رباعية الأبعاد

جدول ضرب الرباعيات

↓ × →	1	أنا	ج	ك
1	1	أنا	ج	ك
أنا	أنا	-1	ك	- ج
ج	ج	- ك	-1	أنا
ك	ك	ج	- أنا	-1
يُظهر العمود الأيسر العامل الأيسر، ويُظهر الصف العلوي العامل الأيمن. أيضًا، و بالنسبة لـ ، . ${\displaystyle a\mathbf {b} =\mathbf {b} a}$${\displaystyle -\mathbf {b} =(-1)\mathbf {b} }$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }$

في الرياضيات ، يمتد نظام الأعداد الرباعية إلى الأعداد المركبة . تم وصف الرباعيات لأول مرة من قبل عالم الرياضيات الأيرلندي ويليام روان هاملتون في عام 1843 ^{[1] [2]} وتم تطبيقها على الميكانيكا في الفضاء ثلاثي الأبعاد . غالبًا ما يُشار إلى جبر الرباعيات بالحرف H ( لهاملتون )، أو بالخط العريض السبورة بالرباعيات ليست حقلاً ، لأن ضرب الرباعيات ليس، بشكل عام، تبديليًا . توفر الرباعيات تعريفًا لقسمة متجهين في فضاء ثلاثي الأبعاد. ^{[3] [4]} يتم تمثيل الرباعيات عمومًا في الشكل ${\displaystyle \mathbb {H} .}$

$${\displaystyle a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} ,}$$

حيث المعاملات a و b و c و d هي أعداد حقيقية ، و 1 و i و j و k هي متجهات الأساس أو عناصر الأساس . ^[5]

تُستخدم الرباعيات في الرياضيات البحتة ، ولكن لها أيضًا استخدامات عملية في الرياضيات التطبيقية ، وخاصةً للحسابات التي تتضمن دورانات ثلاثية الأبعاد ، مثل الرسومات الحاسوبية ثلاثية الأبعاد ، والرؤية الحاسوبية ، والروبوتات، والتصوير بالرنين المغناطيسي ^[6] وتحليل الملمس البلوري . ^[7] ويمكن استخدامها جنبًا إلى جنب مع طرق أخرى للدوران، مثل زوايا أويلر ومصفوفات الدوران ، أو كبديل لها، حسب التطبيق.

في المصطلحات الحديثة، تشكل الرباعيات جبر تقسيم معياري ارتباطي رباعي الأبعاد على الأعداد الحقيقية، وبالتالي حلقة، وحلقة تقسيم ومجال . إنها حالة خاصة من جبر كليفورد ، المصنف على أنه كان أول جبر تقسيم غير تبادلي يتم اكتشافه . ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{0,2}(\mathbb {R} )\cong \operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} ).}$

وفقًا لنظرية فروبينيوس ، فإن الجبر هو أحد حلقتي تقسيم ذات بعد محدود تحتويان على حلقة فرعية مناسبة متماثلة مع الأعداد الحقيقية؛ والحلقة الأخرى هي الأعداد المركبة. هذه الحلقات هي أيضًا جبر هورويتز الإقليدي ، حيث تكون الرباعيات أكبر جبر ارتباطي (وبالتالي أكبر حلقة). يؤدي توسيع الرباعيات إلى إنتاج ثمانيات غير ارتباطية ، وهو آخر جبر تقسيم معياري على الأعداد الحقيقية. يعطي التمديد التالي ثمانيات ، والتي لها قواسم صفرية وبالتالي لا يمكن أن تكون جبر تقسيم معياري. ^[8]${\displaystyle \mathbb {H} }$

تعطي رباعيات الوحدة بنية مجموعة على الكرة الثلاثية S ³ متماثلة مع المجموعات Spin(3) و SU(2) ، أي مجموعة الغطاء الشاملة لـ SO(3) . تشكل متجهات الأساس الموجبة والسالبة مجموعة رباعيات العناصر الثمانية .

تم تقديم الرباعيات بواسطة هاملتون في عام 1843. ^[9] تضمنت المقدمات المهمة لهذا العمل متطابقة المربعات الأربعة لأويلر (1748) ومعلمة أوليندي رودريجيز للدوران العام بأربعة معاملات (1840)، لكن لم يعامل أي من هؤلاء الكتاب الدورات ذات المعاملات الأربعة كجبر. ^{[10] [11] اكتشف} كارل فريدريش جاوس الرباعيات في عام 1819، لكن هذا العمل لم يُنشر حتى عام 1900. ^{[12] [13]}

عرف هاملتون أن الأعداد المركبة يمكن تفسيرها كنقط في مستوى ، وكان يبحث عن طريقة للقيام بنفس الشيء بالنسبة للنقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد . يمكن تمثيل النقاط في الفضاء بإحداثياتها، والتي هي ثلاثيات من الأرقام، ولعدة سنوات كان يعرف كيفية جمع وطرح ثلاثيات من الأرقام. ومع ذلك، فقد ظل لفترة طويلة عالقًا في مشكلة الضرب والقسمة. لم يستطع معرفة كيفية حساب حاصل إحداثيات نقطتين في الفضاء. في الواقع، أثبت فرديناند جورج فروبينيوس لاحقًا في عام 1877 أنه لكي تكون جبر القسمة على الأعداد الحقيقية محدودة الأبعاد وتجميعية، فلا يمكن أن تكون ثلاثية الأبعاد، ولا يوجد سوى ثلاثة جبر قسمة من هذا القبيل: (الأعداد المركبة) و (الرباعيات) التي لها الأبعاد 1 و2 و4 على التوالي. ${\displaystyle \mathbb {R,C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$

أخيرًا، جاء الاختراق العظيم في الرباعيات يوم الاثنين 16 أكتوبر 1843 في دبلن ، عندما كان هاملتون في طريقه إلى الأكاديمية الملكية الأيرلندية لرئاسة اجتماع المجلس. بينما كان يسير على طول ممر القناة الملكية مع زوجته، كانت المفاهيم وراء الرباعيات تتشكل في ذهنه. عندما اتضحت له الإجابة، لم يستطع هاملتون مقاومة الرغبة في نحت صيغة الرباعيات،

$${\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {i\,j\,k} =-1}$$

في حجر جسر بروهام أثناء توقفه عليه. وعلى الرغم من أن النحت قد تلاشى منذ ذلك الحين، إلا أنه كان هناك حج سنوي منذ عام 1989 يسمى " مسيرة هاملتون" للعلماء وعلماء الرياضيات الذين يسيرون من مرصد دونسينك إلى جسر القناة الملكية في ذكرى اكتشاف هاملتون.

في اليوم التالي، كتب هاملتون رسالة إلى صديقه وزميله عالم الرياضيات جون ت. جريفز ، واصفًا سلسلة الأفكار التي أدت إلى اكتشافه. نُشرت هذه الرسالة لاحقًا في رسالة إلى مجلة الفلسفة ومجلة العلوم في لندن وإدنبرة ودبلن ؛ ^[14] يذكر هاملتون:

وهنا خطرت لي فكرة مفادها أنه يتعين علينا أن نعترف، بمعنى ما، بوجود بُعد رابع للفضاء لغرض الحساب باستخدام الثلاثيات... وبدا أن دائرة كهربائية قد أغلقت، ثم انطلقت شرارة. ^[14]

أطلق هاملتون على الرباعي بهذه القواعد الخاصة بالضرب اسم رباعية ، وكرس معظم ما تبقى من حياته لدراستها وتعليمها. كانت معالجة هاملتون أكثر هندسية من النهج الحديث، الذي يؤكد على الخصائص الجبرية لرباعيات الأضلاع . أسس مدرسة "رباعيات الأضلاع"، وحاول ترويج رباعيات الأضلاع في العديد من الكتب. كان آخر وأطول كتبه، عناصر رباعيات الأضلاع ، ^[15] بطول 800 صفحة؛ وقد حرره ابنه ونُشر بعد وفاته بفترة وجيزة.

بعد وفاة هاملتون، أصبح الفيزيائي الرياضي الاسكتلندي بيتر تيت هو كبير الباحثين في الرباعيات. في هذا الوقت، كانت الرباعيات موضوعًا إلزاميًا للامتحان في دبلن. تم وصف الموضوعات في الفيزياء والهندسة التي يمكن وصفها الآن باستخدام المتجهات، مثل الحركة في الفضاء ومعادلات ماكسويل ، بالكامل من حيث الرباعيات. حتى أنه كانت هناك جمعية بحثية مهنية، جمعية الرباعيات ، مكرسة لدراسة الرباعيات وأنظمة الأعداد المعقدة الأخرى .

