تكامل دانييل

في الرياضيات ، يُعدّ تكامل دانييل نوعًا من التكامل يُعمّم مفهوم صيغ أبسط، مثل تكامل ريمان الذي يُعرّف به الطلاب عادةً في البداية. إحدى الصعوبات الرئيسية في الصيغة التقليدية لتكامل لوبيغ هي أنها تتطلب تطوير نظرية قياس عملية قبل الحصول على أي نتائج مفيدة للتكامل. مع ذلك، يتوفر نهج بديل، طوّره بيرسي ج. دانييل ( 1918 ) ، لا يعاني من هذا القصور، وله بعض المزايا الهامة مقارنةً بالصيغة التقليدية، لا سيما مع تعميم التكامل إلى فضاءات ذات أبعاد أعلى وتعميمات أخرى مثل تكامل ستيلتجس . وتتمثل الفكرة الأساسية في وضع بديهيات للتكامل. 

نبدأ باختيار عائلة${\displaystyle H}$مجموعة من الدوال الحقيقية المحدودة (تسمى الدوال الأولية ) المعرفة على مجموعة ما${\displaystyle X}$، الذي يحقق هذين البديهيتين:

• ${\displaystyle H}$هو فضاء خطي مع العمليات المعتادة للجمع والضرب القياسي.
• إذا كانت دالة${\displaystyle h}$هو في${\displaystyle H}$وكذلك قيمتها المطلقة${\displaystyle |h|:x\mapsto |h(x)|}$.

بالإضافة إلى ذلك، كل وظيفة${\displaystyle h}$في${\displaystyle H}$يتم تخصيص رقم حقيقي له${\displaystyle Ih}$، وهو ما يسمى التكامل الأولي لـ${\displaystyle h}$، مع استيفاء هذه البديهيات الثلاث:

الخطية

لو${\displaystyle h}$و${\displaystyle k}$كلاهما في H ، و${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$إذا كان أي عددين حقيقيين، فإن${\displaystyle I(\alpha h+\beta k)=\alpha Ih+\beta Ik}$.

عدم السلبية

لو${\displaystyle h(x)\geq 0}$للجميع${\displaystyle x}$، ثم${\displaystyle Ih\geq 0}$.

الاستمرارية

لو${\displaystyle h_{n}}$هي متتالية غير متزايدة (أي${\displaystyle h_{1}\geq \cdots \geq h_{k}\geq \cdots }$) من الدوال في${\displaystyle H}$والتي تتقارب إلى 0 لجميع${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$، ثم${\displaystyle Ih_{n}\to 0}$.

أو (بشكل أكثر شيوعاً)

لو${\displaystyle h_{n}}$هي متتالية متزايدة (أي${\displaystyle h_{1}\leq \cdots \leq h_{k}\leq \cdots }$) من الدوال في${\displaystyle H}$ذلك يتقارب إلى${\displaystyle h}$للجميع${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$، ثم${\displaystyle Ih_{n}\to Ih}$.

أي أننا نُعرّف دالة خطية متصلة غير سالبة${\displaystyle I}$على فضاء الدوال الأولية.

قد تكون هذه الدوال الأولية وتكاملاتها الأولية أي مجموعة من الدوال وتعريفات التكاملات عليها التي تحقق هذه البديهيات. من الواضح أن عائلة جميع الدوال المتدرجة تحقق البديهيات المذكورة أعلاه للدوال الأولية. كما أن تعريف التكامل الأولي لعائلة الدوال المتدرجة على أنه المساحة (المُوَقَّعة) أسفل دالة متدرجة يحقق البديهيات المعطاة للتكامل الأولي. بتطبيق بناء تكامل دانييل الموصوف أدناه باستخدام الدوال المتدرجة كدوال أولية، نحصل على تعريف تكامل مكافئ لتكامل لوبيغ. من الممكن أيضًا استخدام عائلة جميع الدوال المتصلة كدوال أولية وتكامل ريمان التقليدي كتكامل أولي، إلا أن هذا سينتج عنه تكامل مكافئ لتعريف لوبيغ أيضًا. وبالمثل، باستخدام تكامل ريمان-ستيلتيس ، مع دالة مناسبة ذات تباين محدود ، نحصل على تعريف تكامل مكافئ لتكامل لوبيغ-ستيلتيس .

