تحليل التباين

الموسوعة الحرة

تحليل التباين ( ANOVA ) هو مجموعة من الأساليب الإحصائية تُستخدم لمقارنة متوسطات مجموعتين أو أكثر من خلال تحليل التباين. وبالتحديد، يقارن تحليل التباين مقدار التباين بين متوسطات المجموعات بمقدار التباين داخل كل مجموعة. إذا كان التباين بين المجموعات أكبر بكثير من التباين داخل المجموعات، فهذا يشير إلى أن متوسطات المجموعات مختلفة على الأرجح. تُجرى هذه المقارنة باستخدام اختبار F. ويستند المبدأ الأساسي لتحليل التباين إلى قانون التباين الكلي ، الذي ينص على أن التباين الكلي في مجموعة البيانات يمكن تقسيمه إلى مكونات تُعزى إلى مصادر مختلفة. في حالة تحليل التباين، تتمثل هذه المصادر في التباين بين المجموعات والتباين داخل المجموعات.

تم تطوير تحليل التباين (ANOVA) بواسطة الإحصائي رونالد فيشر . في أبسط صوره، يوفر اختبارًا إحصائيًا لتحديد ما إذا كان متوسطان أو أكثر من متوسطات المجتمعات متساويين، وبالتالي فهو يعمم اختبار t ليشمل أكثر من متوسطين.

تاريخ

بينما بلغ تحليل التباين ذروته في القرن العشرين، إلا أن جذوره تمتد لقرون مضت، وفقًا لستيجلر . [ 1 ] وتشمل هذه الجذور اختبار الفرضيات، وتقسيم مجموع المربعات، والتقنيات التجريبية، والنموذج الجمعي. كان لابلاس يُجري اختبار الفرضيات في سبعينيات القرن الثامن عشر. [ 2 ] وفي حوالي عام 1800، طوّر لابلاس وجاوس طريقة المربعات الصغرى لدمج الملاحظات، مما حسّن الطرق المستخدمة آنذاك في علم الفلك والجيوديسيا . كما أدى ذلك إلى بدء دراسات عديدة حول مساهمات مجموع المربعات. كان لابلاس يعرف كيفية تقدير التباين من مجموع المربعات المتبقي (بدلاً من المجموع الكلي). [ 3 ] وبحلول عام 1827، كان لابلاس يستخدم طرق المربعات الصغرى لمعالجة مشاكل تحليل التباين المتعلقة بقياسات المد والجزر الجوي. [ 4 ] قبل عام 1800، عزل علماء الفلك أخطاء الرصد الناتجة عن أوقات رد الفعل ( المعادلة الشخصية )، وطوروا طرقًا للحد من هذه الأخطاء. [ 5 ] لاحقًا، اعتمد مجال علم النفس الناشئ [ 6 ] الأساليب التجريبية المستخدمة في دراسة المعادلة الشخصية ، حيث طور أساليب تجريبية قوية (عاملية كاملة) أُضيفت إليها لاحقًا العشوائية والتعمية. [ 7 ] في عام 1885، توفر شرح بليغ غير رياضي لنموذج التأثيرات التراكمية. [ 8 ]

قدّم رونالد فيشر مصطلح التباين واقترح تحليله الرسمي في مقال نُشر عام 1918 حول علم الوراثة السكانية النظري، بعنوان " الارتباط بين الأقارب على افتراض الوراثة المندلية" . [ 9 ] نُشر أول تطبيق له لتحليل التباين على تحليل البيانات عام 1921، بعنوان " دراسات في تباين المحاصيل 1" . [ 10 ] قسّم هذا التطبيق تباين سلسلة زمنية إلى مكونات تمثل الأسباب السنوية والتدهور البطيء. أما دراسة فيشر التالية، " دراسات في تباين المحاصيل 2" ، التي كتبها بالاشتراك مع وينفريد ماكنزي ونُشرت عام 1923، فقد تناولت تباين المحصول عبر قطع أرض مزروعة بأصناف مختلفة ومُعرّضة لمعاملات تسميد مختلفة. [ 11 ] أصبح تحليل التباين معروفًا على نطاق واسع بعد إدراجه في كتاب فيشر الصادر عام 1925 بعنوان " الأساليب الإحصائية للباحثين" .

