الرياضيات العكسية

تركز معظم أبحاث الرياضيات العكسية على الأنظمة الفرعية للحساب من الرتبة الثانية . وقد أثبتت الدراسات في هذا المجال أن الأنظمة الفرعية الضعيفة للحساب من الرتبة الثانية كافية لصياغة جميع مسائل الرياضيات تقريبًا على مستوى المرحلة الجامعية الأولى. في الحساب من الرتبة الثانية، يمكن تمثيل جميع العناصر إما بأعداد طبيعية أو بمجموعات من الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال، لإثبات نظريات حول الأعداد الحقيقية، يمكن تمثيل الأعداد الحقيقية كمتتاليات كوشي من الأعداد النسبية ، حيث يمكن تمثيل كل متتالية منها كمجموعة من الأعداد الطبيعية. ^{[ 6 ]}

تُعرَّف أنظمة البديهيات الأكثر شيوعًا في الرياضيات العكسية باستخدام مخططات بديهية تُسمى مخططات الفهم . ينص هذا المخطط على وجود أي مجموعة من الأعداد الطبيعية قابلة للتعريف بصيغة ذات تعقيد معين. في هذا السياق، يُقاس تعقيد الصيغ باستخدام التسلسل الهرمي الحسابي والتسلسل الهرمي التحليلي . ^{[ 7 ]}

السبب في عدم استخدام نظرية المجموعات كأساس للرياضيات العكسية هو أن لغة نظرية المجموعات شديدة التعبير. ^{[ 8 ]} يمكن تعريف مجموعات معقدة للغاية من الأعداد الطبيعية بصيغ بسيطة في لغة نظرية المجموعات (التي يمكنها التكميم على أي مجموعة). في سياق الحساب من الدرجة الثانية، تُثبت نتائج مثل نظرية بوست وجود صلة وثيقة بين تعقيد الصيغة وقابلية حساب المجموعة التي تُعرّفها (أو عدم قابليتها).

من الآثار الأخرى لاستخدام الحساب من الرتبة الثانية ضرورة تقييد النظريات الرياضية العامة بالصيغ التي يمكن التعبير عنها ضمن الحساب. على سبيل المثال، يمكن للحساب من الرتبة الثانية التعبير عن مبدأ "لكل فضاء متجهي قابل للعد أساس" ، لكنه لا يستطيع التعبير عن مبدأ "لكل فضاء متجهي أساس". عمليًا، يعني هذا أن نظريات الجبر والتوافقية تقتصر على البنى القابلة للعد، بينما تقتصر نظريات التحليل والطوبولوجيا على الفضاءات القابلة للفصل . ^{[ 9 ]} العديد من المبادئ التي تستلزم بديهية الاختيار في صيغتها العامة (مثل "لكل فضاء متجهي أساس") تصبح قابلة للإثبات في الأنظمة الفرعية الضعيفة للحساب من الرتبة الثانية عند تقييدها. على سبيل المثال، لا يمكن إثبات "لكل حقل إغلاق جبري" في نظرية مجموعات ZF، لكن الصيغة المقيدة "لكل حقل قابل للعد إغلاق جبري" قابلة للإثبات في RCA ₀ ، وهو أضعف نظام يُستخدم عادةً في الرياضيات العكسية. ^{[ 10 ]}

يركز فرع حديث من أبحاث الرياضيات العكسية ذات الرتب العليا ، والذي بدأه أولريش كولينباخ عام ٢٠٠٥، على الأنظمة الفرعية للحساب ذي الرتب العليا . ^{[ ١١ ]} ونظرًا للغة الحسابية ذات الرتب العليا الأكثر ثراءً، فإن استخدام التمثيلات (المعروفة أيضًا باسم "الرموز") الشائعة في الحساب ذي الرتب الثانية، يتقلص بشكل كبير. على سبيل المثال، الدالة المتصلة على فضاء كانتور هي ببساطة دالة تربط المتتاليات الثنائية بمتتاليات ثنائية أخرى، وتفي أيضًا بتعريف "إبسيلون-دلتا" المعتاد للاتصال.