يمكن تعريف المجموعات ذات القياس الصفري بدلالة الدوال الأولية كما يلي. مجموعة${\displaystyle Z}$وهي مجموعة فرعية من${\displaystyle X}$تكون المجموعة ذات قياس صفر إذا كان لأي${\displaystyle \epsilon >0}$توجد متتالية غير متناقصة من الدوال الأولية غير السالبة${\displaystyle h_{p}(x)}$في${\displaystyle H}$بحيث${\displaystyle Ih_{p}<\varepsilon }$و${\textstyle \sup _{p}h_{p}(x)\geq 1}$على${\displaystyle Z}$.

تُسمى المجموعة مجموعة كاملة القياس إذا كانت متممتها، بالنسبة إلى${\displaystyle X}$، هي مجموعة قياسها صفر. نقول إنه إذا تحققت خاصية ما عند كل نقطة من مجموعة قياسها كامل (أو بشكل مكافئ في كل مكان باستثناء مجموعة قياسها صفر)، فإنها تتحقق تقريبًا في كل مكان .

على الرغم من أن النتيجة واحدة، إلا أن المؤلفين المختلفين يبنون التكامل بطرق مختلفة. يتمثل النهج الشائع في البدء بتعريف فئة أكبر من الدوال، بناءً على الدوال الأولية التي اخترناها، وهي الفئة${\displaystyle L^{+}}$، وهي عائلة جميع الدوال التي تمثل نهاية متتالية غير متناقصة${\displaystyle h_{n}}$من الدوال الأولية، بحيث تكون مجموعة التكاملات${\displaystyle Ih_{n}}$محدودة. تكامل الدالة${\displaystyle f}$في${\displaystyle L^{+}}$يُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle If=\lim _{n\to \infty }Ih_{n}}$

يمكن إثبات أن هذا التعريف للتكامل مُحدد جيدًا، أي أنه لا يعتمد على اختيار المتتالية${\displaystyle h_{n}}$.

ومع ذلك، فإن الفصل${\displaystyle L^{+}}$بشكل عام، لا تكون هذه المجموعة مغلقة تحت عمليات الطرح والضرب القياسي بالأعداد السالبة؛ بل يحتاج المرء إلى توسيعها أكثر من خلال تعريف فئة أوسع من الدوال.${\displaystyle L}$بهذه الخصائص.

تتلخص طريقة دانييل (1918)، الموصوفة في كتاب رويدن، في تعريف التكامل العلوي لدالة عامة${\displaystyle \phi }$بواسطة

${\displaystyle I^{+}\phi =\inf _{f\geq \phi }If.}$

يُعرَّف التكامل السفلي بطريقة مماثلة، أو باختصار، كما يلي:${\displaystyle I^{-}\phi =-I^{+}(-\phi )}$. أخيراً${\displaystyle L}$تتألف من تلك الدوال التي تكون تكاملاتها العليا والسفلى محدودة ومتطابقة، و

${\displaystyle \int _{X}\phi (x)dx=I^{+}\phi =I^{-}\phi .}$

يُتخذ مسار بديل، يستند إلى اكتشاف فريدريك ريز، في كتاب شيلوف وغوريفيتش وفي مقالة في موسوعة الرياضيات. هنا${\displaystyle L}$تتكون من تلك الوظائف${\displaystyle \phi (x)}$يمكن تمثيل ذلك على مجموعة من القياس الكامل (المحدد في القسم السابق) على أنه الفرق${\displaystyle \phi =fg}$، بالنسبة لبعض الوظائف${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$في الفصل${\displaystyle L^{+}}$ثم تكامل دالة${\displaystyle \phi (x)}$يمكن تعريفها على النحو التالي:

${\displaystyle \int _{X}\phi (x)dx=If-Ig\,}$

ومرة أخرى، يمكن إثبات أن هذا التكامل مُعرَّف جيدًا، أي أنه لا يعتمد على تحليل${\displaystyle \phi }$داخل${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$. اتضح أن هذا مكافئ لتكامل دانييل الأصلي.