منذ منتصف ثمانينيات القرن التاسع عشر، بدأ تحليل المتجهات في استبدال الرباعيات ، والذي طوره جوشيا ويلارد جيبس ​​وأوليفر هيفسايد وهيرمان فون هيلمهولتز . وصف تحليل المتجهات نفس الظواهر التي تصفها الرباعيات، لذلك استعار بعض الأفكار والمصطلحات بحرية من الأدبيات حول الرباعيات. ومع ذلك، كان تحليل المتجهات أبسط من الناحية المفاهيمية وأنظف من الناحية التدوينية، وفي النهاية تم تهميش الرباعيات إلى دور ثانوي في الرياضيات والفيزياء . أحد الآثار الجانبية لهذا التحول هو أن عمل هاملتون يصعب فهمه بالنسبة للعديد من القراء المعاصرين. تعريفات هاملتون الأصلية غير مألوفة وأسلوب كتابته كان طويلاً ويصعب متابعته.

ومع ذلك، شهدت الرباعيات إحياءً منذ أواخر القرن العشرين، ويرجع ذلك في المقام الأول إلى فائدتها في وصف الدورات المكانية . إن تمثيلات الدورات بواسطة الرباعيات أكثر إحكاما وأسرع في الحساب من التمثيلات بواسطة المصفوفات . بالإضافة إلى ذلك، على عكس زوايا أويلر، فهي ليست عرضة لـ " قفل المحور ". لهذا السبب، تُستخدم الرباعيات في الرسومات الحاسوبية ، ^{[16] [17]} الرؤية الحاسوبية ، الروبوتات ، ^[18] أخذ عينات الصور بالرنين المغناطيسي النووي ، ^[6] نظرية التحكم ، معالجة الإشارات ، التحكم في الموقف ، الفيزياء ، المعلوماتية الحيوية ، الديناميكيات الجزيئية ، المحاكاة الحاسوبية ، وميكانيكا المدارات . على سبيل المثال، من الشائع أن يتم التحكم في أنظمة التحكم في الموقف للمركبات الفضائية من حيث الرباعيات. تلقت الرباعيات دفعة أخرى من نظرية الأعداد بسبب علاقاتها بالأشكال التربيعية . ^[19]

أدى اكتشاف عام 1924 إلى أنه في ميكانيكا الكم يمكن وصف دوران الإلكترون وجسيمات المادة الأخرى (المعروفة باسم السبينورات ) باستخدام رباعيات الأضلاع (في شكل مصفوفات دوران باولي الشهيرة) إلى تعزيز اهتمامهم؛ ساعدت الرباعيات الأضلاع في فهم كيفية تمييز دوران الإلكترونات بمقدار 360 درجة عن تلك التي تبلغ 720 درجة (" خدعة اللوحة "). ^{[20] [21]} اعتبارًا من عام 2018 ، لم يتجاوز استخدامها مجموعات الدوران . ^{[أ][تحديث]}

الرباعية هي تعبير عن الشكل

$${\displaystyle a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} ,}$$

حيث أن a و b و c و d هي أرقام حقيقية، و i و j و k هي رموز يمكن تفسيرها كمتجهات وحدة تشير على طول المحاور المكانية الثلاثة. في الممارسة العملية، إذا كان أحد a و b و c و d يساوي 0، يتم حذف المصطلح المقابل؛ إذا كانت a و b و c و d كلها صفرًا، فإن الرباعية هي الرباعية الصفرية ، والتي يشار إليها بالرمز 0؛ إذا كان أحد b و c و d يساوي 1، فإن المصطلح المقابل يُكتب ببساطة i أو j أو k .

يصف هاملتون الرباعية بأنها تتكون من جزء قياسي وجزء متجه. تسمى الرباعية الجزء المتجه (أحيانًا الجزء التخيلي ) من q ، و a هو الجزء القياسي (أحيانًا الجزء الحقيقي ) من q . تسمى الرباعية التي تساوي جزئها الحقيقي (أي أن جزء المتجه يساوي صفرًا) رباعية قياسية أو حقيقية ، ويتم تحديدها بالعدد الحقيقي المقابل. أي أن الأعداد الحقيقية مضمنة في الرباعيات. (بشكل أكثر دقة، يكون مجال الأعداد الحقيقية متماثلًا لمجموعة فرعية من الرباعيات. يكون مجال الأعداد المركبة متماثلًا أيضًا لثلاث مجموعات فرعية من الرباعيات.) ^[22] تسمى الرباعية التي تساوي جزء المتجه الخاص بها رباعية متجهة . ${\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$${\displaystyle b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$

مجموعة الرباعيات هي فضاء متجه رباعي الأبعاد على الأعداد الحقيقية، مع أساس ، عن طريق إضافة المكونات حسب المكونات ${\displaystyle \left\{1,\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \right\}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&(a_{1}+b_{1}\mathbf {i} +c_{1}\mathbf {j} +d_{1}\mathbf {k} )+(a_{2}+b_{2}\mathbf {i} +c_{2}\mathbf {j} +d_{2}\mathbf {k} )\\[3mu]&\qquad =(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\mathbf {i} +(c_{1}+c_{2})\mathbf {j} +(d_{1}+d_{2})\mathbf {k} ,\end{aligned}}}$$

والضرب القياسي للمكونات

$${\displaystyle \lambda (a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} )=\lambda a+(\lambda b)\mathbf {i} +(\lambda c)\mathbf {j} +(\lambda d)\mathbf {k} .}$$

يمكن تعريف بنية المجموعة الضربية، والتي تسمى حاصل هاملتون ، والتي يتم الإشارة إليها عن طريق التجاور، على الرباعيات بالطريقة التالية:

• الرباعية الحقيقية 1 هي عنصر الهوية .
• تتبادل الرباعيات الحقيقية مع جميع الرباعيات الأخرى، أي أن aq = qa لكل رباعية q ولكل رباعية حقيقية a . وفي المصطلحات الجبرية، يعني هذا أن مجال الرباعيات الحقيقية هو مركز جبر الرباعية هذا.
• يُعطى المنتج أولاً للعناصر الأساسية (انظر القسم الفرعي التالي)، ثم يمتد إلى جميع الرباعيات باستخدام خاصية التوزيع وخاصية المركز للرباعيات الحقيقية. منتج هاملتون ليس تبديليًا ، ولكنه ارتباطي ، وبالتالي تشكل الرباعيات جبرًا ارتباطيًا على الأعداد الحقيقية.
• بالإضافة إلى ذلك، كل رباعية غير صفرية لها معكوس بالنسبة لحاصل هاملتون:$${\displaystyle (a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} )^{-1}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}\,(a-b\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k} ).}$$

وبالتالي فإن الرباعيات تشكل جبر القسمة.

جدول الضرب

يتم التأكيد على عدم التبديلية من خلال المربعات الملونة

×	1	أنا	ج	ك
1	1	أنا	ج	ك
أنا	أنا	-1	ك	- ج
ج	ج	- ك	-1	أنا
ك	ك	ج	- أنا	-1

يتم تعريف عملية الضرب بـ 1 من العناصر الأساسية i و j و k من خلال حقيقة أن 1 هي هوية مضاعفة ، أي،

$${\displaystyle \mathbf {i} \,1=1\,\mathbf {i} =\mathbf {i} ,\qquad \mathbf {j} \,1=1\,\mathbf {j} =\mathbf {j} ,\qquad \mathbf {k} \,1=1\,\mathbf {k} =\mathbf {k} .}$$

منتجات العناصر الأساسية الأخرى هي

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i} ^{2}&=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=-1,\\[5mu]\mathbf {i\,j} &=-\mathbf {j\,i} =\mathbf {k} ,\qquad \mathbf {j\,k} =-\mathbf {k\,j} =\mathbf {i} ,\qquad \mathbf {k\,i} =-\mathbf {i\,k} =\mathbf {j} .\end{aligned}}}$$

من خلال الجمع بين هذه القواعد،

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i\,j\,k} &=-1.\end{aligned}}}$$

مركز الحلقة غير التبادلية هو الحلقة الفرعية للعناصر c بحيث cx = xc لكل x . مركز جبر الرباعيات هو الحقل الفرعي للرباعيات الحقيقية. في الواقع، إنه جزء من التعريف أن الرباعيات الحقيقية تنتمي إلى المركز. وعلى العكس من ذلك، إذا كان q = a + b i + c j + d k ينتمي إلى المركز، إذن

$${\displaystyle 0=\mathbf {i} \,q-q\,\mathbf {i} =2c\,\mathbf {ij} +2d\,\mathbf {ik} =2c\,\mathbf {k} -2d\,\mathbf {j} ,}$$

و c = d = 0. وتُظهِر عملية حسابية مماثلة باستخدام j بدلاً من i أن لدينا أيضًا b = 0. وبالتالي فإن q = a هي رباعية حقيقية .

تشكل الرباعيات جبر قسمة. وهذا يعني أن عدم التبديلية في الضرب هي الخاصية الوحيدة التي تجعل الرباعيات مختلفة عن الحقل. ولعدم التبديلية هذه بعض العواقب غير المتوقعة، من بينها أن معادلة كثيرة الحدود على الرباعيات يمكن أن يكون لها حلول أكثر تميزًا من درجة كثيرة الحدود. على سبيل المثال، تحتوي المعادلة z ² + 1 = 0 على عدد لا نهائي من حلول الرباعيات ، وهي الرباعيات z = b i + c j + d k بحيث b ² + c ² + d ² = 1. وبالتالي تشكل "جذور -1" هذه كرة وحدة في الفضاء ثلاثي الأبعاد لرباعيات المتجهات.