يشمل علم الرياضيات العكسية من الرتبة العليا نسخًا من الرتبة العليا لمخططات الفهم (من الرتبة الثانية). تنص بديهية من الرتبة العليا على وجود دالة تحدد صحة أو خطأ الصيغ ذات تعقيد معين. في هذا السياق، يُقاس تعقيد الصيغ أيضًا باستخدام التسلسل الهرمي الحسابي والتسلسل الهرمي التحليلي . تُثبت نظائر الرتبة العليا للأنظمة الفرعية الرئيسية للحساب من الرتبة الثانية عمومًا نفس الجمل من الرتبة الثانية (أو مجموعة فرعية كبيرة منها) التي تُثبتها أنظمة الرتبة الثانية الأصلية. ^{[ 12 ]} على سبيل المثال، تُثبت النظرية الأساسية لعلم الرياضيات العكسية من الرتبة العليا، المسماة RCA ^ω ₀ ، نفس الجمل التي تُثبتها RCA ₀ ، وصولًا إلى اللغة.

كما ذُكر في الفقرة السابقة، يُمكن تعميم بديهيات الفهم من الرتبة الثانية بسهولة إلى إطار الرتب العليا. مع ذلك، تتصرف النظريات التي تُعبّر عن تماسك الفضاءات الأساسية بشكل مختلف تمامًا في الحساب من الرتبة الثانية والرتب العليا: فمن جهة، عند الاقتصار على الأغطية القابلة للعد/لغة الحساب من الرتبة الثانية، يُمكن إثبات تماسك فترة الوحدة في WKL ₀ بدءًا من القسم التالي. ومن جهة أخرى، عند النظر إلى الأغطية غير القابلة للعد/لغة الحساب من الرتب العليا، لا يُمكن إثبات تماسك فترة الوحدة إلا من خلال الحساب الكامل من الرتبة الثانية. ^{[ 13 ]} تُظهر ليمات التغطية الأخرى (مثل تلك التي وضعها لينديلوف ، وفيتالي ، وبيسيكوفيتش ، وغيرهم) السلوك نفسه، وتُكافئ العديد من الخصائص الأساسية لتكامل القياس تماسك الفضاء الأساسي.

RCA ₀ هو جزء من الحساب من الدرجة الثانية، وتتمثل بديهياته في بديهيات حساب روبنسون ، ونظام بديهيات الاستقراء لصيغ Σ ⁰ ₁ ، ونظام بديهيات الفهم لصيغ Δ ⁰ ₁ (يسمى أيضًا الفهم التكراري). ^{[ 18 ]}

ال${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$بيان مخطط بديهية الاستقراء$${\displaystyle \quad {\big [}\varphi (0)\land \forall x{\big (}\varphi (x)\to \varphi (x+1){\big )}{\big ]}\to \forall x\ \varphi (x)}$$للجميع${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$-الصيغ${\displaystyle \varphi }$التي لا تُحدد كميًا على متغيرات المجموعة. وبشكل أكثر تحديدًا، هذه صيغ من الشكل التالي:$${\displaystyle \exists x_{1}\exists x_{2}\cdots \exists x_{n}\phi }$$أين${\displaystyle \phi }$هو${\displaystyle \Delta _{0}^{0}}$صيغة يمكن أن تتضمن متغيرات محددة. بعبارة أخرى،${\displaystyle \varphi }$يتم الحصول عليها من خلال البدء بصيغة خالية من المحددات الكمية يمكن أن تتضمن متغيرات من الدرجة الأولى والثانية، ثم إضافة محددات كمية محدودة على متغيرات الدرجة الأولى، وأخيراً إضافة محددات كمية وجودية على متغيرات الدرجة الأولى. ^{[ 19 ]}