قام العديد من الباحثين بتطوير نماذج التوزيع العشوائي. نُشر أول نموذج باللغة البولندية بواسطة جيرزي نيمان في عام 1923. [ 12 ]

مثال

لا يوجد توافق: الشباب مقابل كبار السن، والشعر القصير مقابل الشعر الطويل
الملاءمة العادلة: حيوان أليف مقابل سلالة عاملة، وأقل لياقة بدنية مقابل أكثر لياقة بدنية
مناسب جدًا: الوزن حسب السلالة

يمكن استخدام تحليل التباين لوصف العلاقات المعقدة بين المتغيرات. يُعدّ عرض الكلاب مثالًا على ذلك. فعرض الكلاب ليس عينة عشوائية من السلالة، بل يقتصر عادةً على الكلاب البالغة، الأصيلة، والمتميزة. ومن المرجح أن يكون الرسم البياني لأوزان الكلاب في العرض معقدًا نوعًا ما، مثل التوزيع الأصفر البرتقالي الموضح في الرسوم التوضيحية. لنفترض أننا نريد التنبؤ بوزن كلب بناءً على مجموعة معينة من خصائص كل كلب. إحدى طرق القيام بذلك هي شرح توزيع الأوزان بتقسيم الكلاب إلى مجموعات بناءً على تلك الخصائص. يُقسّم التجميع الناجح الكلاب بحيث: (أ) يكون لكل مجموعة تباين منخفض في أوزان الكلاب (أي أن المجموعة متجانسة نسبيًا)، و(ب) يكون متوسط ​​كل مجموعة مختلفًا (إذا كان لمجموعتين نفس المتوسط، فليس من المعقول استنتاج أن المجموعتين منفصلتان فعليًا بأي شكل ذي معنى).

في الرسوم التوضيحية على اليمين، تُعرَّف المجموعات بالرموز X1 و X2 ، وهكذا . في الرسم التوضيحي الأول، تُقسَّم الكلاب وفقًا لتفاعل مجموعتين ثنائيتين: صغار السن مقابل كبار السن، وذوي الشعر القصير مقابل ذوي الشعر الطويل (على سبيل المثال، المجموعة 1 هي كلاب صغيرة السن ذات شعر قصير، والمجموعة 2 هي كلاب صغيرة السن ذات شعر طويل، وهكذا). نظرًا لأن توزيعات أوزان الكلاب داخل كل مجموعة (الموضحة باللون الأزرق) تتسم بتباين كبير نسبيًا، ولأن المتوسطات متقاربة جدًا بين المجموعات، فإن تجميع الكلاب وفقًا لهذه الخصائص لا يُقدِّم طريقة فعالة لتفسير التباين في أوزانها: فمعرفة المجموعة التي ينتمي إليها الكلب لا تُتيح لنا التنبؤ بوزنه بشكل أفضل بكثير من مجرد معرفة أنه مُشارك في عرض للكلاب. وبالتالي، يفشل هذا التجميع في تفسير التباين في التوزيع الكلي (الأصفر البرتقالي).

قد يكون تفسير توزيع الوزن بتصنيف الكلاب إلى سلالات منزلية وسلالات عاملة ، وأقل رشاقة وأكثر رشاقة، أكثر نجاحًا (ملاءمة جيدة). من المرجح أن تكون أثقل كلاب العرض من السلالات الكبيرة والقوية العاملة، بينما تميل السلالات المنزلية إلى أن تكون أصغر حجمًا وبالتالي أخف وزنًا. كما هو موضح في الرسم التوضيحي الثاني، فإن تباينات التوزيعات أصغر بكثير من الحالة الأولى، والمتوسطات أكثر وضوحًا. مع ذلك، فإن التداخل الكبير بين التوزيعات، على سبيل المثال، يعني أنه لا يمكننا التمييز بين X1 و X2 بشكل موثوق . قد يؤدي تصنيف الكلاب عشوائيًا إلى توزيعات تبدو متشابهة.