بالنسبة لعنصرين a ₁ + b ₁ i + c ₁ j + d ₁ k و a ₂ + b ₂ i + c ₂ j + d ₂ k ، فإن حاصل ضربهما، المسمى حاصل ضرب هاملتون ( a ₁ + b ₁ i + c ₁ j + d ₁ k ) ( a ₂ + b ₂ i + c ₂ j + d ₂ k )، يتحدد من خلال حاصل ضرب العناصر الأساسية وقانون التوزيع . يتيح قانون التوزيع توسيع الحاصل بحيث يكون مجموع حاصل ضرب العناصر الأساسية. وهذا يعطي التعبير التالي:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&a_{1}a_{2}&&+a_{1}b_{2}\mathbf {i} &&+a_{1}c_{2}\mathbf {j} &&+a_{1}d_{2}\mathbf {k} \\{}+{}&b_{1}a_{2}\mathbf {i} &&+b_{1}b_{2}\mathbf {i} ^{2}&&+b_{1}c_{2}\mathbf {ij} &&+b_{1}d_{2}\mathbf {ik} \\{}+{}&c_{1}a_{2}\mathbf {j} &&+c_{1}b_{2}\mathbf {ji} &&+c_{1}c_{2}\mathbf {j} ^{2}&&+c_{1}d_{2}\mathbf {jk} \\{}+{}&d_{1}a_{2}\mathbf {k} &&+d_{1}b_{2}\mathbf {ki} &&+d_{1}c_{2}\mathbf {kj} &&+d_{1}d_{2}\mathbf {k} ^{2}\end{alignedat}}}$$

الآن يمكن ضرب العناصر الأساسية باستخدام القواعد المذكورة أعلاه للحصول على: ^[9]

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&a_{1}a_{2}&&-b_{1}b_{2}&&-c_{1}c_{2}&&-d_{1}d_{2}\\{}+{}(&a_{1}b_{2}&&+b_{1}a_{2}&&+c_{1}d_{2}&&-d_{1}c_{2})\mathbf {i} \\{}+{}(&a_{1}c_{2}&&-b_{1}d_{2}&&+c_{1}a_{2}&&+d_{1}b_{2})\mathbf {j} \\{}+{}(&a_{1}d_{2}&&+b_{1}c_{2}&&-c_{1}b_{2}&&+d_{1}a_{2})\mathbf {k} \end{alignedat}}}$$

الرباعية من الشكل a + 0 i + 0 j + 0 k ، حيث a هو عدد حقيقي، تسمى قياسيًا ، والرباعية من الشكل 0 + b i + c j + d k ، حيث b و c و d هي أعداد حقيقية، وواحد على الأقل من b أو c أو d غير صفري، تسمى رباعية متجهة . إذا كانت a + b i + c j + d k أي رباعية، فإن a تسمى الجزء القياسي الخاص بها و b i + c j + d k تسمى الجزء المتجه الخاص بها . على الرغم من أنه يمكن اعتبار كل رباعية كمتجه في فضاء متجه رباعي الأبعاد، فمن الشائع الإشارة إلى الجزء المتجه كمتجهات في فضاء ثلاثي الأبعاد. وفقًا لهذه الاتفاقية، يكون المتجه هو نفسه عنصر فضاء المتجه ^[b]${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

أطلق هاملتون أيضًا على رباعيات المتجهات اسم رباعيات قائمة ^{[24] [25]} والأعداد الحقيقية (التي تعتبر رباعيات ذات جزء متجه صفري) اسم رباعيات قياسية .

إذا تم تقسيم الرباعية إلى جزء قياسي وجزء متجه، أي،

$${\displaystyle \mathbf {q} =(r,\,{\vec {v}}),\ \mathbf {q} \in \mathbb {H} ,\ r\in \mathbb {R} ,\ {\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{3},}$$

ثم تكون صيغ الجمع والضرب والمعكوس الضربي هي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(r_{1},\,{\vec {v}}_{1})+(r_{2},\,{\vec {v}}_{2})&=(r_{1}+r_{2},\,{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}),\\[5mu](r_{1},\,{\vec {v}}_{1})(r_{2},\,{\vec {v}}_{2})&=(r_{1}r_{2}-{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2},\,r_{1}{\vec {v}}_{2}+r_{2}{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2}),\\[5mu](r,\,{\vec {v}})^{-1}&=\left({\frac {r}{r^{2}+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}},\ {\frac {-{\vec {v}}}{r^{2}+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}\right),\end{aligned}}}$$

حيث يشير " " و " " إلى حاصل الضرب النقطي وحاصل الضرب الاتجاهي على التوالي . ${\displaystyle {}\cdot {}}$${\displaystyle \times }$

اقتران الرباعيات يشبه اقتران الأعداد المركبة ونقل (المعروف أيضًا باسم العكس) لعناصر جبر كليفورد. لتعريفه، ليكن رباعية. مرافق q هو الرباعية . يُشار إليه بـ q ^∗ أو q ^t أو أو q . ^[9] الاقتران هو التفاف ، مما يعني أنه معكوس نفسه ، لذا فإن اقتران عنصر مرتين يعيد العنصر الأصلي. مرافق حاصل ضرب رباعيتين هو حاصل ضرب المرافقين بالترتيب العكسي . أي أنه إذا كانت p و q رباعيات، فإن ( pq ) ^∗ = q ^∗ p ^∗ وليس p ^∗ q ^∗ . ${\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$${\displaystyle q^{*}=a-b\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k} }$${\displaystyle {\tilde {q}}}$

يمكن التعبير عن اقتران الرباعية، على النقيض تمامًا من الإعداد المعقد، عن طريق ضرب وإضافة الرباعيات:

$${\displaystyle q^{*}=-{\tfrac {1}{2}}(q+\mathbf {i} \,q\,\mathbf {i} +\mathbf {j} \,q\,\mathbf {j} +\mathbf {k} \,q\,\mathbf {k} ).}$$

يمكن استخدام الاقتران لاستخراج الأجزاء القياسية والمتجهة من الرباعية. الجزء القياسي من p هو ⁠1/2( p + p ^∗ ) ، والجزء المتجهي من p هو1/2( ص − ص ^∗ ) . ​

الجذر التربيعي لمنتج رباعية مع مرافقها يسمى معيارها ويرمز له بـ ‖ q ‖ (أطلق هاميلتون على هذه الكمية اسم موتر q ، لكن هذا يتعارض مع المعنى الحديث لـ " الموتر "). في الصيغ، يتم التعبير عن ذلك على النحو التالي :

$${\displaystyle \lVert q\rVert ={\sqrt {qq^{*}}}={\sqrt {q^{*}q}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}$$

هذا دائمًا عدد حقيقي غير سلبي، وهو نفس المعيار الإقليدي على اعتباره فضاء متجه . يؤدي ضرب رباعية في عدد حقيقي إلى قياس معيارها بالقيمة المطلقة للعدد. أي إذا كانت α حقيقية، فإن ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

$${\displaystyle \lVert \alpha q\rVert =\left|\alpha \right|\,\lVert q\rVert .}$$

هذه حالة خاصة لحقيقة أن القاعدة مضاعفة ، مما يعني أن

$${\displaystyle \lVert pq\rVert =\lVert p\rVert \,\lVert q\rVert }$$

لأي رباعيتين p و q . المضاعفة هي نتيجة لصيغة مرافق حاصل الضرب. أو أنها تتبع من المتطابقة

$${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}a+ib&id+c\\id-c&a-ib\end{pmatrix}}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2},}$$

(حيث يشير i إلى الوحدة التخيلية المعتادة ) وبالتالي من الخاصية الضربية لمحددات المصفوفات المربعة.

تتيح هذه القاعدة تحديد المسافة d ( p , q ) بين p و q كمعيار للاختلاف بينهما:

$${\displaystyle d(p,q)=\lVert p-q\rVert .}$$

يؤدي هذا إلى إنشاء مساحة مترية . الجمع والضرب مستمران فيما يتعلق بالطوبولوجيا المترية المرتبطة . يتبع هذا نفس الإثبات تمامًا كما هو الحال بالنسبة للأعداد الحقيقية من حقيقة أن الجبر معياري. ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$

الرباعية الوحدوية هي رباعية ذات معيار واحد. يؤدي قسمة الرباعية غير الصفرية q على معيارها إلى إنتاج رباعية وحدوية U q تسمى النسخة المقلوبة من q :

$${\displaystyle \mathbf {U} q={\frac {q}{\lVert q\rVert }}.}$$

كل رباعية غير صفرية لها تحلل قطبي فريد بينما يمكن تكوين الرباعية الصفرية من أي رباعية وحدة. ${\displaystyle q=\lVert q\rVert \cdot \mathbf {U} q,}$

إن استخدام الاقتران والمعيار يجعل من الممكن تعريف مقلوب رباعية غير صفرية. يجب أن يساوي حاصل ضرب رباعية مع مقلوبها 1، وتشير الاعتبارات أعلاه إلى أن حاصل ضرب و يساوي 1 (لأي ترتيب من ترتيبات الضرب). لذا فإن مقلوب q يُعرَّف على أنه ${\displaystyle q}$${\displaystyle q^{*}/\left\Vert q\right\|^{2}}$

$${\displaystyle q^{-1}={\frac {q^{*}}{\lVert q\rVert ^{2}}}.}$$

نظرًا لأن الضرب غير تبادلي، فإن كميات القسمة p q ⁻¹ أو q ⁻¹ p   مختلفة (إلا إذا كانت p و q مضاعفات قياسية لبعضهما البعض أو إذا كان أحدهما قياسيًا): الترميز ⁠ص/سغامضة ولا ينبغي استخدامها.