ال${\displaystyle \Delta _{1}^{0}}$ينص مخطط بديهية الفهم على ما يلي:$${\displaystyle \forall n[\psi (n)\leftrightarrow \varphi (n)]\to \exists X\forall n[n\in X\leftrightarrow \varphi (n)]}$$للجميع${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$-الصيغ${\displaystyle \psi }$وكل شيء${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$-الصيغ${\displaystyle \varphi }$[ ^{18 ]​}

يُعد النظام الفرعي RCA ₀ النظام الأكثر شيوعًا كأساس للرياضيات العكسية. ^{[ 18 ]} تشير الأحرف الأولى "RCA" إلى "بديهية الفهم التكراري"، حيث تعني كلمة "تكراري" "قابل للحساب"، كما في الدالة القابلة للحساب . يُستخدم هذا الاسم لأن RCA ₀ يُقابل بشكل غير رسمي "الرياضيات القابلة للحساب". على وجه الخصوص، أي مجموعة من الأعداد الطبيعية التي يمكن إثبات وجودها في RCA ₀ هي قابلة للحساب، ^{[ 18 ]} وبالتالي فإن أي نظرية تُشير إلى وجود مجموعات غير قابلة للحساب لا يمكن إثباتها في RCA _0. إلى هذا الحد، يُعتبر RCA ₀ نظامًا بنائيًا، على الرغم من أنه لا يُلبي متطلبات برنامج البنائية لأنه نظرية في المنطق الكلاسيكي تتضمن قانون الوسط المرفوع .

على الرغم من ضعفها الظاهر (عدم قدرتها على إثبات وجود أي مجموعات غير قابلة للحساب)، فإن RCA ₀ كافية لإثبات عدد من النظريات الكلاسيكية التي لا تتطلب بالتالي سوى الحد الأدنى من القوة المنطقية. هذه النظريات، بمعنى ما، تقع خارج نطاق الرياضيات العكسية لأنها قابلة للإثبات بالفعل في النظام الأساسي. تشمل النظريات الكلاسيكية القابلة للإثبات في RCA ₀ ما يلي:

• الخصائص الأساسية للأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة والأعداد النسبية (على سبيل المثال، أن الأخيرة تشكل حقلاً مرتباً ).
• الخصائص الأساسية للأعداد الحقيقية (الأعداد الحقيقية هي حقل مرتب أرخميدسي ؛ أي متتالية متداخلة من فترات مغلقة تقترب أطوالها من الصفر لها نقطة واحدة في تقاطعها؛ الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد). ^{[ 20 ]}
• نظرية باير للفئات لفضاء متري قابل للفصل تمامًا (شرط الفصل ضروري حتى لصياغة النظرية بلغة الحساب من الدرجة الثانية). ^{[ 21 ]}
• نظرية القيمة المتوسطة للدوال الحقيقية المتصلة. ^{[ 22 ]}
• نظرية باناخ -شتاينهاوس لتسلسل من المؤثرات الخطية المستمرة على فضاءات باناخ القابلة للفصل. ^{[ 23 ]}
• نسخة ضعيفة من نظرية اكتمال غودل (لمجموعة من الجمل، في لغة قابلة للعد، والتي تكون مغلقة بالفعل تحت تأثير النتيجة).
• وجود إغلاق جبري لحقل قابل للعد (ولكن ليس تفرده). ^{[ 24 ]}
• وجود وتفرد الإغلاق الحقيقي لحقل مرتب قابل للعد. ^{[ 25 ]}

الجزء من الرتبة الأولى من RCA ₀ (نظريات النظام التي لا تتضمن أي متغيرات مجموعة) هو مجموعة نظريات حساب بيانو من الرتبة الأولى مع الاستقراء المقتصر على صيغ Σ ⁰ _1. ^{[ 26 ]} وهو متسق بشكل قابل للإثبات، كما هو الحال مع RCA ₀ ، في حساب بيانو الكامل من الرتبة الأولى.

