علم المثلثات

علم المثلثات
مخطط تفصيلي تاريخ الاستخدام الدوال  ( sin , cos , tan , inverse ) علم المثلثات المعمم
مرجع
الهويات الثوابت الدقيقة الجداول دائرة الوحدة
القوانين والنظريات
الجيوب الأنفية جيب التمام الظلال ظل التمام نظرية فيثاغورس
حساب التفاضل والتكامل
التعويض المثلثي التكاملات  ( الدوال العكسية ) المشتقات سلسلة مثلثية
علماء الرياضيات
هيبارخوس بطليموس براهماجوبتا الحسيب البتاني ريجيومونتانوس فييت دي موافر أويلر فورييه
ف ت هـ

علم المثلثات (من اليونانية القديمة τρίγωνον ( trígōnon )  'مثلث' و μέτρον ( métron )  'قياس') ^[1] هو فرع من الرياضيات يهتم بالعلاقات بين زوايا وأطوال أضلاع المثلثات. على وجه الخصوص، تربط الدوال المثلثية زوايا المثلث القائم بنسب أطوال أضلاعه. نشأ المجال في العالم الهلنستي خلال القرن الثالث قبل الميلاد من تطبيقات الهندسة إلى الدراسات الفلكية . ^[2] ركز الإغريق على حساب الأوتار ، بينما أنشأ علماء الرياضيات في الهند أقدم جداول معروفة لقيم النسب المثلثية (وتسمى أيضًا الدوال المثلثية ) مثل الجيب . ^[3]

على مر التاريخ، تم تطبيق علم المثلثات في مجالات مثل الجيوديسيا ، والمسح ، والميكانيكا السماوية ، والملاحة . ^[4]

يُعرف علم المثلثات بهوياته المتعددة. تُستخدم هذه الهويات المثلثية ^{[5] عادةً لإعادة كتابة} التعبيرات المثلثية بهدف تبسيط التعبير، أو إيجاد شكل أكثر فائدة للتعبير، أو حل معادلة . ^[6]

درس علماء الفلك السومريون قياس الزاوية، باستخدام تقسيم الدوائر إلى 360 درجة. ^{[8] درسوا،} والبابليون لاحقًا ، نسب أضلاع المثلثات المتشابهة واكتشفوا بعض خصائص هذه النسب لكنهم لم يحولوا ذلك إلى طريقة منهجية لإيجاد أضلاع وزوايا المثلثات. استخدم النوبيون القدماء طريقة مماثلة. ^[9]

في القرن الثالث قبل الميلاد، درس علماء الرياضيات الهلنستيون مثل إقليدس وأرخميدس خصائص الأوتار والزوايا المحيطية في الدوائر ، وأثبتوا نظريات تعادل الصيغ المثلثية الحديثة، على الرغم من أنهم قدموها هندسيًا وليس جبريًا. في عام 140 قبل الميلاد، أعطى هيبارخوس (من نيقية ، آسيا الصغرى) أول جداول الأوتار، مماثلة للجداول الحديثة لقيم الجيب ، واستخدمها لحل المشكلات في علم المثلثات وعلم المثلثات الكروي . ^[10] في القرن الثاني الميلادي، قام عالم الفلك اليوناني المصري بطليموس (من الإسكندرية، مصر) ببناء جداول مثلثية مفصلة ( جدول بطليموس للأوتار ) في الكتاب الأول، الفصل 11 من كتابه الماجستي . ^[11] استخدم بطليموس طول الوتر لتحديد الدوال المثلثية، وهو اختلاف بسيط عن اتفاقية الجيب التي نستخدمها اليوم. ^[12] (يمكن العثور على القيمة التي نسميها sin(θ) من خلال البحث عن طول الوتر لزاوية الاهتمام (2θ) في جدول بطليموس، ثم قسمة هذه القيمة على اثنين.) مرت قرون قبل إنتاج جداول أكثر تفصيلاً، وظلت أطروحة بطليموس قيد الاستخدام لإجراء الحسابات المثلثية في علم الفلك طوال 1200 عام التالية في العوالم البيزنطية والإسلامية وأوروبا الغربية في العصور الوسطى.

