دالة التغاير

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، تصف دالة التغاير مدى تغير متغيرين عشوائيين معًا ( تغايرهما ) مع اختلاف المسافة المكانية أو الزمنية بينهما. بالنسبة لحقل عشوائي أو عملية عشوائية Z ( x ) على مجال D ، فإن دالة التغاير C ( x , y ) تعطي تغاير قيم الحقل العشوائي عند الموقعين x و y . 

$${\displaystyle C(x,y):=\operatorname {cov} (Z(x),Z(y))=\mathbb {E} {\Big [}{\big (}Z(x)-\mathbb {E} [Z(x)]{\big )}{\big (}Z(y)-\mathbb {E} [Z(y)]{\big )}{\Big ]}.\,}$$

تُسمى الدالة نفسها C ( x , y ) دالة التغاير الذاتي في حالتين: في السلاسل الزمنية (للدلالة على المفهوم نفسه تمامًا باستثناء أن x و y تشيران إلى مواقع في الزمن بدلاً من المكان)، وفي الحقول العشوائية متعددة المتغيرات (للدلالة على تغاير متغير مع نفسه، على عكس التغاير المتقاطع بين متغيرين مختلفين في مواقع مختلفة، Cov( Z ( x1 ₎ , Y ( x2 ₎ )). ^{[ 1 ]}  

بالنسبة للمواقع x1 _، x2 _، ...، xN ∈ _D ، فإن تباين كل تركيبة خطية

${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{N}w_{i}Z(x_{i})}$

يمكن حسابها على النحو التالي

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}w_{i}C(x_{i},x_{j})w_{j}.}$

تكون الدالة دالة تباين صحيحة إذا وفقط إذا كان [ ^{2 ] هذا} التباين غير سالب لجميع الخيارات الممكنة لـ N والأوزان w1 _،  ...، wN _. تسمى الدالة التي تتمتع بهذه الخاصية شبه موجبة . 

في حالة حقل عشوائي ضعيف الاستقرار ، حيث

${\displaystyle C(x_{i},x_{j})=C(x_{i}+h,x_{j}+h)\,}$

لأي تأخير h ، يمكن تمثيل دالة التغاير بدالة ذات معلمة واحدة

${\displaystyle C_{s}(h)=C(0,h)=C(x,x+h)\,}$

يُطلق على هذا اسم _{مخطط التغاير} ، ويُسمى أيضًا دالة التغاير . ويمكن ضمنيًا حساب C ( xi _, xj ) من Cs ( h ) كما يلي: 

${\displaystyle C(x,y)=C_{s}(yx).\,}$

يمكن التحقق من الإيجابية المحددة لهذا الإصدار ذي الوسيط الواحد لدالة التغاير بواسطة نظرية بوخنر . ^{[ 2 ]}

بالنسبة لتباين معين${\displaystyle \sigma ^{2}}$، دالة التغاير البارامترية الثابتة البسيطة هي "دالة التغاير الأسية".

${\displaystyle C(d)=\sigma ^{2}\exp(-d/V)}$

حيث V هو معامل قياس (طول الارتباط)، و d  = d ( x , y ) هي المسافة بين نقطتين. مسارات العينة لعملية غاوسية ذات دالة تباين أسية ليست سلسة. دالة التباين "الأسية المربعة" (أو " الغاوسية "): 

${\displaystyle C(d)=\sigma ^{2}\exp(-(d/V)^{2})}$

هي دالة تباين ثابتة ذات مسارات عينة سلسة.

تُعدّ دالة التغاير ماتيرن ودالة التغاير التربيعية النسبية عائلتين وسيطيتين من دوال التغاير الثابتة. وتشمل عائلة ماتيرن دوال التغاير الأسية والأسية التربيعية كحالات خاصة.

• دالة الارتباط الذاتي
• دالة الارتباط
• مصفوفة التغاير
• معامل التغاير – معامل في نظرية الاحتمالات 
• كريغينغ
• نواة موجبة محددة
• حقل عشوائي
• عملية عشوائية
• مخطط التباين