يتألف النظام الفرعي WKL ₀ من RCA ₀ بالإضافة إلى صيغة ضعيفة من مبرهنة كونيغ ، وهي أن كل شجرة فرعية لانهائية من الشجرة الثنائية الكاملة (شجرة جميع المتتاليات المنتهية من الأصفار والآحاد) تحتوي على مسار لانهائي. هذه المبرهنة، المعروفة باسم مبرهنة كونيغ الضعيفة ، يسهل صياغتها بلغة الحساب من الرتبة الثانية. ^{[ 27 ]}

في الحساب من الدرجة الأولى، يُعرَّف WKL ₀ بسهولة أكبر بإضافة مخطط بديهية الفصل Σ ⁰ ₁ : إذا أُعطيت صيغتان Σ ⁰ ₁ لمتغير حر n، وكانتا متنافيتين، فإنه توجد مجموعة تحتوي على جميع قيم n التي تحقق إحداهما ولا توجد أي قيمة n تحقق الأخرى. بالرموز:$${\displaystyle \forall n\neg [\varphi (n)\land \psi (n)]\to \exists X\forall n[(\varphi (n)\to n\in X)\land (\psi (n)\to n\not \in X)]}$$للجميع${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$-الصيغ${\displaystyle \varphi ,\psi }$[ ^{27 ]​}

إن المصطلحات مربكة إلى حد ما، حيث أن ليمّة كونيغ الضعيفة نفسها، كمخطط بديهي، تُكتب أيضًا WKL، بينما WKL ₀ يرمز إلى نظام، وليس إلى شكل مختلف من مخطط بديهيات WKL. ^{[ 27 ]}

(الجزء من الدرجة الأولى من RCA ₀ ) + (${\displaystyle \Delta _{0}^{0}}$(الفهم) + (${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$(الفصل) معًا يعني (${\displaystyle \Delta _{1}^{0}}$(الفهم). ^{[ 1 ] : اللمة الرابعة.4.4}

بمعنى ما، تُعدّ ليمّة كونيغ الضعيفة شكلاً من أشكال بديهية الاختيار (مع أنه، كما ذُكر، يمكن إثباتها في نظرية زيرميلو-فرانكل الكلاسيكية للمجموعات دون بديهية الاختيار). وهي ليست صالحة بنائيةً في بعض معاني كلمة "بنائية". ^{[ 28 ]}

لإثبات أن WKL ₀ أقوى في الواقع من RCA 0 (غير قابلة للإثبات في) RCA ₀ ، لاحظ أن WKL ₀ يستلزم وجود مجموعات فاصلة للمجموعات القابلة للتعداد التكراري غير القابلة للفصل حسابيًا . على وجه الخصوص، يمكن للمرء ببساطة كتابة اثنين${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$-الصيغ${\displaystyle \varphi ,\psi }$إذا كانت هذه المجموعات تُعرّف مثل هذه المجموعات، فإن WKL ₀ يثبت وجود بعض${\displaystyle X}$وهذا ما يفصل بينهما، في حين أن النموذج القياسي لـ RCA ₀ يحتوي فقط على مجموعات قابلة للحساب، وبالتالي لا توجد مجموعة فاصلة كهذه. ^{[ 29 ]}

اتضح أن RCA ₀ و WKL ₀ لهما نفس الجزء من الدرجة الأولى، مما يعني أنهما يثبتان نفس الجمل من الدرجة الأولى. مع ذلك، يمكن لـ WKL ₀ إثبات عدد كبير من النتائج الرياضية الكلاسيكية التي لا تتبع من RCA _0. هذه النتائج لا يمكن التعبير عنها كعبارات من الدرجة الأولى، ولكن يمكن التعبير عنها كعبارات من الدرجة الثانية. ^{[ 28 ]}