تم إثبات التعريف الحديث للجيب لأول مرة في سوريا سيدهانتا ، وتم توثيق خصائصه بشكل أكبر في القرن الخامس (م) من قبل عالم الرياضيات والفلك الهندي أريابهاتا . ^[13] تمت ترجمة هذه الأعمال اليونانية والهندية وتوسيعها من قبل علماء الرياضيات الإسلاميين في العصور الوسطى . في عام 830 م، أنتج عالم الرياضيات الفارسي حبش الحسيب المروزي أول جدول لظلال التمام. ^{[14] [15]} بحلول القرن العاشر الميلادي، في عمل عالم الرياضيات الفارسي أبو الوفاء البوزجاني ، تم استخدام جميع الدوال المثلثية الست . ^[16] كان لدى أبو الوفاء جداول جيب بزيادات قدرها 0.25 درجة، بدقة 8 منازل عشرية، وجداول دقيقة لقيم الظل. ^[16] كما قدم ابتكارات مهمة في علم المثلثات الكروية ^{[17] [18] [19]} وُصف العالم الفارسي نصير الدين الطوسي بأنه مبتكر علم المثلثات كتخصص رياضي في حد ذاته. ^{[20] [21] [22]} وكان أول من تعامل مع علم المثلثات كتخصص رياضي مستقل عن علم الفلك، وطور علم المثلثات الكروية إلى شكله الحالي. ^[15] وقد سرد الحالات الست المميزة للمثلث قائم الزاوية في علم المثلثات الكروي، وفي كتابه " في الشكل القطاعي" ، ذكر قانون الجيب للمثلثات المستوية والكروية، واكتشف قانون الظل للمثلثات الكروية، وقدم أدلة على كلا القانونين. ^[23] وصلت معرفة الدوال والطرق المثلثية إلى أوروبا الغربية عبر الترجمات اللاتينية لكتاب بطليموس اليوناني الماجستي بالإضافة إلى أعمال علماء الفلك الفارسيين والعرب مثل البتاني ونصير الدين الطوسي . ^[24] أحد أقدم الأعمال في علم المثلثات التي كتبها عالم رياضيات من شمال أوروبا هو كتاب De Triangulis لعالم الرياضيات الألماني في القرن الخامس عشر ريجيومونتانوس ، الذي شجعه على الكتابة، وقدم له العالم اليوناني البيزنطي الكاردينال باسيليوس بيساريون الذي عاش معه لعدة سنوات نسخة من الماجستي . ^[25] في الوقت نفسه، اكتملت ترجمة أخرى لكتاب الماجستي من اليونانية إلى اللاتينية بواسطة الكريتي جورج طرابزون . ^[26]كان علم المثلثات لا يزال غير معروف إلى حد كبير في شمال أوروبا في القرن السادس عشر، لدرجة أن نيكولاس كوبرنيكوس خصص فصلين من كتابه " عن دورات الكواكب السماوية" لشرح مفاهيمه الأساسية.

بسبب متطلبات الملاحة والحاجة المتزايدة إلى خرائط دقيقة للمناطق الجغرافية الكبيرة، نما علم المثلثات ليصبح فرعًا رئيسيًا من فروع الرياضيات. ^{[27] كان} بارثولومايوس بيتيسكوس أول من استخدم الكلمة، ونشر كتابه Trigonometria في عام 1595. ^{[28] وصفت} جيما فريسيوس لأول مرة طريقة التثليث المستخدمة حتى اليوم في المسح. كان ليونهارد أويلر هو من أدرج الأعداد المركبة بالكامل في علم المثلثات. كانت أعمال علماء الرياضيات الاسكتلنديين جيمس جريجوري في القرن السابع عشر وكولين ماكلورين في القرن الثامن عشر مؤثرة في تطوير المتسلسلة المثلثية . ^[29] أيضًا في القرن الثامن عشر، حدد بروك تايلور متسلسلة تايلور العامة . ^[30]

النسب المثلثية هي النسب بين أضلاع المثلث القائم. تعتمد هذه النسب على زاوية حادة واحدة فقط في المثلث القائم، حيث أن أي مثلثين قائمين لهما نفس الزاوية الحادة يكونان متشابهين . ^[31]

لذا، تحدد هذه النسب دوال هذه الزاوية التي تسمى الدوال المثلثية . وبشكل صريح، يتم تعريفها أدناه كدوال للزاوية المعروفة A ، حيث تشير a و b و h إلى أطوال الأضلاع في الشكل المصاحب:

• الجيب (يُشار إليه بـ sin)، ويُعرف بأنه نسبة الضلع المقابل للزاوية إلى الوتر .