مجموعة كل الرباعيات هي فضاء متجه على الأعداد الحقيقية ذات البعد  4. ^[ج] ضرب الرباعيات هو جمعي ويوزع على جمع المتجهات، ولكن باستثناء المجموعة الفرعية القياسية، فإنه ليس تبادليًا. لذلك، فإن الرباعيات هي جبر غير تبادلي وتجميعي على الأعداد الحقيقية. على الرغم من أنها تحتوي على نسخ من الأعداد المركبة، إلا أنها ليست جبرًا تجميعيًا على الأعداد المركبة. ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$

نظرًا لأنه من الممكن تقسيم الرباعيات، فإنها تشكل جبر القسمة. هذا هيكل مشابه للحقل باستثناء عدم تبديل الضرب. جبر القسمة الترابطي ذي الأبعاد المحدودة على الأعداد الحقيقية نادر جدًا. تنص نظرية فروبينيوس على وجود ثلاثة بالضبط: و و و . تجعل القاعدة الرباعيات في جبر معياري ، كما أن جبر القسمة المعياري على الأعداد الحقيقية نادر جدًا: تنص نظرية هورويتز على وجود أربعة فقط: و و و و (الثمانيات). تُعد الرباعيات أيضًا مثالًا على جبر التركيب وجبر باناخ الأحادي . ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {O} }$

نظرًا لأن حاصل ضرب أي متجهين أساسيين هو موجب أو سالب متجه أساس آخر، فإن المجموعة {±1، ± i ، ± j ، ± k } تشكل مجموعة تحت الضرب. تسمى هذه المجموعة غير الإبيلية مجموعة الرباعيات ويرمز لها بـ Q _8. ^[26] حلقة المجموعة الحقيقية لـ Q ₈ هي حلقة هي أيضًا فضاء متجه ثماني الأبعاد على. لديها متجه أساس واحد لكل عنصر من الرباعيات متماثلة لحلقة الحاصل من خلال المثالية الناتجة عن العناصر 1 + (−1) و i + (− i ) و j + (− j ) و k + (− k ) . هنا، الحد الأول في كل من الاختلافات هو أحد العناصر الأساسية 1، i ، j ، و k ، والحد الثاني هو أحد العناصر الأساسية −1، − i ، − j ، و− k ، وليس المعكوسات الجمعيّة لـ 1، i ، j ، و k . ${\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle \mathrm {Q} _{8}.}$${\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]}$

يمكن تفسير جزء المتجه من الرباعية على أنه متجه إحداثي في ، وبالتالي، تعكس العمليات الجبرية للرباعيات هندسة العمليات مثل متجه النقطة والضرب المتجهي ويمكن تعريفها من حيث الرباعيات، وهذا يجعل من الممكن تطبيق تقنيات الرباعيات أينما تنشأ المتجهات المكانية. كان أحد التطبيقات المفيدة للرباعيات هو استيفاء اتجاهات الإطارات الرئيسية في الرسومات الحاسوبية. ^[16]${\displaystyle \mathbb {R} ^{3};}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

بالنسبة لبقية هذا القسم، فإن i و j و k ستشير إلى كل من متجهات الأساس التخيلية الثلاثة ^[27] وأساس لـ. يؤدي استبدال i بـ − i و j بـ − j و k بـ − k إلى إرسال متجه إلى معكوسه الجمعي ، وبالتالي فإن المعكوس الجمعي للمتجه هو نفس مرافقه في شكل رباعية. لهذا السبب، يُطلق على الاقتران أحيانًا المعكوس المكاني . ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

بالنسبة لرباعي متجهين p = b ₁ i + c ₁ j + d ₁ k و q = b ₂ i + c ₂ j + d ₂ k فإن حاصل ضربهما النقطي ، بالقياس إلى المتجهات في ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$

$${\displaystyle p\cdot q=b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}+d_{1}d_{2}.}$$

يمكن أيضًا التعبير عنها بطريقة خالية من المكونات مثل

$${\displaystyle p\cdot q=\textstyle {\frac {1}{2}}(p^{*}q+q^{*}p)=\textstyle {\frac {1}{2}}(pq^{*}+qp^{*}).}$$

وهذا يساوي الأجزاء القياسية لمنتجات pq ^∗ و qp ^∗ و p ^∗ q و q ^∗ p . لاحظ أن أجزاء المتجهات الخاصة بها مختلفة.

حاصل الضرب الاتجاهي لـ p و q بالنسبة إلى الاتجاه الذي تحدده القواعد المرتبة i و j و k هو

$${\displaystyle p\times q=(c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})\mathbf {i} +(d_{1}b_{2}-b_{1}d_{2})\mathbf {j} +(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})\mathbf {k} .}$$

(تذكر أن الاتجاه ضروري لتحديد الإشارة.) وهذا يساوي الجزء المتجه من حاصل الضرب pq (كرباعيات)، وكذلك الجزء المتجه من − q ^∗ p ^∗ . وله أيضًا الصيغة

$${\displaystyle p\times q=\textstyle {\tfrac {1}{2}}(pq-qp).}$$

بالنسبة للمبدل ، [ p ، q ] = pq − qp ، من رباعيتين متجهتين، نحصل على

$${\displaystyle [p,q]=2p\times q.}$$

بشكل عام، دع p و q تكونان رباعيات واكتب

$${\displaystyle {\begin{aligned}p&=p_{\text{s}}+p_{\text{v}},\\[5mu]q&=q_{\text{s}}+q_{\text{v}},\end{aligned}}}$$

حيث p _s و q _s هما الأجزاء القياسية، و p _v و q _v هما الأجزاء المتجهة لـ p و q . إذن لدينا الصيغة

$${\displaystyle pq=(pq)_{\text{s}}+(pq)_{\text{v}}=(p_{\text{s}}q_{\text{s}}-p_{\text{v}}\cdot q_{\text{v}})+(p_{\text{s}}q_{\text{v}}+q_{\text{s}}p_{\text{v}}+p_{\text{v}}\times q_{\text{v}}).}$$

يوضح هذا أن عدم التبديلية لضرب الرباعيات يأتي من ضرب الرباعيات المتجهة. كما يوضح أيضًا أن الرباعيتين تتبادلان إذا وفقط إذا كانت أجزاؤهما المتجهة متوازية. أظهر هاملتون ^[28] أن هذا المنتج يحسب الرأس الثالث لمثلث كروي من رأسين معطيين وأطوال قوسهما المرتبطة، وهو أيضًا جبر النقاط في الهندسة الإهليلجية .

يمكن التعرف على رباعيات الوحدة من خلال الدورانات في وقد أطلق عليها هاملتون اسم versors . ^[28] انظر أيضًا رباعيات الوحدة والدوران المكاني لمزيد من المعلومات حول نمذجة الدورانات ثلاثية الأبعاد باستخدام رباعيات الوحدة. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

انظر هانسون (2005) ^[29] لتوضيح الرباعيات.

كما يمكن تمثيل الأعداد المركبة كمصفوفات ، يمكن أيضًا تمثيل الرباعيات. هناك طريقتان على الأقل لتمثيل الرباعيات كمصفوفات بطريقة تتوافق فيها عملية جمع الرباعيات وضربها مع عملية جمع المصفوفات وضرب المصفوفات . الطريقة الأولى هي استخدام مصفوفات مركبة 2 × 2، والطريقة الأخرى هي استخدام مصفوفات حقيقية 4 × 4. في كل حالة، يكون التمثيل المعطى واحدًا من عائلة من التمثيلات ذات الصلة الخطية. هذه هي التماثلات الحقنية من إلى حلقات المصفوفة M(2, C ) و M(4, R ) على التوالي. ${\displaystyle \mathbb {H} }$

يمكن تمثيل الرباعية a + b i + c j + d k باستخدام مصفوفة مركبة 2 × 2 على النحو التالي:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\phantom {-}}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{bmatrix}}.}$$

يتمتع هذا التمثيل بالخصائص التالية:

• يؤدي تقييد أي اثنين من b و c و d إلى الصفر إلى إنتاج تمثيل للأعداد المركبة. على سبيل المثال، يؤدي ضبط c = d = 0 إلى إنتاج تمثيل مصفوفة قطرية مركبة للأعداد المركبة، ويؤدي ضبط b = d = 0 إلى إنتاج تمثيل مصفوفة حقيقية.
• معيار الرباعية (الجذر التربيعي للناتج مع مرافقه، كما هو الحال مع الأعداد المركبة) هو الجذر التربيعي لمحدد المصفوفة المقابلة. ^[30]
• الجزء القياسي من الرباعية هو نصف أثر المصفوفة .
• يتوافق مرافق الرباعية مع النقل المرافق للمصفوفة.
• من خلال التقييد، ينتج عن هذا التمثيل تماثل بين المجموعة الفرعية من رباعيات الوحدة وصورتها SU(2) . من الناحية الطوبولوجية، رباعيات الوحدة هي كرة ثلاثية الأبعاد، وبالتالي فإن الفضاء الأساسي لـ SU(2) هو أيضًا كرة ثلاثية الأبعاد. المجموعة SU(2) مهمة لوصف الدوران في ميكانيكا الكم؛ انظر مصفوفات باولي .
• توجد علاقة قوية بين وحدات الرباعية ومصفوفات باولي. يمكن كتابة المصفوفة المركبة 2 × 2 أعلاه على النحو التالي ، لذا في هذا التمثيل، تتوافق وحدات الرباعية {±1، ± i ، ± j ، ± k } مع {± I ، , , } = {± I ، , , } ، لذا فإن ضرب أي مصفوفتين من مصفوفات باولي ينتج عنه دائمًا مصفوفة وحدات رباعية، جميعها باستثناء −1. نحصل على −1 عبر i ² = j ² = k ² = ijk = −1 ؛ على سبيل المثال، المساواة الأخيرة هي${\displaystyle aI+bi\sigma _{3}+ci\sigma _{2}+di\sigma _{1}}$${\displaystyle \pm i\sigma _{3}}$${\displaystyle \pm i\sigma _{2}}$${\displaystyle \pm i\sigma _{1}}$${\displaystyle \pm \sigma _{1}\sigma _{2}}$${\displaystyle \pm \sigma _{3}\sigma _{1}}$${\displaystyle \pm \sigma _{2}\sigma _{3}}$$${\displaystyle \mathbf {i\;j\;k} =\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=-1.}$$
• إن التمثيل في M(2, C ) ليس فريدًا. هناك اتفاقية مختلفة، تحافظ على اتجاه الترتيب الدوري بين الرباعيات ومصفوفات باولي، وهي اختيار$${\displaystyle 1\mapsto \mathbf {I} ,\quad \mathbf {i} \mapsto -i\sigma _{1}=-\sigma _{2}\sigma _{3},\quad \mathbf {j} \mapsto -i\sigma _{2}=-\sigma _{3}\sigma _{1},\quad \mathbf {k} \mapsto -i\sigma _{3}=-\sigma _{1}\sigma _{2},}$$
  وهذا يعطي تمثيلًا بديلًا، ^[31] $${\displaystyle a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} \mapsto {\begin{bmatrix}a-di&-c-bi\\c-bi&{\phantom {-}}a+di\end{bmatrix}}.}$$

باستخدام مصفوفات حقيقية 4 × 4، يمكن كتابة نفس الرباعية على النحو التالي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{array}{rrrr}a&-b&-c&-d\\b&a&-d&c\\c&d&a&-b\\d&-c&b&a\end{array}}\right]&=a\left[{\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]+b\left[{\begin{array}{rrrr}0&-1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}}\right]\\[10mu]&\qquad +c\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&-1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{array}}\right]+d\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&0&-1\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{array}}\right].\end{aligned}}}$$

ومع ذلك، فإن تمثيل الرباعيات في M(4, R ) ليس فريدًا. على سبيل المثال، يمكن أيضًا تمثيل الرباعية نفسها على أنها

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{array}{rrrr}a&d&-b&-c\\-d&a&c&-b\\b&-c&a&-d\\c&b&d&a\end{array}}\right]&=a\left[{\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]+b\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{array}}\right]\\[10mu]&\qquad +c\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&0&-1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\1&0&0&0\end{array}}\right]+d\left[{\begin{array}{rrrr}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}}\right].\end{aligned}}}$$

يوجد 48 تمثيلًا مميزًا للمصفوفة من هذا النموذج حيث تمثل إحدى المصفوفات الجزء القياسي والمصفوفات الثلاث الأخرى كلها متماثلة مائلة. بتعبير أدق، يوجد 48 مجموعة من رباعيات المصفوفات مع قيود التناظر هذه بحيث تكون الدالة التي ترسل 1 و i و j و k إلى المصفوفات في الرباعي تماثلًا، أي أنها ترسل مجموع وحاصل رباعيات إلى مجموع وحاصل مصفوفات. ^[32] في هذا التمثيل، يتوافق مرافق الرباعية مع منقول المصفوفة. القوة الرابعة لمعيار الرباعية هي محدد المصفوفة المقابلة. الجزء القياسي من الرباعية هو ربع أثر المصفوفة. كما هو الحال مع التمثيل المركب 2 × 2 أعلاه، يمكن إنتاج الأعداد المركبة مرة أخرى عن طريق تقييد المعاملات بشكل مناسب؛ على سبيل المثال، كمصفوفات قطرية كتلة مع كتلتين 2 × 2 عن طريق ضبط c = d = 0 .

كل تمثيل لمصفوفة 4×4 من الرباعيات يتوافق مع جدول ضرب الرباعيات الوحدوية. على سبيل المثال، يتوافق تمثيل المصفوفة الأخير الموضح أعلاه مع جدول الضرب

×	أ	د	- ب	- ج
أ	أ	د	-ب	-ج
-د	-د	أ	ج	-ب
ب	ب	- ج	أ	- د
ج	ج	ب	د	أ

وهو متماثل - من خلال - إلى ${\displaystyle \{a\mapsto 1,\,b\mapsto i,\,c\mapsto j,\,d\mapsto k\}}$

×	1	ك	- أنا	- ج
1	1	ك	- أنا	- ج
- ك	- ك	1	ج	- أنا
أنا	أنا	- ج	1	- ك
ج	ج	أنا	ك	1

بتقييد أي جدول ضرب من هذا القبيل ليكون له الهوية في الصف الأول والعمود الأول وأن تكون علامات رؤوس الصفوف معاكسة لتلك الموجودة في رؤوس الأعمدة، فهناك 3 خيارات ممكنة للعمود الثاني (علامة التجاهل)، وخياران ممكنان للعمود الثالث (علامة التجاهل)، وخيار واحد ممكن للعمود الرابع (علامة التجاهل)؛ وهذا يجعل 6 احتمالات. بعد ذلك، يمكن اختيار العمود الثاني ليكون موجبًا أو سالبًا، ويمكن اختيار العمود الثالث ليكون موجبًا أو سالبًا، ويمكن اختيار العمود الرابع ليكون موجبًا أو سالبًا، مما يعطي 8 احتمالات للعلامة. ضرب الاحتمالات لمواضع الحروف وإشاراتها يعطي 48. ثم استبدال 1 بـ a ، و i بـ b ، و j بـ c ، و k بـ d وإزالة رؤوس الصفوف والأعمدة يعطي تمثيل مصفوفة لـ a + b i + c j + d k .

تُستخدم الرباعيات أيضًا في أحد إثباتات نظرية المربعات الأربعة لاغرانج في نظرية الأعداد ، والتي تنص على أن كل عدد صحيح غير سالب هو مجموع أربعة مربعات صحيحة. بالإضافة إلى كونها نظرية أنيقة في حد ذاتها، فإن نظرية المربعات الأربعة لاغرانج لها تطبيقات مفيدة في مجالات الرياضيات خارج نظرية الأعداد، مثل نظرية التصميم التوافقي . يستخدم الإثبات القائم على الرباعيات رباعيات هورويتز ، وهي حلقة فرعية من حلقة جميع الرباعيات التي يوجد لها نظير لخوارزمية إقليدس .

يمكن تمثيل الرباعيات كأزواج من الأعداد المركبة. ومن هذا المنظور، فإن الرباعيات هي نتيجة تطبيق بناء كايلي ديكسون على الأعداد المركبة. وهذا تعميم لبناء الأعداد المركبة كأزواج من الأعداد الحقيقية.