النتائج التالية مكافئة لفرضية كونيغ الضعيفة، وبالتالي لفرضية كونيغ الضعيفة ₀ على RCA ₀ :

• تنص نظرية هاين -بوريل للفترة الحقيقية المغلقة ذات الوحدة، بالمعنى التالي: كل تغطية بواسطة سلسلة من الفترات المفتوحة لها تغطية فرعية محدودة.
• نظرية هاين-بوريل للفضاءات المترية الكاملة المحدودة كليًا والقابلة للفصل (حيث يكون التغطية بواسطة سلسلة من الكرات المفتوحة).
• الدالة الحقيقية المتصلة على الفترة المغلقة التي تساوي 1 (أو على أي فضاء متري قابل للفصل مضغوط، كما هو مذكور أعلاه) تكون محدودة (أو: محدودة وتصل إلى حدودها).
• يمكن تقريب دالة حقيقية متصلة على الفترة المغلقة التي تساوي 1 بشكل منتظم بواسطة كثيرات الحدود (ذات المعاملات النسبية).
• الدالة الحقيقية المتصلة على الفترة المغلقة التي تساوي 1 تكون متصلة بانتظام.
• الدالة الحقيقية المتصلة على الفترة المغلقة التي تساوي 1 قابلة للتكامل وفقًا لريمان .
• نظرية النقطة الثابتة لبروير ( للدوال المتصلة على سطح n -simplex). ^{[ 30 ]}
• نظرية هان-باناخ القابلة للفصل بالشكل التالي: شكل خطي محدود على فضاء جزئي من فضاء باناخ قابل للفصل يمتد إلى شكل خطي محدود على الفضاء بأكمله.
• نظرية منحنى جوردان .
• نظرية غودل في الاكتمال (لللغة القابلة للعد).
• الحتمية للألعاب المفتوحة (أو حتى الألعاب المفتوحة المغلقة) على {0، 1} بطول ω.
• كل حلقة تبديلية قابلة للعد تحتوي على مثالي أولي .
• كل حقل حقيقي رسمي قابل للعد يكون قابلاً للترتيب.
• تفرد الإغلاق الجبري (للحقل القابل للعد).
• تنص نظرية دي بروين-إردوش للرسوم البيانية القابلة للعد على ما يلي: كل رسم بياني قابل للعد تكون رسومه البيانية الفرعية المحدودة قابلة للتلوين بـ k لونًا هو رسم بياني قابل للتلوين بـ k لونًا. ^{[ 31 ]}

يُضيف النظام ACA ₀ إلى RCA ₀ مخطط الفهم للصيغ الحسابية، والذي يُسمى أيضًا بديهية الفهم الحسابي (مع أنه مخطط بديهي). أي أن ACA ₀ يسمح لنا بتكوين مجموعة الأعداد الطبيعية التي تُحقق أي صيغة حسابية (صيغة لا تحتوي على متغيرات مجموعة مُقيدة، وإن كانت قد تحتوي على مُعاملات مجموعة). ^{[ 32 ]} الصيغة الحسابية هي صيغة قد تظهر فيها متغيرات المجموعة كمعاملات، ولكن دون تحديد كميتها. بعبارة أخرى، هي اتحاد${\displaystyle \cup _{n=0}^{\infty }\Sigma _{n}^{0}}$.