${\displaystyle \sin A={\frac {\textrm {المقابل}}{\textrm {الوتر}}}={\frac {a}{h}}.}$

• جيب التمام (يُشار إليه بـ cos)، ويُعرف بأنه نسبة الضلع المجاور (ضلع المثلث الذي يربط الزاوية بالزاوية القائمة) إلى الوتر.

${\displaystyle \cos A={\frac {\textrm {المجاورة}}{\textrm {الوتر}}}={\frac {b}{h}}.}$

• الظل (يُشار إليه بالتان)، ويُعرف بأنه نسبة الساق المقابلة إلى الساق المجاورة.

${\displaystyle \tan A={\frac {\textrm {المقابل}}{\textrm {المجاور}}}={\frac {a}{b}}={\frac {a/h}{b/h}}={\frac {\sin A}{\cos A}}.}$

الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة في المثلث القائم؛ وهو أطول ضلع في المثلث وأحد الضلعين المجاورين للزاوية أ . والضلع المجاور هو الضلع الآخر المجاور للزاوية أ . والضلع المقابل هو الضلع المقابل للزاوية أ . تُستخدم المصطلحات عمودي وقاعدة أحيانًا للضلعين المقابل والمجاور على التوالي. انظر أدناه تحت بند الاختصارات .

تُسمى مقلوبات هذه النسب قاطع التمام ( csc)، والقاطع ( sec)، وظل التمام (cot)، على التوالي:

${\displaystyle \csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {\textrm {وتر الزاوية}}{\textrm {المقابل}}}={\frac {h}{a}},}$

${\displaystyle \sec A={\frac {1}{\cos A}}={\frac {\textrm {وتر الزاوية}}{\textrm {المجاورة}}}={\frac {h}{b}},}$

${\displaystyle \cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {\textrm {مجاور}}{\textrm {معاكس}}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}.}$

تم تسمية جيب التمام وظل التمام وقاطع التمام بهذا الاسم لأنها تمثل على التوالي الجيب والظل والقاطع للزاوية التكميلية والتي يتم اختصارها إلى "co-". ^[32]

باستخدام هذه الوظائف، يمكن للمرء الإجابة على جميع الأسئلة تقريبًا حول المثلثات التعسفية باستخدام قانون الجيب وقانون جيب التمام . ^[33] ويمكن استخدام هذه القوانين لحساب الزوايا والأضلاع المتبقية لأي مثلث بمجرد معرفة ضلعين وزاويتهما المتضمنة أو زاويتين وضلع أو ثلاثة أضلاع.

الاستخدام الشائع للوسائل المساعدة على التذكر هو تذكر الحقائق والعلاقات في علم المثلثات. على سبيل المثال، يمكن تذكر نسب الجيب وجيب التمام والظل في مثلث قائم الزاوية من خلال تمثيلها والأضلاع المقابلة لها كسلاسل من الحروف. على سبيل المثال، الوسائل المساعدة على التذكر هي SOH-CAH-TOA: ^[34]

S ine = O المعاكس ÷ H ypotenuse

جيب التمام = A المجاور ÷ H ypotenuse

زاوية الزاوية المائلة = الزاوية المقابلة ÷ الزاوية المجاورة

إحدى الطرق لتذكر الحروف هي نطقها صوتيًا (على سبيل المثال / ˌ s oʊ k ə ˈ t oʊ ə / SOH -kə- TOH -ə ، على غرار كراكاتوا ). ^[35] طريقة أخرى هي توسيع الحروف في جملة، مثل " Some Old Hippie C aught A nother Hippie Trippin ' O n A cid " . ^[36]

يمكن أيضًا تمثيل النسب المثلثية باستخدام الدائرة الوحدوية ، وهي الدائرة التي يبلغ نصف قطرها 1 ومركزها الأصل في المستوى. ^[37] في هذا الإعداد، سيتقاطع الضلع النهائي للزاوية A الموضوعة في الوضع القياسي مع الدائرة الوحدوية في نقطة (x، y)، حيث و . ^[37] يسمح هذا التمثيل بحساب القيم المثلثية الشائعة، مثل تلك الموجودة في الجدول التالي: ^[38]${\displaystyle x=\cos A}$${\displaystyle y=\sin A}$

وظيفة	0	${\displaystyle \pi /6}$	${\displaystyle \pi /4}$	${\displaystyle \pi /3}$	${\displaystyle \pi /2}$	${\displaystyle 2\pi /3}$	${\displaystyle 3\pi /4}$	${\displaystyle 5\pi /6}$	${\displaystyle \pi }$
جيب	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle 1/2}$	${\displaystyle 0}$
جيب التمام	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle 1/2}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1/2}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle -1}$
مماس	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	غير محدد	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle 0}$
قاطع	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	غير محدد	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle -2{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle -1}$
قاطع التمام	غير محدد	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	غير محدد
ظل التمام	غير محدد	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	غير محدد

باستخدام دائرة الوحدة ، يمكننا توسيع تعريفات النسب المثلثية لتشمل جميع الحجج الإيجابية والسلبية ^[39] (انظر الدالة المثلثية ).

