييه النوني ^يؤول إلى الصفر ( مبرهنة ريمان-ليبيغ )، وأن متسلسلة فورييه قابلة للتكامل حدًا حدًا. وفي الفترة ١٩٠٤-١٩٠٥، ألقى ليبيغ محاضرة أخرى في كوليج دو فرانس ، هذه المرة حول المتسلسلات المثلثية، ثم نشر محاضراته في إحدى "رسائل بوريل". وفي هذه الرسالة، تناول الموضوع مرة أخرى في سياقه التاريخي، وشرح متسلسلات فورييه، ونظرية كانتور-ريمان، وتكامل بواسون ، ومسألة ديريشليه .

في ورقة بحثية نُشرت عام ١٩١٠ بعنوان "التمثيل المثلثي التقريبي للدوال التي تحقق شرط ليبشيتز"، تناول الباحث متسلسلة فورييه للدوال التي تحقق شرط ليبشيتز ، مع تقييم رتبة مقدار حد الباقي. كما أثبت أن مبرهنة ريمان-ليبيغ هي أفضل نتيجة ممكنة للدوال المتصلة، وقدم بعض المعالجة لثوابت ليبيغ .

كتب ليبيغ ذات مرة: "Réduites à des théories générales، les mathématiques seraient une belle form sans contenu." ("إذا اختزلنا النظريات العامة، فإن الرياضيات ستكون شكلاً جميلاً بدون محتوى.")

في التحليل النظري للقياس والفروع ذات الصلة من الرياضيات، يعمم تكامل ليبيغ-ستيلتيس تكامل ريمان-ستيلتيس وليبيغ، مع الحفاظ على العديد من مزايا الأخير في إطار نظري للقياس أكثر عمومية.

خلال مسيرته المهنية، خاض لوبيغ غمار التحليل المركب والطوبولوجيا . كما اختلف مع إميل بوريل حول أيّ التكاملين أكثر عمومية. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} مع ذلك، تتضاءل هذه المحاولات البسيطة مقارنةً بإسهاماته في التحليل الحقيقي ؛ فقد كان لإسهاماته في هذا المجال أثرٌ بالغٌ على شكله الحالي، وأصبحت أساليبه جزءًا أساسيًا من التحليل الحديث. ولها آثار عملية هامة على الفيزياء الأساسية، والتي ربما لم يكن لوبيغ على دراية بها، كما سيُبين لاحقًا.

التكامل عملية رياضية تُقابل فكرة حساب المساحة تحت منحنى دالة . وضع أرخميدس أول نظرية للتكامل في القرن الثالث قبل الميلاد باستخدام طريقة التربيع ، لكن تطبيقها كان محدودًا في ظروف معينة تتطلب درجة عالية من التناظر الهندسي. في القرن السابع عشر، اكتشف إسحاق نيوتن وغوتفريد فيلهلم لايبنتز أن التكامل مرتبط جوهريًا بالتفاضل ، الذي يُستخدم لقياس سرعة تغير الدالة عند أي نقطة على منحنى الدالة. تُعرف هذه العلاقة المدهشة بين عمليتين هندسيتين رئيسيتين في حساب التفاضل والتكامل، وهما التفاضل والتكامل، الآن باسم النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل. وقد مكّنت هذه النظرية علماء الرياضيات من حساب فئة واسعة من التكاملات لأول مرة. مع ذلك، وعلى عكس طريقة أرخميدس التي استندت إلى الهندسة الإقليدية ، رأى علماء الرياضيات أن حساب التكامل لنيوتن ولايبنتز يفتقر إلى أساس متين.

يُعدّ المفهوم الرياضي للنهاية ، والمفهوم المرتبط به ارتباطًا وثيقًا، التقارب، عنصرين أساسيين في أي تعريف حديث للتكامل. في القرن التاسع عشر، طوّر كارل فايرشتراس تعريف إبسيلون-دلتا الدقيق للنهاية، والذي لا يزال مقبولًا ومستخدمًا من قِبل علماء الرياضيات حتى اليوم. وقد استند فايرشتراس إلى أعمال سابقة، وإن لم تكن دقيقة، لأوغستين كوشي ، الذي استخدم المفهوم غير القياسي للأعداد المتناهية الصغر ، وهو مفهوم مرفوض اليوم في التحليل الرياضي القياسي . وقبل كوشي، وضع برنارد بولزانو الأسس الجوهرية لتعريف إبسيلون-دلتا. للمزيد، انظر هنا .

تابع برنارد ريمان هذا العمل بصياغة ما يُعرف الآن بتكامل ريمان . ولتعريف هذا التكامل، تُملأ المساحة أسفل الرسم البياني بمستطيلات أصغر فأصغر ، ثم يُحسب مجموع مساحات هذه المستطيلات في كل مرحلة. مع ذلك، بالنسبة لبعض الدوال، لا تقترب المساحة الكلية لهذه المستطيلات من قيمة واحدة، وبالتالي لا يوجد لها تكامل ريمان.

ابتكر لوبيغ طريقة جديدة للتكامل لحل هذه المشكلة. فبدلاً من استخدام مساحات المستطيلات، التي تركز على مجال الدالة، نظر لوبيغ إلى المجال المقابل للدالة كوحدة أساسية للمساحة. تمثلت فكرة لوبيغ في تعريف القياس أولاً، لكل من المجموعات والدوال على تلك المجموعات. ثم شرع في بناء التكامل لما أسماه الدوال البسيطة ؛ وهي دوال قابلة للقياس تأخذ عددًا محدودًا من القيم. بعد ذلك، عرّفه للدوال الأكثر تعقيدًا على أنه الحد الأعلى الأدنى لجميع تكاملات الدوال البسيطة الأصغر من الدالة المعنية.

تتميز طريقة تكامل لوبيغ بخاصية أن كل دالة معرفة على فترة محدودة ولها تكامل ريمان لها أيضًا تكامل لوبيغ، ويتطابق التكاملان في هذه الحالة. علاوة على ذلك، فإن كل دالة محدودة على فترة محدودة مغلقة لها تكامل لوبيغ، وهناك العديد من الدوال التي لها تكامل لوبيغ ولكن ليس لها تكامل ريمان. كل هذه المزايا مقارنةً بتكامل ريمان جعلت طريقة لوبيغ أداةً أكثر فعاليةً للرياضيين.

As part of the development of Lebesgue integration, Lebesgue invented the concept of measure, which extends the idea of length from intervals to a very large class of sets, called measurable sets. This larger class of sets meant that Lebesgue's technique for turning a measure into an integral generalises easily to many other situations with measurable sets, leading to the modern field of measure theory.

The Lebesgue integral is deficient in one respect. The Riemann integral generalises to the improper Riemann integral to measure functions whose domain of definition is not a closed interval. The Lebesgue integral integrates many of these functions (always reproducing the same answer when it does), but not all of them. For functions on the real line, the Henstock integral is an even more general notion of integral (based on Riemann's theory rather than Lebesgue's) that subsumes both Lebesgue integration and improper Riemann integration. However, the Henstock integral depends on specific ordering features of the real line and so does not generalise to allow integration in more general spaces (say, manifolds), while the Lebesgue integral extends to such spaces quite naturally.

• الوسائط المتعلقة بـ Henri-Léon Lebesgue في ويكيميديا ​​​​كومنز
• هنري ليون ليبيسج (28 يونيو 1875 [رين] - 26 يوليو 1941 [باريس]) (بالفرنسية)