بالرموز:$${\displaystyle \exists X\forall n[n\in X\leftrightarrow \varphi (n)]}$$لجميع الصيغ الحسابية${\displaystyle \varphi }$كما أنها تحتوي على بديهية الاستقراء المقيد (وليس مخطط بديهيات):$${\displaystyle 0\in X\to \forall n[n\in X\to n+1\in X]\to \forall n(n\in X)}$$هذا أقل تقييدًا مقارنةً بـ${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$مخطط بديهية الاستقراء المستخدم في WKL ₀ و RCA ₀ ، ولكنه لا يزال محدودًا مقارنةً بمخطط بديهية الاستقراء الكامل:$${\displaystyle \varphi (0)\to \forall n[\varphi (n)\to \varphi (n+1)]\to \forall n[\varphi (n)]}$$لجميع الصيغ${\displaystyle \varphi }$في الحساب من الدرجة الثانية. على وجه التحديد، لا يمكن بالضرورة اشتقاق مخطط بديهية الاستقراء الكامل، لأن ACA ₀ قد لا يكون قادرًا على إثبات ذلك.${\displaystyle \varphi }$يمكن فهمها. أي أن هناك بعض الصيغ${\displaystyle \varphi }$بحيث${\displaystyle \exists X\forall n[n\in X\leftrightarrow \varphi (n)]}$لا يمكن إثبات ذلك في ACA ₀ .

في الواقع، يكفي إضافة مخطط الفهم إلى RCA _{0 لـ}${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$-الصيغ، حيث يمكن للمرء حينها أخذ النفي المنطقي للحصول على فهم لـ${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$-الصيغ، وتكرار ذلك للحصول على فهم لجميع المستويات في التسلسل الهرمي الحسابي. ^{[ 33 ]}

الجزء من الرتبة الأولى في نظام ACA ₀ هو بالضبط حساب بيانو من الرتبة الأولى. بعبارة أخرى، يُعدّ ACA _{0 امتدادًا} محافظًا لحساب بيانو من الرتبة الأولى. ^{[ 34 ]} النظامان متسقان بشكل قابل للإثبات (في نظام ضعيف). يمكن اعتبار ACA ₀ إطارًا للرياضيات التنبؤية ، على الرغم من وجود نظريات قابلة للإثبات تنبؤيًا لا يمكن إثباتها في ACA _0. يمكن إثبات معظم النتائج الأساسية المتعلقة بالأعداد الطبيعية، والعديد من النظريات الرياضية الأخرى، في هذا النظام.

إحدى طرق إثبات أن ACA ₀ أقوى من WKL ₀ هي عرض نموذج لـ WKL ₀ لا يحتوي على جميع المجموعات الحسابية. في الواقع، من الممكن بناء نموذج لـ WKL ₀ يتكون بالكامل من مجموعات منخفضة باستخدام نظرية الأساس المنخفض ، لأن المجموعات المنخفضة بالنسبة للمجموعات المنخفضة هي مجموعات منخفضة.

العبارات التالية تعادل ACA ₀ على RCA ₀ :

• اكتمال التسلسل للأعداد الحقيقية (لكل متتالية متزايدة ومحدودة من الأعداد الحقيقية نهاية). ^{[ 35 ]}
• نظرية بولزانو -ويرستراس . ^{[ 35 ]}
• نظرية أسكولي : كل متتالية محدودة ومتساوية الاستمرارية من الدوال الحقيقية على الفترة [0,1] لها متتالية فرعية متقاربة بشكل منتظم.
• كل حقل قابل للعد يُضمّن بشكل متماثل في إغلاقه الجبري. ^{[ 36 ]}
• كل حلقة تبديلية قابلة للعد تحتوي على مثالي أقصى . ^{[ 37 ]}
• كل فضاء متجهي قابل للعد فوق الأعداد النسبية (أو فوق أي حقل قابل للعد) له أساس. ^{[ 38 ]}
• لأي حقل قابل للعد ^K ⊆ L ، يوجد أساس متسامي لـ L على K. [ ^{39 ]}
• ليمّة كونيغ (للأشجار المتفرعة المحدودة التعسفية، على عكس النسخة الضعيفة الموصوفة أعلاه). ^{[ 40 ]}
• لأي زمرة قابلة للعد G وأي زمرتين جزئيتين H و I من G ، توجد الزمرة الجزئية المولدة بواسطة H ∪ I. ^{[ 41 ] ص  40}
• يمكن توسيع أي دالة جزئية لتصبح دالة كلية. ^{[ 42 ]}
• معضلة هيغمان . ^{[ 43 ]}
• نظريات مختلفة في التوافقية، مثل بعض أشكال نظرية رامزي . ^{[ 44 ] [ 40 ]}

يُضيف النظام ATR ₀ إلى ACA ₀ مخططًا بديهيًا يُسمى الاستدعاء الحسابي المتسامي. وبصورة غير رسمية، ينص هذا المخطط على أنه يمكن تكرار أي دالة حسابية بشكل متسامي على طول أي ترتيب قابل للعد يبدأ من أي مجموعة.

