معادلة تفاضلية جزئية مكافئة

المعادلة التفاضلية الجزئية المكافئة هي نوع من المعادلات التفاضلية الجزئية . تُستخدم هذه المعادلات لوصف طيف واسع من الظواهر التي تعتمد على الزمن، في مجالات مثل العلوم الهندسية ، وميكانيكا الكم، والرياضيات المالية . ومن الأمثلة على ذلك معادلة الحرارة ، ومعادلة شرودنغر المعتمدة على الزمن، ومعادلة بلاك-شولز .

لتعريف أبسط أنواع المعادلات التفاضلية الجزئية المكافئة، ضع في اعتبارك دالة ذات قيم حقيقية${\displaystyle u(x,y)}$لمتغيرين حقيقيين مستقلين،${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$معادلة تفاضلية جزئية خطية من الدرجة الثانية ذات معاملات ثابتة لـ${\displaystyle u}$يأخذ الشكل

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F=0,}$

حيث تشير الرموز السفلية إلى المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى والثانية بالنسبة إلى${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$تُصنف المعادلة التفاضلية الجزئية على أنها مكافئة إذا كانت معاملات الجزء الرئيسي (أي الحدود التي تحتوي على المشتقات الثانية لـ${\displaystyle u}$) تحقق الشرط ^{[ 1 ]}

${\displaystyle B^{2}-AC=0.}$

عادة${\displaystyle x}$يمثل موضعًا أحادي البعد و${\displaystyle y}$يمثل الزمن، ويتم حل المعادلة التفاضلية الجزئية وفقًا لشروط ابتدائية وحدودية محددة . المعادلات مع${\displaystyle B^{2}-AC<0}$تُسمى تلك التي تحتوي على${\displaystyle B^{2}-AC>0}$هي معادلات زائدية . يُستخدم مصطلح "معادلات مكافئة" لأن الافتراض المتعلق بالمعاملات هو نفسه الشرط الخاص بمعادلة الهندسة التحليلية.${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$لتعريف القطع المكافئ المستوي .

المثال الأساسي لمعادلة تفاضلية جزئية مكافئة هو معادلة الحرارة أحادية البعد

${\displaystyle u_{t}=\alpha \,u_{xx},}$

أين${\displaystyle u(x,t)}$درجة الحرارة عند الموضع${\displaystyle x}$على طول قضيب رفيع في وقت واحد${\displaystyle t}$و${\displaystyle \alpha }$هو ثابت موجب يسمى الانتشار الحراري .

تنص معادلة الحرارة، بشكل تقريبي، على أن درجة الحرارة عند نقطة ووقت معينين ترتفع أو تنخفض بمعدل يتناسب مع الفرق بين درجة الحرارة عند تلك النقطة ومتوسط ​​درجة الحرارة بالقرب منها.${\displaystyle u_{xx}}$يقيس مدى ابتعاد درجة الحرارة عن تحقيق خاصية القيمة المتوسطة للدوال التوافقية .

يمكن تعميم مفهوم المعادلة التفاضلية الجزئية المكافئة بعدة طرق. على سبيل المثال، يخضع تدفق الحرارة عبر جسم مادي لمعادلة الحرارة ثلاثية الأبعاد.

${\displaystyle u_{t}=\alpha \,\Delta u,}$

أين

${\displaystyle \Delta u:={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}},}$

يشير إلى عامل لابلاس الذي يعمل على${\displaystyle u}$هذه المعادلة هي النموذج الأولي لمعادلة تفاضلية جزئية مكافئة متعددة الأبعاد . ^{[ 2 ]}

مع ملاحظة أن${\displaystyle -\Delta }$يشير المؤثر الإهليلجي إلى تعريف أوسع لمعادلة تفاضلية جزئية مكافئة:

${\displaystyle u_{t}=-Lu,}$

أين${\displaystyle L}$هو مؤثر إهليلجي من الدرجة الثانية (مما يعني أن${\displaystyle L}$يجب أن يكون إيجابياً ؛ حالة حيث${\displaystyle u_{t}=+Lu}$(سيتم تناوله أدناه).