من المرجح أن تُسفر محاولة تفسير الوزن حسب السلالة عن نتائج دقيقة للغاية. فجميع كلاب الشيواوا خفيفة الوزن، وجميع كلاب سانت برنارد ثقيلة. ولا يُبرر اختلاف الأوزان بين كلاب السيتر والبوينتر تصنيفها كسلالات منفصلة. يوفر تحليل التباين الأدوات الرسمية لتبرير هذه الاستنتاجات البديهية. ومن الاستخدامات الشائعة لهذه الطريقة تحليل البيانات التجريبية أو تطوير النماذج. تتميز هذه الطريقة ببعض المزايا مقارنةً بالارتباط: فليس بالضرورة أن تكون جميع البيانات رقمية، ومن نتائجها تقييم مدى الثقة في العلاقة التفسيرية.

فئات النماذج

هناك ثلاثة أنواع من النماذج المستخدمة في تحليل التباين، وقد تم توضيحها هنا.

نماذج التأثيرات الثابتة

يُطبَّق نموذج التأثيرات الثابتة (الفئة الأولى) لتحليل التباين في الحالات التي يُطبِّق فيها الباحث معالجةً واحدةً أو أكثر على أفراد التجربة لمعرفة ما إذا كانت قيم المتغير التابع تتغير. وهذا يُتيح للباحث تقدير نطاقات قيم المتغير التابع التي قد تُحدثها المعالجة في المجتمع ككل.

التأثيرات الثابتة مقابل التأثيرات العشوائية

نماذج التأثيرات العشوائية

يُستخدم نموذج التأثيرات العشوائية (الفئة الثانية) عندما لا تكون المعالجات ثابتة. ويحدث هذا عندما تُؤخذ مستويات العوامل المختلفة من عينة أكبر. ولأن المستويات نفسها متغيرات عشوائية ، فإن بعض الافتراضات وطريقة مقارنة المعالجات (تعميم متعدد المتغيرات للفروق البسيطة) تختلف عن نموذج التأثيرات الثابتة. [ 13 ]

نماذج التأثيرات المختلطة

يحتوي نموذج التأثيرات المختلطة (الفئة الثالثة) على عوامل تجريبية من نوعي التأثيرات الثابتة والعشوائية، مع تفسيرات وتحليلات مختلفة بشكل مناسب لكلا النوعين.

مثال

يمكن لقسم في كلية أو جامعة إجراء تجارب تعليمية لاختيار كتاب تمهيدي جيد، مع اعتبار كل كتاب بمثابة معالجة. يقارن نموذج التأثيرات الثابتة قائمة من الكتب المرشحة. ويحدد نموذج التأثيرات العشوائية ما إذا كانت هناك اختلافات جوهرية بين قائمة من الكتب المختارة عشوائيًا. أما نموذج التأثيرات المختلطة فيقارن الكتب الحالية (الثابتة) ببدائل مختارة عشوائيًا.

لقد ثبت أن تعريف التأثيرات الثابتة والعشوائية أمر صعب، مع وجود تعريفات متنافسة متعددة. [ 14 ]

الافتراضات

تمت دراسة تحليل التباين من عدة مناهج، وأكثرها شيوعًا هو استخدام نموذج خطي يربط الاستجابة بالمعالجات والمجموعات. تجدر الإشارة إلى أن النموذج خطي في المعاملات، ولكنه قد يكون غير خطي عبر مستويات العوامل. يسهل تفسير البيانات عندما تكون متوازنة بين العوامل، ولكن يتطلب فهمًا أعمق للبيانات غير المتوازنة.

