صيغة دي موافر

في الرياضيات ، تنص صيغة دي موافر (المعروفة أيضًا باسم نظرية دي موافر ومتطابقة دي موافر ) على أنه لأي عدد حقيقي x وعدد صحيح n ، تكون الحالة هي حيث i هي الوحدة التخيلية ( i ² = −1 ). سميت الصيغة باسم أبراهام دي موافر ، على الرغم من أنه لم يذكرها أبدًا في أعماله. ^[1] يتم اختصار التعبير cos x + i sin x أحيانًا إلى cis x . $${\displaystyle {\big (}\cos x+i\sin x{\big )}^{n}=\cos nx+i\sin nx,}$$

الصيغة مهمة لأنها تربط بين الأعداد المركبة وعلم المثلثات . من خلال توسيع الجانب الأيسر ثم مقارنة الأجزاء الحقيقية والتخيلية بافتراض أن x حقيقي، من الممكن استنباط تعبيرات مفيدة لـ cos nx و sin nx من حيث cos x و sin x .

كما هو مكتوب، فإن الصيغة غير صالحة للقوى غير الصحيحة n . ومع ذلك، هناك تعميمات لهذه الصيغة صالحة للأسس الأخرى. يمكن استخدامها لإعطاء تعبيرات صريحة للجذور n للوحدة ، أي الأعداد المركبة z بحيث z ⁿ = 1 .

باستخدام الامتدادات القياسية لوظائف الجيب وجيب التمام للأعداد المركبة، تكون الصيغة صالحة حتى عندما يكون x عددًا مركبًا تعسفيًا.

بالنسبة إلى و ، تؤكد صيغة دي موافر أن أو ما يعادلها أن في هذا المثال، من السهل التحقق من صحة المعادلة عن طريق ضرب الطرف الأيسر. ${\displaystyle x=30^{\circ}}$${\displaystyle n=2}$$${\displaystyle \left(\cos(30^{\circ })+i\sin(30^{\circ })\right)^{2}=\cos(2\cdot 30^{\circ })+i\sin(2\cdot 30^{\circ }),}$$$${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}+{\frac {i{\sqrt {3}}{2}}.}$$

صيغة دي موافر هي مقدمة لصيغة أويلر حيث يتم التعبير عن x بالراديان بدلاً من الدرجات ، مما يثبت العلاقة الأساسية بين الدوال المثلثية والدالة الأسية المعقدة. $${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$

يمكن استنباط صيغة دي موافر باستخدام صيغة أويلر والقانون الأسي للقوى الصحيحة

${\displaystyle \left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx},}$

نظرًا لأن صيغة أويلر تعني أن الجانب الأيسر يساوي بينما الجانب الأيمن يساوي${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}}$${\displaystyle \cos nx+i\sin nx.}$

يمكن إثبات صحة نظرية دي موافر باستخدام الاستدلال الرياضي للأعداد الطبيعية، ثم توسيعها لتشمل جميع الأعداد الصحيحة من هناك. بالنسبة لعدد صحيح n ، نسمي العبارة التالية S( n ) :

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\cos nx+i\sin nx.}$

بالنسبة لـ n > 0 ، نستمر بالاستدلال الرياضي . S(1) صحيحة بوضوح. بالنسبة لفرضيتنا، نفترض أن S( k ) صحيحة لبعض k الطبيعية . أي أننا نفترض

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{k}=\cos kx+i\sin kx.}$

الآن، بالنظر إلى S( k + 1) :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left(\cos kx+i\sin kx\right)\left(\cos x+i\sin x\right)&&\qquad {\text{بموجب فرضية الاستقراء}}\\&=\cos kx\cos x-\sin kx\sin x+i\left(\cos kx\sin x+\sin kx\cos x\right)\\&=\cos((k+1)x)+i\sin((k+1)x)&&\qquad {\text{بموجب فرضية الاستقراء}}\\&=\cos kx\cos x-\sin kx\sin x+i\left(\cos kx\sin x+\sin kx\cos x\right)\\&=\cos((k+1)x)&&\qquad {\text{بموجب المعادلة المثلثية الهويات}}\end{alignedat}}}$

انظر مجموع الزوايا وهويات الفرق .

نستنتج أن S( k ) يستلزم S( k + 1) . ووفقًا لمبدأ الاستدلال الرياضي، فإن النتيجة صحيحة لجميع الأعداد الطبيعية. الآن، S(0) صحيحة بوضوح لأن cos(0 x ) + i sin(0 x ) = 1 + 0 i = 1. وأخيرًا، بالنسبة لحالات الأعداد الصحيحة السالبة، نعتبر الأس − n للأعداد الطبيعية n .

