دالة التجميع

في إدارة قواعد البيانات ، الدالة التجميعية أو دالة التجميع هي دالة يتم فيها معالجة قيم متعددة معًا لتشكيل إحصائية موجزة واحدة .

تشمل الدوال التجميعية الشائعة ما يلي:

• المتوسط ​​(أي المتوسط ​​الحسابي )
• عدد
• الحد الأقصى
• متوسط
• الحد الأدنى
• وضع
• يتراوح
• مجموع

ومن بينها:

• Nanmean (المتوسط ​​مع تجاهل قيم NaN، والمعروفة أيضًا باسم "nil" أو "null")
• الانحراف المعياري

^{بصورة رسمية ،} تأخذ الدالة التجميعية كمدخل مجموعة أو مجموعة متعددة (حقيبة) أو قائمة من مجال إدخال I وتخرج عنصرًا من مجال إخراج O. ^{[ 1} ] قد يكون مجالا الإدخال والإخراج متطابقين، كما هو الحال بالنسبة لـ SUM، أو قد يكونان مختلفين، كما هو الحال بالنسبة لـ COUNT.

تُستخدم الدوال التجميعية بشكل شائع في العديد من لغات البرمجة ، وفي جداول البيانات ، وفي الجبر العلائقي .

تقوم الدالة listagg، كما هو محدد في معيار SQL:2016 ^{[ 2 ]} ، بتجميع البيانات من صفوف متعددة في سلسلة واحدة متصلة.

في مخطط علاقات الكيانات ، يتم تمثيل التجميع كما هو موضح في الشكل 1 بمستطيل حول العلاقة وكياناتها للإشارة إلى أنها تُعامل ككيان مجمع. ^{[ 3 ]}

تُشكّل الدوال التجميعية عنق زجاجة ، لأنها قد تتطلب الحصول على جميع قيم المدخلات دفعة واحدة. في الحوسبة الموزعة ، يُفضّل تقسيم هذه العمليات الحسابية إلى أجزاء أصغر، وتوزيع العمل، عادةً بالتوازي ، عبر خوارزمية فرق تسد .

يمكن حساب بعض الدوال التجميعية بحساب المجموع الكلي لمجموعات فرعية، ثم تجميع هذه المجاميع؛ ومن الأمثلة على ذلك: دالة العد (COUNT) ، ودالة الحد الأقصى (MAX )، ودالة الحد الأدنى (MIN) ، ودالة المجموع (SUM) . في حالات أخرى، يمكن حساب المجموع الكلي بحساب أعداد مساعدة لمجموعات فرعية، ثم تجميع هذه الأعداد المساعدة، وأخيرًا حساب العدد الإجمالي في النهاية؛ ومن الأمثلة على ذلك: دالة المتوسط ​​(AVERAGE ) (التي تحسب المجموع والعد، ثم تقسم في النهاية) ودالة المدى (RANGE ) (التي تحسب الحد الأقصى والحد الأدنى، ثم تطرح في النهاية). في حالات أخرى، لا يمكن حساب المجموع الكلي دون تحليل المجموعة بأكملها دفعة واحدة، على الرغم من إمكانية توزيع التقريبات في بعض الحالات؛ ومن الأمثلة على ذلك: دالة العد المميز (DISTINCT COUNT) ( لحل مشكلة العد المميز )، ودالة الوسيط (MEDIAN )، ودالة المنوال (MODE) .

تُسمى هذه الدوال دوال التجميع القابلة للتحليل ^{[ 4 ]} أو دوال التجميع القابلة للتحليل . وأبسطها يُمكن الإشارة إليها بدوال التجميع ذاتية التحليل ، والتي تُعرَّف بأنها تلك الدوال f التي يوجد لها عامل دمج .${\displaystyle \diamond }$بحيث​

${\displaystyle f(X\uplus Y)=f(X)\diamond f(Y)}$

أين​${\displaystyle \uplus }$⁠ هو اتحاد المجموعات المتعددة (انظر تماثل أحادي ).

على سبيل المثال، المجموع :

${\displaystyle \operatorname {SUM} ({x})=x}$، بالنسبة لشخص واحد؛

${\displaystyle \operatorname {SUM} (X\uplus Y)=\operatorname {SUM} (X)+\operatorname {SUM} (Y)}$، مما يعني أن الدمج${\displaystyle \diamond }$هو ببساطة عملية جمع.

عدد :

${\displaystyle \operatorname {COUNT} ({x})=1}$،

${\displaystyle \operatorname {COUNT} (X\uplus Y)=\operatorname {COUNT} (X)+\operatorname {COUNT} (Y)}$.

الأعلى :

${\displaystyle \operatorname {MAX} ({x})=x}$،

${\displaystyle \operatorname {MAX} (X\uplus Y)=\max {\bigl (}\operatorname {MAX} (X),\operatorname {MAX} (Y){\bigr )}}$.

الحد الأدنى :

${\textstyle \operatorname {MIN} ({x})=x}$, ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \operatorname {MIN} (X\uplus Y)=\min {\bigl (}\operatorname {MIN} (X),\operatorname {MIN} (Y){\bigr )}}$.

لاحظ أنه يمكن دمج وظائف التجميع ذاتية التحلل (رسميًا، بأخذ المنتج) عن طريق تطبيقها بشكل منفصل، لذلك على سبيل المثال يمكن للمرء حساب كل من المجموع والعدد في نفس الوقت، من خلال تتبع رقمين.

