دالة موجبة محددة

لو${\displaystyle (X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$إذا كان ذلك يمثل مساحة حقيقية للمنتج الداخلي ،${\displaystyle g_{y}\colon X\to \mathbb {C} }$،${\displaystyle x\mapsto \exp(i\langle y,x\rangle )}$موجب مؤكد لكل${\displaystyle y\in X}$للجميع${\displaystyle u\in \mathbb {C} ^{n}}$وكل شيء${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$لدينا

${\displaystyle u^{*}A^{(g_{y})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}e^{i\langle y,x_{k}-x_{j}\rangle }=\sum _{k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}e^{i\langle y,x_ {k}\rangle}\sum _{j=1}^{n}u_{j}e^{-i\langle y,x_{j}\rangle }=\left|\sum _{j=1}^{n}{\overline {u_{j}}}e^{i\langle y,x_{j}\rangle }\right|^{2}\geq 0.}$

بما أن التركيبات الخطية غير السالبة للدوال الموجبة المحددة هي أيضًا موجبة محددة، فإن دالة جيب التمام موجبة محددة كتركيبة خطية غير سالبة للدوال المذكورة أعلاه:

${\displaystyle \cos(x)={\frac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})={\frac {1}{2}}(g_{1}+g_{-1}).}$

يمكن إنشاء دالة موجبة محددة${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$بسهولة من دالة موجبة محددة${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$لأي فضاء متجهي${\displaystyle X}$اختر دالة خطية${\displaystyle \phi \colon X\to \mathbb {R} }$وحدد${\displaystyle f^{*}:=f\circ \phi }$. ثم

${\displaystyle u^{*}A^{(f^{*})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f^{*}(x_{k}-x_{j})=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f(\phi) (x_ {k})-\phi (x_{j}))=u^{*}{\tilde {A}}^{(f)}u\geq 0,}$

أين${\displaystyle {\tilde {A}}^{(f)}={\big (}f(\phi (x_{i})-\phi (x_{j}))=f({\tilde {x}}_{i}-{\tilde {x}}_{j}){\big )}_{i,j}}$أين${\displaystyle {\tilde {x}}_{k}:=\phi (x_{k})}$متميزة مثل${\displaystyle \phi }$خطي . ^{[ 1 ]}​

تنشأ خاصية التحديد الإيجابي بشكل طبيعي في نظرية تحويل فورييه ؛ ويمكن ملاحظة ذلك مباشرة أنه لكي تكون الدالة f محددة إيجابياً، يكفي أن تكون تحويل فورييه لدالة g على الخط الحقيقي مع g ( y ) ≥ 0.

والنتيجة العكسية هي نظرية بوخنر ، التي تنص على أن أي دالة موجبة محددة مستمرة على خط الأعداد الحقيقية هي تحويل فورييه لمقياس (موجب ) . ^{[ 2 ]}

يمكن تعريف الدوال الموجبة المحددة على أي زمرة طوبولوجية أبيلية متراصة محليًا ؛ وتمتد نظرية بوخنر إلى هذا السياق. وتظهر الدوال الموجبة المحددة على الزمر بشكل طبيعي في نظرية تمثيل الزمر على فضاءات هيلبرت (أي نظرية التمثيلات الوحدوية ).