يحتوي مخطط البديهيات الخاص بالاستدعاء الذاتي الحسابي المتسامي على بديهية واحدة لكل صيغة حسابية${\displaystyle \theta (n,Z,{\vec {x}},{\vec {X}})}$تنص البديهية على ما يلي: إذا${\displaystyle (A,<_{A})}$إذا كانت مجموعة مرتبة ترتيبًا جيدًا، فإنه يوجد${\displaystyle Y}$، وهي مجموعة مفهرسة بواسطة${\displaystyle A}$تم الحصول عليها عن طريق الاستقراء المنظم جيدًا على${\displaystyle A}$:

• المجموعة بأكملها${\displaystyle Y=\{(n,a):a\in A,n\in Y_{a}\}}$كل مدخل مفهرس يكون على الشكل التالي${\displaystyle Y_{a}=\{n\in \mathbb {N}$ :(n,a)\in Y\}} . كل جزء أولي يكون على الشكل التالي:${\displaystyle Y^{a}=\{(n,b):b\in A,b<_{A}a,n\in Y_{b}\}}$.
  • وعلى وجه الخصوص، فإن الجزء الأولي الأدنى فارغ:${\displaystyle Y^{\min A}=\emptyset }$.
• يبدأ حفل الاستقبال المنظم جيداً عند${\displaystyle Y^{\min A}=\emptyset }$وتتم العملية بالاستقراء:$${\displaystyle Y_{a}=\{n\in \mathbb {N}$$ :\theta (n,Y^{a},{\vec {x}},{\vec {X}})\}}

يُكافئ ATR _{0 على ACA 0} مبدأ الفصل Σ ¹ _1. يُعد ATR ₀ نظامًا غير تنبؤي، وله الترتيب Γ ₀ في نظرية البرهان ، وهو أعلى قيمة في الأنظمة التنبؤية.

يثبت ATR ₀ اتساق ACA ₀ ، وبالتالي وفقًا لنظرية غودل، فهو أقوى بشكل صارم.

العبارات التالية تعادل ATR ₀ على RCA ₀ :

• أي ترتيبين قابلين للعد للآبار قابلان للمقارنة. أي أنهما متماثلان أو أحدهما متماثل مع جزء أولي مناسب من الآخر. ^{[ 45 ]}
• نظرية أولم للمجموعات الأبيلية المختزلة القابلة للعد.
• تنص نظرية المجموعة الكاملة على أن كل مجموعة فرعية مغلقة غير قابلة للعد من فضاء متري كامل قابل للفصل تحتوي على مجموعة مغلقة كاملة.
• نظرية لوسين للفصل (بمعنى الفصل Σ ¹ _{1 ).} ^{[ 46 ]}
• الحتمية للمجموعات المفتوحة في فضاء باير .

إنّ Π ¹ ₁ -CA ₀ أقوى من الاستدعاء الحسابي المتسامي، وهو غير تنبؤي تمامًا. ويتألف من RCA ₀ ، بالإضافة إلى بديهية الاستقراء.$${\displaystyle 0\in X\to \forall n[n\in X\to n+1\in X]\to \forall n(n\in X)}$$بالإضافة إلى مخطط فهم صيغ Π ¹ ₁ .