ليكن فضاء متجه ثنائي الأبعاد على الأعداد المركبة. اختر أساسًا يتكون من عنصرين 1 و j . يمكن كتابة متجه في من حيث عناصر الأساس 1 و j على النحو التالي ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

$${\displaystyle (a+bi)1+(c+di)\mathbf {j} .}$$

إذا عرفنا j ² = −1 و i j = − j i ، فيمكننا ضرب متجهين باستخدام قانون التوزيع. يؤدي استخدام k كتعبير مختصر للناتج i j إلى نفس قواعد الضرب مثل الرباعيات المعتادة. لذلك، فإن متجه الأعداد المركبة أعلاه يتوافق مع الرباعية a + bi + c j + d k . إذا كتبنا عناصر كأزواج مرتبة والرباعيات كأضعاف، فإن المطابقة تكون ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

$${\displaystyle (a+bi,\,c+di)\leftrightarrow (a,\,b,\,c,\,d).}$$

في الأعداد المركبة، يوجد عددان بالضبط، i و− i ، يعطيان −1 عند تربيعهما. في يوجد عدد لا نهائي من الجذور التربيعية لـ -1: حل الرباعية للجذر التربيعي لـ -1 هو الكرة الوحدوية في لرؤية هذا، دع q = a + b i + c j + d k تكون رباعية، وافترض أن مربعها هو −1. من حيث a و b و c و d ، هذا يعني ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}&=-1,{\vphantom {x^{|}}}\\[3mu]2ab&=0,\\[3mu]2ac&=0,\\[3mu]2ad&=0.\end{aligned}}}$$

لإرضاء المعادلات الثلاث الأخيرة، إما أن تكون a = 0 أو b و c و d كلها تساوي 0. الأخير مستحيل لأن a هو عدد حقيقي والمعادلة الأولى تعني أن a ² = −1 . لذلك، a = 0 و b ² + c ² + d ² = 1. بعبارة أخرى: تربيع رباعية A إلى −1 إذا وفقط إذا كانت رباعية متجهة ذات معيار 1. بحكم التعريف، تشكل مجموعة كل هذه المتجهات كرة الوحدة.

تحتوي الرباعيات الحقيقية السالبة فقط على عدد لا نهائي من الجذور التربيعية. أما الرباعيات الأخرى فلديها جذران تربيعيان فقط (أو واحد في حالة 0). ^{[ بحاجة لمصدر ] [د]}

كل زوج متضاد من الجذور التربيعية لـ −1 ينشئ نسخة مميزة من الأعداد المركبة داخل الرباعيات. إذا كانت q ² = −1 ، فإن النسخة هي صورة الدالة

$${\displaystyle a+bi\mapsto a+bq.}$$

هذا هو تماثل حلقي حقني من إلى والذي يحدد تماثل المجال من إلى صورته . صور التضمينات المقابلة لـ q و− q متطابقة. ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {H} ,}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

كل رباعية غير حقيقية تولد جبرًا فرعيًا من الرباعيات التي تكون متماثلة وبالتالي تكون فضاءً فرعيًا مستويًا لـ اكتب q كمجموع جزئها القياسي وجزئها المتجهي: ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {H} \colon }$

$${\displaystyle q=q_{s}+{\vec {q}}_{v}.}$$

قم بتحليل جزء المتجه بشكل أكبر على أنه حاصل ضرب معياره وناقله :

$${\displaystyle q=q_{s}+\lVert {\vec {q}}_{v}\rVert \cdot \mathbf {U} {\vec {q}}_{v}=q_{s}+\|{\vec {q}}_{v}\|\,{\frac {{\vec {q}}_{v}}{\|{\vec {q}}_{v}\|}}.}$$

(هذا ليس مثل .) إن النسخة المتجهية لجزء q ، ، هي نسخة أيمن مع -1 كمربع لها. يُظهر التحقق المباشر أن يحدد تماثلًا حقنيًا للجبر المعياري من إلى الرباعيات. بموجب هذا التماثل، q هي صورة العدد المركب . ${\displaystyle q_{s}+\lVert q\rVert \cdot \mathbf {U} q}$${\displaystyle \mathbf {U} {\vec {q}}_{v}}$$${\displaystyle a+bi\mapsto a+b\mathbf {U} {\vec {q}}_{v}}$$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle q_{s}+\lVert {\vec {q}}_{v}\rVert i}$

وكما هو الحال مع اتحاد صور كل هذه التماثلات، يمكننا أن ننظر إلى الرباعيات كقلم رصاص من المستويات المتقاطعة على الخط الحقيقي . يحتوي كل من هذه المستويات المعقدة على زوج واحد فقط من النقاط المتقابلة لكرة الجذور التربيعية للسالب واحد. ${\displaystyle \mathbb {H} }$

يمكن أيضًا تحديد العلاقة بين الرباعيات مع بعضها البعض داخل المستويات الفرعية المعقدة لـ والتعبير عنها من حيث الحلقات الفرعية التبادلية . على وجه التحديد، نظرًا لأن الرباعيتين p و q تتبادلان (أي pq = qp ) فقط إذا كانتا تقعان في نفس المستوى الفرعي المعقد لـ ، فإن ملف تعريف باعتباره اتحادًا للمستويات المعقدة ينشأ عندما يسعى المرء إلى إيجاد جميع الحلقات الفرعية التبادلية لحلقة الرباعية . ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$

أي رباعية (ممثلة هنا في تمثيل قياسي-متجه) لها على الأقل جذر مربع واحد يحل المعادلة . بالنظر إلى الأجزاء القياسية والمتجهة في هذه المعادلة بشكل منفصل، ينتج معادلتان، وعند حلهما يعطيان الحلول ${\displaystyle \mathbf {q} =(r,\,{\vec {v}})}$${\displaystyle {\sqrt {\mathbf {q} }}=(x,\,{\vec {y}})}$${\displaystyle {\sqrt {\mathbf {q} }}^{\,2}=(x,\,{\vec {y}})^{2}=\mathbf {q} }$

$${\displaystyle {\sqrt {\mathbf {q} }}={\sqrt {(r,\,{\vec {v}})}}=\pm \left({\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\|\mathbf {q} \|+r}{\bigr )}}},\ {\frac {\vec {v}}{\|{\vec {v}}\|}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\|\mathbf {q} \|-r}{\bigr )}}}\right),}$$

حيث هو معيار و هو معيار . بالنسبة لأي رباعية قياسية ، توفر هذه المعادلة الجذور التربيعية الصحيحة إذا تم تفسيرها كمتجه وحدة تعسفي. ${\textstyle \|{\vec {v}}\|={\sqrt {{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}={\sqrt {-{\vec {v}}{\vphantom {v}}^{2}}}}$${\displaystyle {\vec {v}}}$${\textstyle \|\mathbf {q} \|={\sqrt {\mathbf {q} ^{*}\mathbf {q} }}=r^{2}+\|{\vec {v}}\|^{2}}$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\textstyle {\vec {v}}/\|{\vec {v}}\|}$

لذلك، فإن الرباعيات غير الصفرية وغير القياسية، أو الرباعيات القياسية الموجبة، لها جذرين بالضبط، في حين أن 0 له جذر واحد بالضبط (0)، والرباعيات القياسية السالبة لها عدد لا نهائي من الجذور، وهي الرباعيات المتجهة الموجودة على ، أي حيث يكون الجزء القياسي صفرًا ويقع جزء المتجه على الكرة 2 ذات نصف القطر . ${\displaystyle \{0\}\times S^{2}{\bigl (}{\sqrt {-r}}{\bigr )}}$${\displaystyle {\sqrt {-r}}}$

مثل وظائف المتغير المركب ، فإن وظائف متغير رباعي الأضلاع تقترح نماذج فيزيائية مفيدة. على سبيل المثال، كانت المجالات الكهربائية والمغناطيسية الأصلية التي وصفها ماكسويل عبارة عن وظائف لمتغير رباعي الأضلاع. تشمل أمثلة الوظائف الأخرى امتداد مجموعة ماندلبروت ومجموعات جوليا إلى فضاء رباعي الأبعاد. ^[36]

معطاة رباعية،

$${\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} =a+\mathbf {v} ,}$$

يتم حساب الأسي على النحو التالي ^[37]

$${\displaystyle \exp(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{n!}}=e^{a}\left(\cos \|\mathbf {v} \|+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\sin \|\mathbf {v} \|\right),}$$

واللوغاريتم هو ^[37]

$${\displaystyle \ln(q)=\ln \|q\|+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\arccos {\frac {a}{\|q\|}}.}$$

ويترتب على ذلك أن التحلل القطبي للرباعي يمكن كتابته

$${\displaystyle q=\|q\|e^{{\hat {n}}\varphi }=\|q\|\left(\cos(\varphi )+{\hat {n}}\sin(\varphi )\right),}$$

حيث الزاوية ^[e]${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle a=\|q\|\cos(\varphi )}$$

ويتم تعريف متجه الوحدة بواسطة: ${\displaystyle {\hat {n}}}$

$${\displaystyle \mathbf {v} ={\hat {n}}\|\mathbf {v} \|={\hat {n}}\|q\|\sin(\varphi ).}$$

يمكن التعبير عن أي رباعية وحدة في شكل قطبي على النحو التالي:

$${\displaystyle q=\exp {({\hat {n}}\varphi )}.}$$

قوة الرباعية المرفوعة إلى أس تعسفي (حقيقي) x تعطى بالعلاقة:

$${\displaystyle q^{x}=\|q\|^{x}e^{{\hat {n}}x\varphi }=\|q\|^{x}\left(\cos(x\varphi )+{\hat {n}}\,\sin(x\varphi )\right).}$$