يوضح الجدول التالي خصائص الرسوم البيانية للوظائف المثلثية الست الرئيسية: ^{[40] [41]}

وظيفة	فترة	اِختِصاص	يتراوح	الرسم البياني
جيب	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle [-1,1]}$
جيب التمام	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle [-1,1]}$
مماس	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle x\neq \pi /2+n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$
قاطع	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle x\neq \pi /2+n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}$
قاطع التمام	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle x\neq n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}$
ظل التمام	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle x\neq n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

نظرًا لأن الدوال المثلثية الست الرئيسية دورية، فهي ليست قابلة للحقن (أو 1 إلى 1)، وبالتالي فهي غير قابلة للعكس. ومع ذلك، من خلال تقييد مجال الدالة المثلثية، يمكن جعلها قابلة للعكس. ^{[42] : 48ff}

يمكن العثور على أسماء الدوال المثلثية العكسية، مع مجالاتها ونطاقها، في الجدول التالي: ^{[42] : 48ff  [43] : 521ff}

اسم	التدوين المعتاد	تعريف	مجال x للنتيجة الحقيقية	نطاق القيمة الأساسية المعتادة ( راديان )	نطاق القيمة الأساسية المعتادة ( درجات )
قوس الجيب	y = قوس جيب التمام( x )	x = sin ( y )	−1 ≤ x ≤ 1	- ⁠π/2≤ ي ≤​​π/2⁠	-90° ≤ ص ≤ 90°
قوس كوزين	y = قوس جيب التمام ( x )	x = cos ( y )	−1 ≤ x ≤ 1	0 ≤ ي ≤ ط	0° ≤ ص ≤ 180°
ظل الزاوية	y = قوس الظل( x )	x = tan ( y )	جميع الأعداد الحقيقية	- ⁠π/2< ي <​​π/2⁠	-90° < ص < 90°
ظل الزاوية	y = قوس الزاوية( x )	x = cot ( y )	جميع الأعداد الحقيقية	0 < ي < π	0° < ص < 180°
القوس القاطع	y = ثانية قوسية( x )	س = ثانية ( ص )	x ≤ −1 أو 1 ≤ x	0 ≤ ي <π/2أو​​π/2< y ≤ π​	0° ≤ y < 90° أو 90° < y ≤ 180°
قاطع الجيب القوسي	y = قوسي ( x )	x = csc ( y )	x ≤ −1 أو 1 ≤ x	- ⁠π/2≤ y < 0 أو 0 < y ≤π/2⁠	−90° ≤ y < 0° أو 0° < y ≤ 90°

عند النظر إليها كوظائف لمتغير حقيقي، يمكن تمثيل النسب المثلثية بسلسلة لا نهائية . على سبيل المثال، يكون للجيب وجيب التمام التمثيلات التالية: ^[44]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}}$

باستخدام هذه التعريفات، يمكن تعريف الدوال المثلثية للأعداد المركبة . ^[45] وعند توسيعها كدوال لمتغيرات حقيقية أو معقدة، تنطبق الصيغة التالية على الأس المركب:

${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y).}$

هذه الدالة الأسية المعقدة، المكتوبة من حيث الدوال المثلثية، مفيدة بشكل خاص. ^{[46] [47]}

كانت الدوال المثلثية من بين أقدم استخدامات الجداول الرياضية . ^[48] تم دمج مثل هذه الجداول في كتب الرياضيات المدرسية وتم تعليم الطلاب البحث عن القيم وكيفية الاستيفاء بين القيم المدرجة للحصول على دقة أعلى. ^{[49] كانت} المسطرة الحاسبة تحتوي على مقاييس خاصة للدوال المثلثية. ^[50]