نظام من المعادلات التفاضلية الجزئية لمتجه${\displaystyle u}$ويمكن أن يكون النظام مكافئًا أيضًا. على سبيل المثال، يُخفى مثل هذا النظام في معادلة من الشكل التالي:

${\displaystyle \nabla \cdot (a(x)\nabla u(x))+b(x)^{\text{T}}\nabla u(x)+cu(x)=f(x)}$

إذا كانت الدالة ذات القيم المصفوفية${\displaystyle a(x)}$له نواة ذات بُعد 1.

في ظل افتراضات عامة، يكون لمسألة القيمة الابتدائية/الحدودية لمعادلة تفاضلية جزئية خطية مكافئة حلٌّ لجميع الأزمنة.${\displaystyle u(x,t)}$، كدالة لـ${\displaystyle x}$لفترة زمنية محددة${\displaystyle t>0}$يكون بشكل عام أكثر سلاسة من البيانات الأولية${\displaystyle u(x,0)=u_{0}(x)}$، وفقًا لنظرية الانتظام المكافئ .

في المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية ذات القطع المكافئ، قد ينفجر حل مسألة القيمة الابتدائية/الحدودية في حالة شاذة خلال فترة زمنية محدودة. وقد يكون من الصعب تحديد ما إذا كان الحل موجودًا على مدار الزمن، أو فهم الحالات الشاذة التي تنشأ. وتبرز هذه التساؤلات المهمة في حل حدسية بوانكاريه باستخدام تدفق ريتشي .

يصادف المرء أحيانًا ما يسمى بالمعادلة التفاضلية الجزئية المكافئة العكسية ، والتي تأخذ الشكل التالي${\displaystyle u_{t}=Lu}$(لاحظ عدم وجود علامة ناقص).

مسألة القيمة الابتدائية لمعادلة الحرارة العكسية،

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=-\Delta u&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times (0,T),\\u=0&{\textrm {on}}\ \ \partial \Omega \times (0,T),\\u=f&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times \left\{0\right\}.\end{cases}}}$

وهو ما يعادل مسألة القيمة النهائية لمعادلة الحرارة العادية،

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=\Delta u&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times (0,T),\\u=0&{\textrm {on}}\ \ \partial \Omega \times (0,T),\\u=f&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times \left\{T\right\}.\end{cases}}}$

على غرار مسألة القيمة النهائية لمعادلة تفاضلية جزئية مكافئة، فإن مسألة القيمة الابتدائية لمعادلة تفاضلية جزئية مكافئة عكسية عادةً ما تكون غير محددة جيدًا (غالبًا ما تنمو الحلول بلا حدود في زمن محدود، أو حتى لا توجد). ومع ذلك، فإن هذه المسائل مهمة لدراسة انعكاس حالات التفرد في حلول العديد من المعادلات التفاضلية الجزئية الأخرى. ^{[ 3 ]}

• معادلة تفاضلية جزئية إهليلجية
• معادلة تفاضلية جزئية زائدية

• تايلور، مايكل إي. (1975). "انعكاس حالات التفرد في حلول أنظمة المعادلات التفاضلية". مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية . 28 (4): 457-478 . CiteSeerX 10.1.1.697.9255 . doi : 10.1002/cpa.3160280403 . ISSN 0010-3640 .  
• زاودرير، إريك (2006). المعادلات التفاضلية الجزئية في الرياضيات التطبيقية . هوبوكين، نيوجيرسي: وايلي-إنترساينس. ISBN 978-0-471-69073-3. OCLC 70158521 . 

• بيرثام، بينوا (2015)، المعادلات القطعية في علم الأحياء  : النمو، والتفاعل، والحركة، والانتشار ، سبرينغر، ISBN 978-3-319-19499-8
• إيفانز، لورانس سي. (2010) [1998]، المعادلات التفاضلية الجزئية ، دراسات عليا في الرياضيات ، المجلد  19 (الطبعة الثانية  )، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، doi : 10.1090/gsm/019 ، ISBN 978-0-8218-4974-3MR 2597943​ 
• "معادلة تفاضلية جزئية مكافئة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• "المعادلة التفاضلية الجزئية المكافئة، الطرق العددية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]