يتم تعريف المسافة الجيوديسية d _g ( p , q ) بين رباعيات الوحدة p و q على النحو التالي: ^[39]

$${\displaystyle d_{\text{g}}(p,q)=\lVert \ln(p^{-1}q)\rVert .}$$

وتساوي القيمة المطلقة لنصف الزاوية التي يحيط بها p و q على طول قوس كبير للكرة S ^3. ويمكن أيضًا حساب هذه الزاوية من حاصل ضرب النقاط الرباعية بدون اللوغاريتم على النحو التالي:

$${\displaystyle d_{\text{g}}(p,q)=\arccos(2(p\cdot q)^{2}-1).}$$

إن كلمة " اقتران "، بالإضافة إلى المعنى المذكور أعلاه، يمكن أن تعني أيضًا أخذ عنصر a إلى r a r ⁻¹ حيث r هو رباعية غير صفرية. جميع العناصر المترافقة مع عنصر معين (بهذا المعنى من كلمة مترافق) لها نفس الجزء الحقيقي ونفس معيار جزء المتجه. (وبالتالي فإن المترافق بالمعنى الآخر هو أحد المترافقات بهذا المعنى.) ^[40]

وبالتالي فإن المجموعة المضاعفة من الرباعيات غير الصفرية تعمل عن طريق الاقتران على نسخة مكونة من رباعيات ذات جزء حقيقي يساوي صفرًا. الاقتران بواسطة رباعية وحدوية (رباعية ذات قيمة مطلقة 1) مع جزء حقيقي cos( φ ) هو دوران بزاوية 2φ ، حيث يكون محور الدوران هو اتجاه الجزء المتجه. مزايا الرباعيات هي: ^[41]${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

• تجنب قفل gimbal ، وهي مشكلة مع أنظمة مثل زوايا أويلر.
• أسرع وأكثر إحكاما من المصفوفات.
• التمثيل غير المفرد (مقارنة بزوايا أويلر على سبيل المثال).
• تمثل أزواج رباعيات الوحدة دورانًا في الفضاء رباعي الأبعاد (انظر الدوران في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد: جبر الدوران رباعي الأبعاد ).

تشكل مجموعة كل رباعيات الوحدات ( الرؤوس ) كرة ثلاثية S ³ ومجموعة ( مجموعة لاي ) تحت الضرب، وتغطي مجموعة المصفوفات الحقيقية المتعامدة 3×3  ذات المحدد  1 بشكل مزدوج، حيث تتوافق رباعيتان وحدويتان مع كل دورة تحت المطابقة أعلاه. انظر خدعة اللوحة . ${\displaystyle {\text{SO}}(3,\mathbb {R} )}$

صورة مجموعة فرعية من الأشكال المستعرضة هي مجموعة نقطية ، وعلى العكس من ذلك، فإن الصورة الأولية لمجموعة نقطية هي مجموعة فرعية من الأشكال المستعرضة. تُسمى الصورة الأولية لمجموعة نقطية محدودة بنفس الاسم، مع البادئة الثنائية . على سبيل المثال، الصورة الأولية للمجموعة العشرينية الوجوه هي المجموعة العشرينية الوجوه الثنائية .

مجموعة Versors متشابهة مع SU(2) ، وهي مجموعة المصفوفات الوحدوية المعقدة 2×2 ذات المحدد 1.

ليكن A مجموعة رباعيات من الصورة a + b i + c j + d k حيث تكون a و b و c و d إما أعدادًا صحيحة أو نصف أعداد صحيحة . المجموعة A عبارة عن حلقة (في الواقع مجال ) وشبكة وتسمى حلقة رباعيات هورويتز. يوجد 24 رباعية وحدوية في هذه الحلقة، وهي رؤوس خلية منتظمة مكونة من 24 برمز شليفلي {3,4,3}. وهي تتوافق مع الغطاء المزدوج لمجموعة التماثل الدوراني للرباعي السطوح المنتظم. وبالمثل ، يمكن اعتبار رؤوس خلية منتظمة مكونة من 600 برمز شليفلي {3,3,5 } إيكوسيات وحدوية ، تتوافق مع الغطاء المزدوج لمجموعة التماثل الدوراني للعشروني السطوح المنتظم . يتوافق الغطاء المزدوج لمجموعة التناظر الدوراني لثماني السطوح المنتظم مع الرباعيات التي تمثل رؤوس الشكل الوتدي ثنائي السطوح المكون من 288 خلية . ^[42]

يمكن تعميم الرباعيات إلى جبريات أخرى تسمى جبر الرباعيات . لنفترض أن F هو أي حقل له خصائص مختلفة عن 2، وأن a و b هما عنصران من F ؛ يمكن تعريف جبر ترابطي موحد رباعي الأبعاد على F مع الأساس 1، i و j و ij ، حيث i ² = a و j ² = b و ij = − ji (لذا (ij) ² = − ab ).

جبر الرباعيات متماثل مع جبر مصفوفات 2×2 على F أو يشكل جبر القسمة على F ، اعتمادًا على اختيار a و b .

يمكن تعميم فائدة الرباعيات في الحسابات الهندسية على أبعاد أخرى من خلال تحديد الرباعيات باعتبارها الجزء الزوجي من جبر كليفورد. هذا جبر متعدد المتجهات ارتباطي مبني على عناصر أساسية أساسية σ ₁ و σ ₂ و σ ₃ باستخدام قواعد الضرب ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{3,0}(\mathbb {R} ).}$

$${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=1,}$$ $${\displaystyle \sigma _{m}\sigma _{n}=-\sigma _{n}\sigma _{m}\qquad (m\neq n).}$$

إذا تم اعتبار عناصر القاعدة الأساسية هذه لتمثيل المتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد، فسيتضح أنه يمكن كتابة انعكاس المتجه r في المستوى العمودي على متجه الوحدة w على النحو التالي:

$${\displaystyle r^{\prime }=-w\,r\,w.}$$

يحدث انعكاسان دورانًا بزاوية تساوي ضعف الزاوية بين مستويي الانعكاس، لذا

$${\displaystyle r^{\prime \prime }=\sigma _{2}\sigma _{1}\,r\,\sigma _{1}\sigma _{2}}$$

يتوافق مع دوران 180 درجة في المستوى الذي يحتوي على σ ₁ و σ _2. وهذا مشابه جدًا لصيغة الرباعية المقابلة،

$${\displaystyle r^{\prime \prime }=-\mathbf {k} \,r\,\mathbf {k} .}$$

في الواقع ، البنيتان و متماثلتان . أحد التعريفات الطبيعية هو ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {H} }$

$${\displaystyle 1\mapsto 1,\quad \mathbf {i} \mapsto -\sigma _{2}\sigma _{3},\quad \mathbf {j} \mapsto -\sigma _{3}\sigma _{1},\quad \mathbf {k} \mapsto -\sigma _{1}\sigma _{2},}$$

ومن السهل التأكيد على أن هذا يحافظ على علاقات هاملتون

$${\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {i\,j\,k} =-1.}$$

في هذه الصورة، لا تتوافق ما يسمى بـ "رباعيات المتجهات" (أي رباعيات التخيلات البحتة) مع المتجهات ولكن مع متجهات ثنائية - كميات ذات مقادير واتجاهات مرتبطة بمستويات ثنائية الأبعاد معينة  بدلاً من  اتجاهات أحادية البعد . تصبح العلاقة بالأعداد المركبة أكثر وضوحًا أيضًا: في ثنائي الأبعاد، مع اتجاهين للمتجهين σ ₁ و σ ₂ ، يوجد عنصر أساسي واحد فقط لمتجه ثنائي σ ₁ σ ₂ ، لذا تخيلي واحد فقط. ولكن في ثلاثي الأبعاد، مع ثلاثة اتجاهات للمتجه، يوجد ثلاثة عناصر أساسية لمتجه ثنائي σ ₂ σ ₃ و σ ₃ σ ₁ و σ ₁ σ ₂ ، لذا ثلاثة تخيلات.

يمتد هذا المنطق إلى أبعد من ذلك. في جبر كليفورد، توجد ستة عناصر أساسية لمتجهين ثنائيين، لأنه مع أربعة اتجاهات أساسية مختلفة للمتجه، يمكن تعريف ستة أزواج مختلفة وبالتالي ستة مستويات مستقلة خطيًا مختلفة. يمكن أن تكون الدورات في مثل هذه المساحات باستخدام هذه التعميمات للرباعيات، والتي تسمى الدوارات ، مفيدة جدًا للتطبيقات التي تتضمن إحداثيات متجانسة . ولكن فقط في الأبعاد الثلاثية يكون عدد متجهات الأساس الثنائية مساويًا لعدد متجهات الأساس، ويمكن تحديد كل متجه ثنائي على أنه متجه زائف . ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{4,0}(\mathbb {R} ),}$

هناك العديد من المزايا لوضع الرباعيات في هذا الإطار الأوسع: ^[43]

• تشكل الدوارات جزءًا طبيعيًا من الجبر الهندسي ويمكن فهمها بسهولة على أنها تشفير للانعكاس المزدوج.
• في الجبر الهندسي، يعيش الدوار والأشياء التي يعمل عليها في نفس المساحة. وهذا يلغي الحاجة إلى تغيير التمثيلات وتشفير هياكل البيانات والأساليب الجديدة، وهو ما هو مطلوب تقليديًا عند زيادة الجبر الخطي باستخدام الرباعيات.
• يمكن تطبيق الدوارات عالميًا على أي عنصر من عناصر الجبر، وليس فقط المتجهات والرباعيات الأخرى، ولكن أيضًا الخطوط والطائرات والدوائر والكرات والأشعة وما إلى ذلك.
• في النموذج المطابق للهندسة الإقليدية، تسمح الدوارات بتشفير الدوران والترجمة والقياس في عنصر واحد من الجبر، مع التأثير عالميًا على أي عنصر. وهذا يعني على وجه الخصوص أن الدوارات يمكن أن تمثل الدوران حول محور عشوائي، في حين تقتصر الرباعيات على محور عبر الأصل.
• تجعل التحويلات المشفرة بالدوار عملية الاستيفاء واضحة ومباشرة بشكل خاص.
• تنتقل الدوارات بشكل طبيعي إلى الفضاءات شبه الإقليدية ، على سبيل المثال، فضاء مينكوفسكي للنسبية الخاصة . في مثل هذه الفضاءات، يمكن استخدام الدوارات لتمثيل تعزيزات لورنتز بكفاءة ، وتفسير الصيغ التي تتضمن مصفوفات جاما . ^{[ بحاجة لمصدر ]}

لمزيد من التفاصيل حول الاستخدامات الهندسية لجبر كليفورد، انظر الجبر الهندسي .