تحتوي الآلات الحاسبة العلمية على أزرار لحساب الدوال المثلثية الرئيسية (sin وcos وtan وأحيانًا cis ومعكوساتها). ^[51] تسمح معظمها باختيار طرق قياس الزاوية: الدرجات والراديان وأحيانًا التدرج . توفر معظم لغات برمجة الكمبيوتر مكتبات وظائف تتضمن الدوال المثلثية. ^[52] تحتوي أجهزة وحدة الفاصلة العائمة المدمجة في شرائح المعالج الدقيق المستخدمة في معظم أجهزة الكمبيوتر الشخصية على تعليمات مدمجة لحساب الدوال المثلثية. ^[53]

بالإضافة إلى النسب الست المذكورة سابقًا، توجد دوال مثلثية إضافية كانت مهمة تاريخيًا، على الرغم من ندرة استخدامها اليوم. وتشمل هذه الدوال الوتر ( crd( θ ) = 2 sin (θ/2⁠ ) ​​) ، الشعر ( versin( θ ) = 1 − cos( θ ) = 2 sin ² ( ⁠θ/2⁠ ) ​​) (التي ظهرت في الجداول الأولى ^[54] )، جيب التغطية ( coversin( θ ) = 1 − sin( θ ) = versin (π/2− θ ) )، هافرسين ( هافرسين ( θ ) =1/2⁠ فيرسين( θ ) = خطيئة ² ( ⁠θ/2⁠ ) ​​) )، ^[55] exsecant( exsec( θ ) = sec( θ ) − 1 ) ، و excosecant ( excsc( θ ) = exsec( ⁠π/2− θ ) = csc( θ ) − 1 ). راجع قائمة المتطابقات المثلثية لمزيد من العلاقات بين هذه الدوال.

لعدة قرون، تم استخدام علم المثلثات الكروي لتحديد مواقع الشمس والقمر والنجوم، ^[56] والتنبؤ بالكسوف، ووصف مدارات الكواكب. ^[57]

في العصر الحديث، يتم استخدام تقنية التثليث في علم الفلك لقياس المسافة إلى النجوم القريبة، ^[58] وكذلك في أنظمة الملاحة عبر الأقمار الصناعية . ^[19]

تاريخيًا، تم استخدام علم المثلثات لتحديد خطوط العرض والطول للسفن الشراعية، ورسم المسارات، وحساب المسافات أثناء الملاحة. ^[59]

لا يزال علم المثلثات يستخدم في الملاحة من خلال وسائل مثل نظام تحديد المواقع العالمي والذكاء الاصطناعي للسيارات ذاتية القيادة . ^[60]

في مسح الأراضي ، يتم استخدام علم المثلثات في حساب الأطوال والمساحات والزوايا النسبية بين الأشياء. ^[61]

على نطاق أوسع، يتم استخدام علم المثلثات في الجغرافيا لقياس المسافات بين المعالم. ^[62]

تعتبر دوال الجيب وجيب التمام أساسية لنظرية الدوال الدورية ، ^[63] مثل تلك التي تصف الموجات الصوتية والضوئية . اكتشف فورييه أن كل دالة دورية مستمرة يمكن وصفها كمجموع لا نهائي من الدوال المثلثية.

حتى الدوال غير الدورية يمكن تمثيلها كتكامل للجيب وجيب التمام من خلال تحويل فورييه . وهذا له تطبيقات في ميكانيكا الكم [64] والاتصالات [ 65 ] ^من بين ^مجالات أخرى.

علم المثلثات مفيد في العديد من العلوم الفيزيائية ، ^[66] بما في ذلك علم الصوتيات ، ^[67] والبصريات . ^[67] في هذه المجالات، يتم استخدامها لوصف موجات الصوت والضوء ، وحل المشكلات المتعلقة بالحدود والنقل. ^[68]

تشمل المجالات الأخرى التي تستخدم علم المثلثات أو الدوال المثلثية نظرية الموسيقى ، ^[69] والمساحة ، وتوليف الصوت ، ^[70] والهندسة المعمارية ، ^[71] والإلكترونيات ، ^[69] وعلم الأحياء ، ^[72] والتصوير الطبي ( التصوير المقطعي المحوسب والموجات فوق الصوتية )، ^[73] والكيمياء ، ^[74] ونظرية الأعداد (ومن ثم التشفير )، ^[75] وعلم الزلازل ، ^[67] والأرصاد الجوية ، ^[76] وعلم المحيطات ، ^[77] وضغط الصور ، ^[78] وعلم الأصوات ، ^[79] والاقتصاد ، ^[80] والهندسة الكهربائية ، والهندسة الميكانيكية ، والهندسة المدنية ، ^[69] والرسومات الحاسوبية ، ^[81] ورسم الخرائط ، ^[69] وعلم البلورات ^[82] وتطوير الألعاب . ^[81]

اشتهر علم المثلثات بهوياته المتعددة، أي المعادلات التي تنطبق على جميع المدخلات الممكنة. ^[83]

تُعرف المتطابقات التي تتضمن الزوايا فقط باسم المتطابقات المثلثية . وتربط معادلات أخرى، تُعرف باسم متطابقات المثلث ، ^[84] بين كل من أضلاع وزوايا مثلث معين.