أ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$الصيغة هي من الشكل${\displaystyle \forall X\theta }$، أين${\displaystyle \theta }$هي صيغة حسابية.${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$الفهم هو مخطط البديهيات الذي ينص على$${\displaystyle \exists X\forall n[n\in X\leftrightarrow \varphi (n)]}$$للجميع${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$-الصيغ${\displaystyle \varphi }$.

بمعنى ما، يُشبه فهم Π ¹ ₁ -CA ₀ الاستدعاء الحسابي المتسامي ( فصل Σ ¹ ₁ ) كما يُشبه ACA _{0 مبرهنة كونيغ الضعيفة (فصل} Σ ⁰ ₁ ). وهو مُكافئ لعدة عبارات في نظرية المجموعات الوصفية التي تستخدم براهينها حججًا غير تنبؤية قوية؛ يُبين هذا التكافؤ أنه لا يُمكن إزالة هذه الحجج غير التنبؤية.

النظريات التالية مكافئة لـ Π ¹ ₁ -CA ₀ على RCA ₀ :

• تنص نظرية كانتور -بنديكسون (كل مجموعة مغلقة من الأعداد الحقيقية هي اتحاد مجموعة كاملة ومجموعة قابلة للعد). ^{[ 47 ]}
• ثنائية سيلفر (كل علاقة تكافؤ تحليلية مشتركة إما أن يكون لها عدد لا يحصى من فئات التكافؤ أو مجموعة مثالية من الأشياء غير القابلة للمقارنة) ^{[ 48 ]}
• كل زمرة أبيلية قابلة للعد هي مجموع مباشر لزمرة قابلة للقسمة وزمرة مختزلة. ^{[ 49 ]}
• تحديد قيمة Σ ⁰ ₁${\displaystyle \wedge }$Π ⁰ ₁ ألعاب. ^{[ 50 ]}

بإضافة مخطط بديهيات الاستقراء من الدرجة الثانية الكامل إلى RCA _0، نحصل على RCA، وهو نظام حساب الفهم التكراري مع الاستقراء غير المقيد. وبالمثل، بإضافة مخطط بديهيات الاستقراء من الدرجة الثانية الكامل إلى WKL _0، نحصل على WKL، وهكذا.

على RCA ₀ ، Π ¹ ₁ التكرار المتسامي ، ∆ ⁰ ₂ الحتمية ، و ∆ ¹ ₁ نظرية رامزي كلها متكافئة مع بعضها البعض.

على RCA ₀ ، فإن الاستقراء الرتيب Σ ¹ ₁ ، والحتمية Σ ⁰ ₂ ، ونظرية رامزي Σ ¹ ₁ كلها متكافئة مع بعضها البعض.

ما يلي متكافئ: ^{[ 51 ] [ 52 ]}

• (مخطط) Π ¹ ₃ عواقب Π ¹ ₂ -CA ₀
• RCA ₀ + (مخطط على n محدود ) الحتمية في المستوى n من التسلسل الهرمي للاختلاف لمجموعات Σ ⁰ ₂
• RCA ₀ + { τ : τ جملة S2S حقيقية }

مجموعة نتائج Π ¹ ₃ للحساب من الدرجة الثانية Z ₂ لها نفس نظرية RCA ₀ + (مخطط على n محدود ) الحتمية في المستوى n من التسلسل الهرمي للفرق لمجموعات Σ ⁰ _3. ^{[ 53 ]}

بالنسبة لمجموعة جزئية مرتبة P ، لنرمز بـ MF( P ) إلى الفضاء الطوبولوجي الذي يتكون من المرشحات على P والتي تكون مجموعاتها المفتوحة هي المجموعات من الشكل { F ∈ MF( P ) | p ∈ F } لبعض p ∈ P. العبارة التالية مكافئة لـ${\displaystyle \Pi _{2}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}}$زيادة${\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}}$: لأي مجموعة جزئية قابلة للعد P ، يكون الفضاء الطوبولوجي MF( P ) قابلاً للقياس تمامًا إذا وفقط إذا كان منتظمًا . ^{[ 54 ]}