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\cos x+i\sin x\right)^{-n}&={\big (}\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}{\big )}^{-1}\\&=\left(\cos nx+i\sin nx\right)^{-1}\\&=\cos nx-i\sin nx\qquad \qquad (*)\\&=\cos(-nx)+i\sin(-nx).\\\end{aligned}}}$

المعادلة (*) هي نتيجة للهوية

${\displaystyle z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}},}$

بالنسبة إلى z = cos nx + i sin nx . وبالتالي، فإن S( n ) صحيحة لجميع الأعداد الصحيحة n .

بالنسبة لتساوي الأعداد المركبة ، فمن الضروري أن يكون هناك تساوي بين الأجزاء الحقيقية والأجزاء التخيلية لكلا عنصري المعادلة. إذا كان x ، وبالتالي أيضًا cos x و sin x ، أعدادًا حقيقية ، فيمكن كتابة هوية هذه الأجزاء باستخدام معاملات ثنائية الحدين . وقد قدم هذه الصيغة عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت في القرن السادس عشر :

${\displaystyle {\begin{محاذاة}\sin nx&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\,(\sin x )^{nk}\,\sin {\frac {(nk)\pi }{2}}\\\cos nx&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k} }(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{nk}\,\cos {\frac {(nk)\pi }{2}}.\end{محاذاة}}}$

في كل من هاتين المعادلتين، تساوي الدالة المثلثية النهائية واحدًا أو ناقص واحد أو صفرًا، وبالتالي إزالة نصف الإدخالات في كل من المجموعين. هذه المعادلات صالحة في الواقع حتى للقيم المركبة لـ x ، لأن كلا الجانبين عبارة عن دوال كاملة (أي متماثلة على المستوى المركب بالكامل ) لـ x ، واثنتان من هذه الدالات التي تتطابق على المحور الحقيقي تتطابقان بالضرورة في كل مكان. فيما يلي الأمثلة الملموسة لهذه المعادلات لـ n = 2 و n = 3 :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\cos 2x&=\left(\cos x\right)^{2}+\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&{}={}&2\left(\cos x\right)^{2}-1\\\sin 2x&=2\left(\sin x\right)\left(\cos x\right)&&\\\cos 3x&=\left(\cos x\right)^{3}+3\cos x\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&{}={}&4\left(\cos x\right)^{3}-3\cos x\\\sin 3x&=3\left(\cos x\right)^{2}\left(\sin x\right)-\left(\sin x\right)^{3}&{}={}&3\sin x-4\left(\sin x\right)^{3}.\end{alignedat}}}$

إن الجانب الأيمن من صيغة cos nx هو في الواقع القيمة T _n (cos x ) من متعددة حدود تشيبيشيف T _n عند cos x .

لا تنطبق صيغة دي موافر على القوى غير الصحيحة. يتضمن اشتقاق صيغة دي موافر أعلاه عددًا مركبًا مرفوعًا إلى القوة الصحيحة n . إذا تم رفع عدد مركب إلى قوة غير صحيحة، فإن النتيجة تكون متعددة القيم (انظر فشل متطابقات القوة واللوغاريتم ).

يمكن استخدام امتداد متواضع لنسخة صيغة دي موافر الواردة في هذه المقالة لإيجاد الجذور ذات الترتيب n لعدد مركب لعدد صحيح غير صفري n . (وهذا يعادل الرفع إلى قوة 1 / n ).

إذا كان z عددًا مركبًا، مكتوبًا في الشكل القطبي على النحو التالي:

${\displaystyle z=r\left(\cos x+i\sin x\right),}$

ثم يتم إعطاء الجذور n لـ z بواسطة

${\displaystyle r^{\frac {1}{n}}\left(\cos {\frac {x+2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {x+2\pi k}{n}}\right)}$

حيث يتغير k عبر القيم الصحيحة من 0 إلى | n | − 1 .

