معادلة تفاضلية جزئية إهليلجية

في الرياضيات ، تُعدّ المعادلة التفاضلية الجزئية الإهليلجية نوعًا من المعادلات التفاضلية الجزئية . في النمذجة الرياضية ، تُستخدم المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية بكثرة لنمذجة الحالات المستقرة ، على عكس المعادلات التفاضلية الجزئية المكافئة والزائدية ، التي تُستخدم عادةً لنمذجة الظواهر المتغيرة مع الزمن. من الأمثلة الكلاسيكية على المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية معادلة لابلاس ومعادلة بواسون . كما تُعدّ المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية مهمة في الرياضيات البحتة ، حيث تُشكّل أساسًا للعديد من مجالات البحث، مثل الهندسة التفاضلية والنقل الأمثل .

تظهر المعادلات التفاضلية الإهليلجية في العديد من السياقات المختلفة وعلى مستويات مختلفة من العمومية.

لنبدأ بالنظر في معادلة تفاضلية جزئية خطية من الدرجة الثانية لدالة مجهولة لمتغيرين${\displaystyle u=u(x,y)}$مكتوبة على النحو التالي $${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,}$$ حيث A و B و C و D و E و F و G هي دوال لـ${\displaystyle (x,y)}$باستخدام الترميز السفلي للمشتقات الجزئية. تُسمى المعادلة التفاضلية الجزئية إهليلجية إذا $${\displaystyle B^{2}-AC<0,}$$ قياسًا على معادلة القطع الناقص المستوي . المعادلات مع${\displaystyle B^{2}-AC=0}$تُسمى القطع المكافئ بينما تُسمى القطع المكافئة بالقطع المكافئ${\displaystyle B^{2}-AC>0}$هي زائدية .

بالنسبة لمعادلة تفاضلية جزئية خطية عامة من الدرجة الثانية، يمكن أن يكون المجهول دالة لأي عدد من المتغيرات المستقلة${\displaystyle u=u(x_{1},\dots ,x_{n})}$، والتي تحقق معادلة من الشكل $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x_{1},\dots ,x_{n})u_{x_{i}x_{j}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})u_{x_{i}}+c(x_{1},\dots ,x_{n})u=f(x_{1},\dots ,x_{n}).}$$ أين${\displaystyle a_{ij},b_{i},c,f}$هي دوال معرفة على المجال تخضع للتناظر${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}$تُسمى هذه المعادلة إهليلجية إذا، عند النظر إليها${\displaystyle a=(a_{ij})}$كدالة لـ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ذات قيمة في مجال${\displaystyle n\times n}$في المصفوفات المتناظرة ، تكون جميع القيم الذاتية أكبر من ثابت موجب معين: أي أن هناك عددًا موجبًا θ بحيث $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x_{1},\dots ,x_{n})\xi _{i}\xi _{j}\geq \theta (\xi _{1}^{2}+\cdots +\xi _{n}^{2})}$$ لكل نقطة${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$في المجال وجميع الأعداد الحقيقية${\displaystyle \xi _{1},\dots ,\xi _{n}}$[ ^{1 ] [ 2 ]​}

أبسط مثال على معادلة تفاضلية جزئية إهليلجية خطية من الدرجة الثانية هو معادلة لابلاس ، حيث تكون المعاملات عبارة عن دوال ثابتة${\displaystyle a_{ij}=0}$ل${\displaystyle i\neq j}$،${\displaystyle a_{ii}=1}$، و${\displaystyle b_{i}=c=f=0}$معادلة بواسون هي معادلة تفاضلية جزئية إهليلجية خطية من الدرجة الثانية أكثر عمومية، حيث لا يُشترط أن تكون قيمة f معدومة. في كلتا المعادلتين، يمكن اعتبار ثابت الإهليلجية θ مساوياً لـ 1 .

لا يُستخدم المصطلح بشكل متسق في جميع المراجع: فما يسميه بعض المؤلفين "إهليلجي" يسميه آخرون "إهليلجي تمامًا" أو "إهليلجي منتظم " . ^{[ 3 ]}

لنفترض معادلة تفاضلية جزئية إهليلجية من الدرجة الثانية

${\displaystyle A(x,y)u_{xx}+2B(x,y)u_{xy}+C(x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0}$

لدالة ذات متغيرين${\displaystyle u=u(x,y)}$هذه المعادلة خطية في الحدود "الرئيسية" ذات الرتبة الأعلى، ولكنها تسمح بتعبيرات غير خطية تتضمن قيم الدالة ومشتقاتها الأولى؛ وهذا ما يسمى أحيانًا بالمعادلة شبه الخطية .

يتطلب الشكل المتعارف عليه تحويلاً${\displaystyle (w,z)=(w(x,y),z(x,y))}$التابع${\displaystyle (x,y)}$المجال بحيث عندما يُنظر إلى u كدالة لـ w و z ، تأخذ المعادلة أعلاه الشكل التالي

${\displaystyle u_{ww}+u_{zz}+F(u_{w},u_{z},u,w,z)=0}$

بالنسبة لدالة جديدة F. يمكن إثبات وجود مثل هذا التحويل محليًا إذا كانت A و B و C دوالًا تحليلية حقيقية ، وبجهد أكبر، حتى لو كانت قابلة للتفاضل باستمرار فقط . تعني المحلية أن تحويلات الإحداثيات اللازمة قد لا تكون مُعرَّفة على كامل نطاق u ، بل فقط في منطقة صغيرة تحيط بأي نقطة معينة من النطاق. ^{[ 10 ]}

إن إثبات وجود مثل هذه التحويلات بشكل رسمي يعتمد على وجود حلول لمعادلة بلترامي . من منظور الهندسة التفاضلية ، فإن وجود شكل قانوني مكافئ لوجود إحداثيات متساوية الحرارة للمقياس الريماني المرتبط به.

${\displaystyle A(x,y)dx^{2}+2B(x,y)\,dx\,dy+C(x,y)dy^{2}}$

على المجال. (إن شرط الإهليلجية للمعادلة التفاضلية الجزئية، أي إيجابية AC – B ² ، هو ما يضمن أن يكون هذا الموتر أو نفيه مقياسًا ريمانيًا بالفعل.)

بالنسبة للمعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية شبه الخطية من الرتبة الثانية التي تحتوي على أكثر من متغيرين، لا يوجد عادةً شكلٌ معياري. وهذا يتوافق مع حقيقة أن الإحداثيات متساوية الحرارة لا توجد للمقاييس الريمانية العامة في الأبعاد الأعلى، وإنما فقط لمقاييس خاصة جدًا. ^{[ 11 ]}

• مسألة القيم الحدية الإهليلجية
• المؤثر الإهليلجي
• معادلة تفاضلية جزئية زائدية
• معادلة تفاضلية جزئية مكافئة
• مبدأ الحد الأقصى (خاصية من خصائص المحاليل)
• فضاء سوبوليف

• "معادلة تفاضلية جزئية إهليلجية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• "المعادلة التفاضلية الجزئية الإهليلجية، الطرق العددية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• وايسشتاين، إريك دبليو. "المعادلة التفاضلية الجزئية الإهليلجية" . عالم الرياضيات .