وبشكل أعم، يمكن تعريف دالة التجميع القابلة للتحليل f بأنها دالة يمكن التعبير عنها كتركيب لدالة نهائية g ودالة تجميع ذاتية التحليل h .${\displaystyle f=g\circ h,f(X)=g(h(X))}$على سبيل المثال، المتوسط ​​= المجموع / العدد والمدى = الحد الأقصى - الحد الأدنى .

في إطار عمل MapReduce ، تُعرف هذه الخطوات باسم InitialReduce (القيمة على سجل فردي / مجموعة أحادية)، و Combine (دمج ثنائي على مجموعتين)، و FinalReduce (الدالة النهائية على القيم المساعدة)، ^{[ 5 ]} ويُعرف نقل التجميع القابل للتحليل قبل مرحلة Shuffle باسم خطوة InitialReduce، ^{[ 6 ]}

تُعدّ دوال التجميع القابلة للتفكيك مهمة في المعالجة التحليلية الفورية (OLAP)، إذ تسمح بحساب استعلامات التجميع على النتائج المحسوبة مسبقًا في مكعب OLAP ، بدلًا من البيانات الأساسية. ^{[ 7 ]} على سبيل المثال، من السهل دعم دوال COUNT و MAX و MIN و SUM في OLAP، حيث يمكن حسابها لكل خلية من خلايا مكعب OLAP ثم تلخيصها ("دمجها")، ولكن من الصعب دعم دالة MEDIAN ، إذ يجب حسابها لكل عرض على حدة.

لحساب المتوسط ​​والانحراف المعياري من البيانات المجمعة، من الضروري توفر المعلومات التالية لكل مجموعة: مجموع القيم (Σxi _{= SUM(} ^x ))، وعدد القيم (N = COUNT(x) ) ، ومجموع مربعات القيم (Σxi² ₌ SUM(x² ⁾ ) لكل مجموعة. ^{[ 8 ]}AVG$${\displaystyle \operatorname {AVG} (X\uplus Y)={\bigl (}\operatorname {AVG} (X)*\operatorname {COUNT} (X)+\operatorname {AVG} (Y)*\operatorname {COUNT} (Y){\bigr )}/{\bigl (}\operatorname {COUNT} (X)+\operatorname {COUNT} (Y){\bigr )}}$$ أو $${\displaystyle \operatorname {AVG} (X\uplus Y)={\bigl (}\operatorname {SUM} (X)+\operatorname {SUM} (Y){\bigr )}/{\bigl (}\operatorname {COUNT} (X)+\operatorname {COUNT} (Y){\bigr )}}$$ أو فقط إذا كان عدد (X) يساوي عدد (Y) $${\displaystyle \operatorname {AVG} (X\uplus Y)={\bigl (}\operatorname {AVG} (X)+\operatorname {AVG} (Y){\bigr )}/2}$$SUM(x2)يُعد مجموع مربعات القيم مهمًا لحساب الانحراف المعياري للمجموعات $${\displaystyle \operatorname {SUM} (X^{2}\uplus Y^{2})=\operatorname {SUM} (X^{2})+\operatorname {SUM} (Y^{2})}$$STDDEV: بالنسبة لمجموعة سكانية محدودة ذات احتمالات متساوية في جميع النقاط، لدينا ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \operatorname {STDDEV} (X)=s(x)={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-({\overline {x}})^{2}}}={\sqrt {\operatorname {SUM} (x^{2})/\operatorname {COUNT} (x)-\operatorname {AVG} (x)^{2}}}}$$

وهذا يعني أن الانحراف المعياري يساوي الجذر التربيعي للفرق بين متوسط ​​مربعات القيم ومربع القيمة المتوسطة. $${\displaystyle \operatorname {STDDEV} (X\uplus Y)={\sqrt {\operatorname {SUM} (X^{2}\uplus Y^{2})/\operatorname {COUNT} (X\uplus Y)-\operatorname {AVG} (X\uplus Y)^{2}}}}$$$${\displaystyle \operatorname {STDDEV} (X\uplus Y)={\sqrt {{\bigl (}\operatorname {SUM} (X^{2})+\operatorname {SUM} (Y^{2}){\bigr )}/{\bigl (}\operatorname {COUNT} (X)+\operatorname {COUNT} (Y){\bigr )}-{\bigl (}(\operatorname {SUM} (X)+\operatorname {SUM} (Y))/(\operatorname {COUNT} (X)+\operatorname {COUNT} (Y)){\bigr )}^{2}}}}$$

• الجدول المتقاطع أو جدول التوافق
• تحليل البيانات
• استخراج البيانات
• معالجة البيانات
• استخراج، تحويل، تحميل
• الطي (دالة من الرتبة العليا)
• التجميع حسب (SQL) ، عبارة SQL
• مكعب OLAP
• المعالجة التحليلية عبر الإنترنت
• جدول محوري
• الجبر العلائقي
• دوال المنفعة على السلع غير القابلة للتجزئة#مجموع دوال المنفعة
• XML للتحليل
• AggregateIQ
• MapReduce

• غرابيش، ميشيل؛ ماريشال، جان لوك؛ ميسيار، رادكو؛ باب، إندري (2009). دوال التجميع . موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد  127. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-51926-7. Zbl 1196.00002 . 
• دوال التجميع في أوراكل: أمثلة على MAX، MIN، COUNT، SUM، AVG

• الدوال التجميعية (Transact-SQL)