تُعرف هذه الصيغة أيضًا أحيانًا باسم صيغة دي موافر. ^[2]

بشكل عام، إذا كان (في الشكل القطبي) و w أعدادًا مركبة عشوائية، فإن مجموعة القيم الممكنة تكون (لاحظ أنه إذا كان w عددًا نسبيًا يساوي p / q بأدنى قيمة ، فإن هذه المجموعة سيكون لها قيم q مميزة تمامًا بدلاً من عدد لا نهائي. وعلى وجه الخصوص، إذا كان w عددًا صحيحًا، فإن المجموعة سيكون لها قيمة واحدة فقط، كما تمت مناقشته سابقًا.) على النقيض من ذلك، تعطي صيغة دي موافر القيمة الوحيدة فقط من هذه المجموعة المقابلة لـ k = 0 . ${\displaystyle z=r\left(\cos x+i\sin x\right)}$$${\displaystyle z^{w}=r^{w}\left(\cos x+i\sin x\right)^{w}=\lbrace r^{w}\cos(xw+2\pi kw)+ir^{w}\sin(xw+2\pi kw)|k\in \mathbb {Z} \rbrace \,.}$$$${\displaystyle r^{w}(\cos xw+i\sin xw)\,,}$$

نظرًا لأن cosh x + sinh x = e ^x ، فإن نظيرًا لصيغة دي موافر ينطبق أيضًا على حساب المثلثات الزائدية . لجميع الأعداد الصحيحة n ،

${\displaystyle (\cosh x+\sinh x)^{n}=\cosh nx+\sinh nx.}$

إذا كان n عددًا نسبيًا (ولكن ليس بالضرورة عددًا صحيحًا)، فإن cosh nx + sinh nx سيكون أحد قيم (cosh x + sinh x ) ⁿ . ^[3]

بالنسبة لأي عدد صحيح n ، تنطبق الصيغة على أي عدد مركب${\displaystyle z=x+iy}$

${\displaystyle (\cos z+i\sin z)^{n}=\cos {nz}+i\sin {nz}.}$

أين

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos z=\cos(x+iy)&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\,,\\\sin z=\sin(x+iy)&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\,.\end{aligned}}}$

لإيجاد جذور الرباعية، هناك شكل مماثل لصيغة دي موافر. الرباعية في الشكل

${\displaystyle q=d+a\mathbf {\hat {i}} +b\mathbf {\hat {j}} +c\mathbf {\hat {k}} }$

يمكن تمثيلها في النموذج

${\displaystyle q=k(\cos \theta +\varepsilon \sin \theta )\qquad {\mbox{for }}0\leq \theta <2\pi .}$

في هذا التمثيل،

${\displaystyle k={\sqrt {d^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}}},}$

ويتم تعريف الدوال المثلثية على أنها

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {d}{k}}\quad {\mbox{and}}\quad \sin \theta =\pm {\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{k}}.}$

في حالة أن a ² + b ² + c ² ≠ 0 ،

${\displaystyle \varepsilon =\pm {\frac {a\mathbf {\hat {i}} +b\mathbf {\hat {j}} +c\mathbf {\hat {k}} }{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},}$

وهذا يعني متجه الوحدة. وهذا يؤدي إلى تباين صيغة دي موافر:

${\displaystyle q^{n}=k^{n}(\cos n\theta +\varepsilon \sin n\theta ).}$^[4]

لإيجاد الجذور التكعيبية لـ

${\displaystyle Q=1+\mathbf {\hat {i}} +\mathbf {\hat {j}} +\mathbf {\hat {k}} ,}$

اكتب الرباعية في الصورة

${\displaystyle Q=2\left(\cos {\frac {\pi }{3}}+\varepsilon \sin {\frac {\pi }{3}}\right)\qquad {\mbox{where }}\varepsilon ={\frac {\mathbf {\hat {i}} +\mathbf {\hat {j}} +\mathbf {\hat {k}} }{\sqrt {3}}}.}$

ثم يتم الحصول على الجذور التكعيبية بواسطة:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{Q}}={\sqrt[{3}]{2}}(\cos \theta +\varepsilon \sin \theta )\qquad {\mbox{for }}\theta ={\frac {\pi }{9}},{\frac {7\pi }{9}},{\frac {13\pi }{9}}.}$

مع المصفوفات، عندما يكون n عددًا صحيحًا. هذه نتيجة مباشرة للتماثل بين مصفوفات النوع والمستوى المركب . ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}\cos n\phi &-\sin n\phi \\\sin n\phi &\cos n\phi \end{pmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}}$

• أبراموفيتز، ميلتون؛ ستيجون، إيرين أ. (1964). دليل الدوال الرياضية . نيويورك: منشورات دوفر. ص 74. رقم ISBN 0-486-61272-4..

• نظرية دي موافر للمتطابقات المثلثية بقلم مايكل كروشر، مشروع عروض ولفرام .