في المتطابقات التالية، A و B و C هي زوايا المثلث و a و b و c هي أطوال أضلاع المثلث المقابلة للزوايا المعنية (كما هو موضح في الرسم التخطيطي).

ينص قانون الجيب (المعروف أيضًا باسم "قاعدة الجيب") للمثلث التعسفي على ما يلي: ^[85]

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R={\frac {abc}{2\Delta }},}$

أين هي مساحة المثلث و R هو نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث: ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}}.}$

قانون جيب التمام (المعروف باسم صيغة جيب التمام، أو "قاعدة جيب التمام") هو امتداد لنظرية فيثاغورس للمثلثات التعسفية: ^[85]

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,}$

أو ما يعادله:

${\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.}$

قانون الظلال ، الذي طوره فرانسوا فييت ، هو بديل لقانون جيب التمام عند حل الحواف غير المعروفة للمثلث، مما يوفر حسابات أبسط عند استخدام جداول المثلثات. ^[86] يتم إعطاؤه بواسطة:

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A-B)\right]}{\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A+B)\right]}}}$

إذا كان لدينا ضلعان a و b والزاوية بين الضلعين C ، فإن مساحة المثلث تعطى بنصف حاصل ضرب طولي الضلعين وجيب الزاوية بين الضلعين: ^[85]

${\displaystyle {\mbox{Area}}=\Delta ={\frac {1}{2}}ab\sin C}$

ترتبط الهويات المثلثية التالية بنظرية فيثاغورس وتنطبق على أي قيمة: ^[87]

${\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\ }$

${\displaystyle \tan ^{2}A+1=\sec ^{2}A\ }$

${\displaystyle \cot ^{2}A+1=\csc ^{2}A\ }$

يتم الحصول على المعادلتين الثانية والثالثة من خلال قسمة المعادلة الأولى على و ، على التوالي. ${\displaystyle \cos ^{2}{A}}$${\displaystyle \sin ^{2}{A}}$

صيغة أويلر ، التي تنص على أن ، تنتج الهويات التحليلية التالية للجيب وجيب التمام والظل من حيث e والوحدة التخيلية i : ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \tan x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}.}$

تشمل الهويات المثلثية الأخرى المستخدمة بشكل شائع هويات نصف الزاوية، وهويات مجموع الزوايا والفرق بينها، وهويات حاصل الضرب إلى المجموع. ^[31]

• بوير، كارل ب. (1991). تاريخ الرياضيات (الطبعة الثانية). جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 978-0-471-54397-8.
• نيلسن، كاج إل. (1966). الجداول اللوغاريتمية والمثلثية لخمسة أماكن (الطبعة الثانية). نيويورك: بارنز أند نوبل . LCCN  61-9103.
• ثورستون، هيو (1996). علم الفلك المبكر . مجلة سبرينغر للعلوم والأعمال التجارية. رقم ISBN 978-0-387-94822-5.

• "الدوال المثلثية". موسوعة الرياضيات . EMS Press . 2001 [1994].
• لينتون، كريستوفر م. (2004). من يودوكسوس إلى أينشتاين: تاريخ علم الفلك الرياضي . مطبعة جامعة كامبريدج.
• وايسشتاين ، إريك دبليو. “صيغ الجمع المثلثية”. عالم الرياضيات .

• أكاديمية خان: علم المثلثات، محاضرات قصيرة مجانية عبر الإنترنت
• علم المثلثات بقلم ألفريد مونرو كينون ولويس انجولد، شركة ماكميلان، 1914. النص الكامل مقدم في الصور.
• لغز علم المثلثات لبنيامين بانيكر في التقارب
• دورة ديف القصيرة في علم المثلثات بقلم ديفيد جويس من جامعة كلارك
• علم المثلثات، من تأليف مايكل كورال، يغطي علم المثلثات الابتدائي، موزع بموجب رخصة التوثيق الحرة GNU