الرباعيات هي "أساسًا" الجبر البسيط المركزي الوحيد (غير التافه) على الأعداد الحقيقية، بمعنى أن كل جبر بسيط مركزي على الأعداد الحقيقية يعادل براور إما الأعداد الحقيقية أو الرباعيات. صراحةً، تتكون مجموعة براور للأعداد الحقيقية من فئتين، ممثلة بالأعداد الحقيقية والرباعيات، حيث تكون مجموعة براور هي مجموعة جميع الجبر البسيط المركزي، حتى علاقة التكافؤ لواحد من الجبر البسيط المركزي كونه حلقة مصفوفة على أخرى. وفقًا لنظرية أرتين-ويدربيرن (على وجه التحديد، جزء ويدبيرن)، فإن الجبر البسيط المركزي المركزي هو جبر مصفوفة على جبر القسمة، وبالتالي فإن الرباعيات هي جبر القسمة غير التافه الوحيد على الأعداد الحقيقية.

إن CSAs – حلقات ذات أبعاد محدودة فوق حقل، وهي جبر بسيط (لا تحتوي على مثاليات ثنائية الجانب غير تافهة، تمامًا كما هو الحال مع الحقول) ومركزها هو الحقل تمامًا – هي نظير غير تبادلي لحقول الامتداد ، وهي أكثر تقييدًا من امتدادات الحلقات العامة. يمكن مقارنة حقيقة أن الرباعيات هي CSA غير التافهة الوحيدة فوق الأعداد الحقيقية (حتى التكافؤ) بحقيقة أن الأعداد المركبة هي الامتداد الوحيد غير التافه للحقل المحدود للأعداد الحقيقية.

أعتبر ذلك عدم أناقة أو نقصًا في الرباعيات، أو بالأحرى في الحالة التي تم الكشف عنها حتى الآن، كلما أصبح أو يبدو أنه أصبح من الضروري اللجوء إلى x، y، z، وما إلى ذلك.

—  ويليام روان هاميلتون ( حوالي  1848 ) ^[44]

يقال إن الزمن له بعد واحد فقط، والفضاء له ثلاثة أبعاد. ... إن الرباعية الرياضية تشترك في هذين العنصرين؛ وفي اللغة التقنية يمكن القول إنها "زمن زائد مكان"، أو "مكان زائد زمان": وبهذا المعنى فإنها تحتوي، أو على الأقل تنطوي على إشارة إلى، أربعة أبعاد. ... وكيف يمكن أن يكون الواحد من الزمان، والفضاء، والثلاثة، محصورين في سلسلة الرموز .

—  ويليام روان هاملتون ( حوالي  1853 ) ^[45]

جاءت الرباعيات من هاملتون بعد أن أنجز عمله الجيد حقًا؛ وعلى الرغم من عبقريتها الجميلة، فقد كانت شرًا خالصًا لأولئك الذين لامسوها بأي شكل من الأشكال، بما في ذلك كليرك ماكسويل .

—  دبليو تومسون، اللورد كلفن (1892) ^[46]

لقد كان هناك وقت، في الواقع، عندما كنت، على الرغم من إدراكي لملاءمة تحليل المتجهات في النظرية الكهرومغناطيسية (وفي الفيزياء الرياضية بشكل عام)، اعتقدت أنه أصعب في الفهم والعمل من التحليل الديكارتي. ولكن كان ذلك قبل أن أتخلص من رجل البحر العجوز الرباعي الذي ربط نفسه حول كتفي عندما قرأت الأطروحة الوحيدة المتاحة حول هذا الموضوع - رباعيات البروفيسور تيت . لكنني توصلت لاحقًا إلى أنه فيما يتعلق بتحليل المتجهات الذي أحتاجه، فإن الرباعية لم تكن مطلوبة فحسب، بل كانت شرًا إيجابيًا لا يستهان به؛ وأنه من خلال تجنبها أصبح إنشاء تحليل المتجهات بسيطًا للغاية وتم تبسيط عمله أيضًا، وأنه يمكن تنسيقه بشكل ملائم مع العمل الديكارتي العادي. لا يوجد شبح رباعية في أي من أوراقي (باستثناء واحدة، لغرض خاص). يمكن وصف تحليل المتجهات الذي أستخدمه إما بأنه اختصار مناسب ومنهجي للتحليل الديكارتي؛ أو، كمثل الرباعيات بدون الرباعيات، ... "الكواتيرنيون" كما أعتقد، تم تعريفه من قبل تلميذة أمريكية على أنه "طقوس دينية قديمة" . ومع ذلك، كان هذا خطأً فادحًا: فالقدماء - على عكس البروفيسور تايت - لم يعرفوا الرباعيات ولم يعبدوها.

–  أوليفر هيفيسايد (1893) ^[47]

ولم يُستبعد من هذه الفصول العشرة [الإضافية] المصفوفات أو الرباعيات أو المتجهات العادية. فبرغم القوة غير المتنازع عليها لحساب الموتر الحديث، فإن هذه اللغات الرياضية القديمة لا تزال، في رأيي، تقدم مزايا بارزة في المجال المحدود للنسبية الخاصة. وعلاوة على ذلك، فإن إتقان أكثر من لغة في العلم وكذلك في الحياة اليومية أمر ثمين أيضًا، لأنه يوسع آفاقنا، ويساعد على النقد فيما يتعلق بالمادة المعبر عنها بالكلمات أو الرموز الرياضية، ويحميها من الضعف [الأساس الضعيف].

–  لودفيك سيلبرشتاين (1924) ^[48]

... يبدو أن الرباعيات تبدو وكأنها تنضح بجو من الانحطاط الذي كان سائداً في القرن التاسع عشر، باعتبارها نوعاً غير ناجح إلى حد ما في صراع الأفكار الرياضية من أجل البقاء. صحيح أن علماء الرياضيات ما زالوا يحتفظون بمكانة دافئة في قلوبهم للخصائص الجبرية المذهلة للرباعيات، ولكن للأسف فإن مثل هذا الحماس لا يعني الكثير بالنسبة لعلماء الفيزياء الأكثر صرامة.

-  سيمون إل. ألتمان (1986) ^[49]

• التحويل بين الرباعيات وزوايا أويلر  – استراتيجية رياضية
• رباعية الأبعاد المزدوجة  – جبر ثماني الأبعاد على الأعداد الحقيقية
• عدد مركب مزدوج  – جبر رباعي الأبعاد على الأعداد الحقيقيةPages displaying short descriptions of redirect targets
• الجبر الخارجي  – جبر الضرب الخارجي/الإسفيني
• ترتيب رباعية هورويتز  – مفهوم في الرياضيات
• رباعية زائدية  - طفرة في الرباعيات حيث تكون متجهات الوحدة مربعة إلى +1
• كرة لينارت  – كرة شفافة قابلة للمسح الجاف تستخدم لتدريس الهندسة الكروية
• مصفوفات باولي  – مصفوفات مهمة في ميكانيكا الكم ودراسة الدوران
• متعدد الشعب الرباعي  – مفهوم في الهندسة
• المصفوفة الرباعية  – مفهوم في الجبر الخطي
• متعدد السطوح الرباعي  – مفهوم في الهندسة
• الفضاء الإسقاطي الرباعي  – مفهوم في الرياضيات
• الدوران في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد  – المجموعة المتعامدة الخاصة
• Slerp  – الاستيفاء الخطي الكروي في الرسومات الحاسوبية
• رباعية مقسمة  – جبر ارتباطي رباعي الأبعاد على الأعداد الحقيقية
• Tesseract  – نظير رباعي الأبعاد للمكعب

• الوسائط المتعلقة بـ الرباعيات في ويكيميديا ​​كومنز
• بولسون، لورانس سي. الرباعيات (تطوير البراهين الرسمية في إيزابيل/HOL، أرشيف البراهين الرسمية)
• رباعيات – التصور