صيغة دالمبير

في الرياضيات ، وتحديداً في المعادلات التفاضلية الجزئية ، تُعد صيغة دالمبير الحل العام لمعادلة الموجة أحادية البعد :

${\displaystyle u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0,\,u(x,0)=g(x),\,u_{t}(x,0)=h(x),}$

ل${\displaystyle -\infty <x<\infty ,\,\,t>0}$

وقد سميت على اسم عالم الرياضيات جان لو رون دالمبير ، الذي اشتقها في عام 1747 كحل لمشكلة اهتزاز الوتر . ^{[ 1 ]}

خصائص المعادلة التفاضلية الجزئية هي${\displaystyle x\pm ct=\mathrm {const} }$(أين${\displaystyle \pm }$تشير الإشارة إلى الحلين للمعادلة التربيعية، لذا يمكننا استخدام تغيير المتغيرات${\displaystyle \mu =x+ct}$(للحل الإيجابي) و${\displaystyle \eta =x-ct}$(للحصول على الحل السالب) لتحويل المعادلة التفاضلية الجزئية إلى${\displaystyle u_{\mu \eta }=0}$الحل العام لهذه المعادلة التفاضلية الجزئية هو${\displaystyle u(\mu ,\eta )=F(\mu )+G(\eta )}$أين${\displaystyle F}$و${\displaystyle G}$نكون${\displaystyle C^{1}}$الوظائف. العودة إلى${\displaystyle x,t}$إحداثيات،

${\displaystyle u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)}$

أين${\displaystyle u}$يكون${\displaystyle C^{2}}$لو${\displaystyle F}$و${\displaystyle G}$نكون${\displaystyle C^{2}}$.

هذا الحل${\displaystyle u}$يمكن تفسيرها على أنها موجتان بسرعة ثابتة${\displaystyle c}$يتحركان في اتجاهين متعاكسين على طول المحور السيني.

والآن، لننظر في هذا الحل باستخدام بيانات كوشي.${\displaystyle u(x,0)=g(x),u_{t}(x,0)=h(x)}$.

استخدام${\displaystyle u(x,0)=g(x)}$نحصل${\displaystyle F(x)+G(x)=g(x)}$.

استخدام${\displaystyle u_{t}(x,0)=h(x)}$نحصل${\displaystyle cF'(x)-cG'(x)=h(x)}$.

يمكننا إجراء التكامل للمعادلة الأخيرة للحصول على $${\displaystyle cF(x)-cG(x)=\int _{-\infty }^{x}h(\xi )\,d\xi +c_{1}.}$$

الآن يمكننا حل نظام المعادلات هذا للحصول على $${\displaystyle F(x)={\frac {-1}{2c}}\left(-cg(x)-\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi )\,d\xi +c_{1}\right)\right)}$$$${\displaystyle G(x)={\frac {-1}{2c}}\left(-cg(x)+\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi )d\xi +c_{1}\right)\right).}$$

الآن، باستخدام$${\displaystyle u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)}$$

تصبح صيغة دالمبير كالتالي: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2}}\left[g(x-ct)+g(x+ct)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}h(\xi )\,d\xi .}$$

يأخذ الشكل العام للمعادلة التفاضلية غير المتجانسة من النوع الزائدي الكنسي الشكل التالي: $${\displaystyle u_{tt}-c^{2}u_{xx}=f(x,t),\,u(x,0)=g(x),\,u_{t}(x,0)=h(x),}$$ ل${\displaystyle -\infty <x<\infty ,\,\,t>0,f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} )}$.

يمكن تحويل جميع المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية ذات المعاملات الثابتة إلى صيغها القانونية . هذه المعادلة هي إحدى هذه الحالات الثلاث: معادلة تفاضلية جزئية إهليلجية ، معادلة تفاضلية جزئية مكافئة ، ومعادلة تفاضلية جزئية زائدية .

الفرق الوحيد بين المعادلة التفاضلية المتجانسة وغير المتجانسة (الجزئية) هو أنه في الصيغة المتجانسة نسمح فقط بوجود 0 على الجانب الأيمن (${\displaystyle f(x,t)=0}$)، بينما يكون النوع غير المتجانس أكثر عمومية بكثير، كما هو الحال في${\displaystyle f(x,t)}$يمكن أن تكون أي دالة طالما أنها متصلة ويمكن اشتقاقها بشكل مستمر مرتين.

يُعطى حل المعادلة أعلاه بالصيغة التالية: $${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2}}{\bigl (}g(x+ct)+g(x-ct){\bigr )}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}h(s)\,ds+{\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t}\int _{xc(t-\tau )}^{x+c(t-\tau )}f(s,\tau )\,ds\,d\tau .}$$

لو${\displaystyle g(x)=0}$يختفي الجزء الأول، إذا${\displaystyle h(x)=0}$يختفي الجزء الثاني، وإذا${\displaystyle f(x)=0}$، يختفي الجزء الثالث من الحل، لأن تكامل الدالة الصفرية بين أي حدين ينتج عنه دائمًا 0.

• مشغل دالمبير
• الموجة الميكانيكية
• معادلة الموجة