يمكن إثبات جميع النظريات المهمة تقريبًا في نظرية التكامل التقليدية لليبيغ، مثل نظرية التقارب المسيطر لليبيغ ، ونظرية ريز-فيشر ، ومبرهنة فاتو ، ونظرية فوبيني، بسهولة باستخدام هذا البناء. وتتطابق خصائصه مع خصائص التكامل التقليدي لليبيغ.

بسبب التوافق الطبيعي بين المجموعات والدوال، من الممكن أيضًا استخدام تكامل دانييل لبناء نظرية قياس . إذا أخذنا الدالة المميزة${\displaystyle \chi (x)}$إذا كان لدينا مجموعة ما، فيمكن اعتبار تكاملها مقياسًا لتلك المجموعة. ويمكن إثبات أن هذا التعريف للمقياس، القائم على تكامل دانييل، مكافئ لمقياس ليبيغ التقليدي .

تتميز هذه الطريقة في بناء التكامل العام بعدة مزايا مقارنةً بطريقة لوبيغ التقليدية، لا سيما في مجال التحليل الوظيفي . تتطابق طريقتي لوبيغ ودانييل، كما ذُكر سابقًا، إذا تم اختيار دوال الخطوة العادية ذات القيم المحدودة كدوال أولية. مع ذلك، عند محاولة توسيع تعريف التكامل ليشمل مجالات أكثر تعقيدًا (كمحاولة تعريف تكامل دالة خطية )، تظهر صعوبات عملية عند استخدام طريقة لوبيغ، والتي يتم التغلب عليها باستخدام طريقة دانييل.

قدّم عالم الرياضيات البولندي يان ميكوسينسكي صياغةً بديلةً وأكثر طبيعيةً لتكامل دانييل باستخدام مفهوم المتسلسلات المتقاربة مطلقًا . وتُطبّق هذه الصياغة على تكامل بوخنر (تكامل ليبيغ للتطبيقات التي تأخذ قيمًا في فضاءات باناخ ) . تسمح مبرهنة ميكوسينسكي بتعريف التكامل دون الحاجة إلى ذكر المجموعات الصفرية . كما برهن على نظرية تغيير المتغيرات لتكاملات بوخنر المتعددة، ونظرية فوبيني لتكاملات بوخنر باستخدام تكامل دانييل. يُقدّم كتاب أسبلوند وبونغارت شرحًا وافيًا لهذا النهج للدوال الحقيقية. كما يُقدّم برهانًا لنظرية رادون-نيكوديم المجردة باستخدام منهج دانييل-ميكوسينسكي.

• تكامل ليبيغ
• تكامل ريمان
• تكامل ليبيسج – ستيلتجيس

• آش، روبرت ب. (1972). "التفاعل بين نظرية القياس والطوبولوجيا". التحليل الحقيقي والاحتمالات . نيويورك: أكاديميك برس. ص 168-200 . ISBN  0-12-065201-3.
• دانييل، بي جيه (1918). "صيغة عامة للتكامل". حوليات الرياضيات . السلسلة الثانية. 19 (4): 279-294 . doi : 10.2307/1967495 . JSTOR 1967495 . 
• هابرمان، شيلبي ج. (1996). "بناء تكاملات دانييل" . الإحصاء المتقدم . نيويورك: سبرينغر. ص 199-263 . ISBN  0-387-94717-5.
• رويدن، إتش إل (1988). "تكامل دانييل". التحليل الحقيقي (  الطبعة الثالثة). إنجلوود كليفس: برنتيس هول. ص 419-434 . ISBN  0-02-404151-3.
• لوميس، لين هـ. (1953)، "الفصل الثالث: التكامل"، مقدمة في التحليل التوافقي المجرد ، دي. فان نوستراند، ص 29-47 ، hdl : 2027/uc1.b4250788 
• شيلوف، جي إي؛ غوريفيتش، بي إل (1978). التكامل، والقياس، والمشتقة: منهج موحد . ترجمة سيلفرمان، ريتشارد أ. منشورات دوفر. رقم ISBN 0-486-63519-8.
• أسبلوند، إدغار؛ بونغارت، لوتز (1966). دورة تمهيدية في التكامل . نيويورك: هولت، راينهارت ووينستون.
• سوبوليف، في. آي. (2001) [1994]، "تكامل دانييل" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• تايلور، أ. إي. (1985) [1965]. النظرية العامة للدوال والتكامل . دوفر. ISBN 0-486-64988-1.