تحليل الكتب الدراسية باستخدام التوزيع الطبيعي

يمكن عرض تحليل التباين من حيث نموذج خطي ، والذي يفترض الافتراضات التالية حول التوزيع الاحتمالي للاستجابات: [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]

تفترض الافتراضات المنفصلة لنموذج الكتاب المدرسي أن الأخطاء موزعة بشكل مستقل ومتطابق وطبيعي بالنسبة لنماذج التأثيرات الثابتة، أي أن الأخطاء (ε{\displaystyle \varepsilon }) مستقلة و ε∼شمال(0،σ2).{\displaystyle \varepsilon \thicksim N(0,\sigma ^{2}).}

التحليل القائم على التوزيع العشوائي

في تجربة عشوائية مضبوطة ، تُوزَّع المعالجات عشوائيًا على الوحدات التجريبية، وفقًا للبروتوكول التجريبي. هذه العشوائية موضوعية ومُعلنة قبل إجراء التجربة. يُستخدم التوزيع العشوائي الموضوعي لاختبار دلالة الفرضية الصفرية ، استنادًا إلى أفكار سي إس بيرس ورونالد فيشر . نُوقش هذا التحليل القائم على التصميم وطُوِّر بواسطة فرانسيس جيه أنسكومب في محطة روثامستيد التجريبية، وأوسكار كيمبثورن في جامعة ولاية أيوا . [ 19 ] يفترض كيمبثورن وطلابه خاصية جمع المعالجات في الوحدة ، وهو ما نُوقش في كتابي كيمبثورن وديفيد آر كوكس . [ 20 ] [ 21 ]

خاصية الجمع بين المعالجات الفردية

بأبسط صورها، تنص فرضية جمع المعالجة الوحدوية [ ملاحظة 1 ] على أن الاستجابة المرصودةyأنا،ج{\displaystyle y_{i,j}}من الوحدة التجريبيةأنا{\displaystyle i}عند تلقي العلاجج{\displaystyle j}يمكن كتابة ذلك كمجموع استجابة الوحدةyأنا{\displaystyle y_{i}}وتأثير العلاجتج{\displaystyle t_{j}}، أي [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]yأنا،ج=yأنا+تج.{\displaystyle y_{i,j}=y_{i}+t_{j}.} يفترض افتراض جمعية المعالجة الوحدوية أنه، لكل معالجةج{\displaystyle j}، الج{\displaystyle j}العلاج له نفس التأثير تماماًتج{\displaystyle t_{j}}في كل وحدة تجريبية.

بحسب كوكس وكيمبثورن، لا يمكن عادةً دحض فرضية جمعية المعالجة الوحدوية بشكل مباشر . مع ذلك، يمكن دحض العديد من نتائج جمعية المعالجة الوحدوية. ففي التجارب العشوائية، تعني فرضية جمعية المعالجة الوحدوية أن التباين ثابت لجميع المعالجات. وبالتالي، بالاستدلال العكسي ، فإن الشرط الضروري لجمعية المعالجة الوحدوية هو ثبات التباين.

إن استخدام خاصية الجمع والتوزيع العشوائي للمعالجة الوحدوية يشبه الاستدلال القائم على التصميم والذي يعتبر معيارًا في أخذ عينات المسح السكاني المحدود .

النموذج الخطي المشتق

يستخدم كيمبثورن التوزيع العشوائي وافتراض إضافة المعالجة الوحدوية لإنتاج نموذج خطي مشتق ، مشابه جدًا للنموذج المذكور في الكتاب المدرسي الذي نوقش سابقًا. [ 25 ] تُقارب إحصائيات اختبار هذا النموذج الخطي المشتق إحصائيات اختبار نموذج خطي طبيعي مناسب، وفقًا لنظريات التقريب ودراسات المحاكاة. [ 26 ] ومع ذلك، توجد اختلافات. على سبيل المثال، ينتج عن التحليل القائم على التوزيع العشوائي ارتباط صغير ولكنه سلبي (بشكل قاطع) بين المشاهدات. [ 27 ] [ 28 ] في التحليل القائم على التوزيع العشوائي، لا يوجد افتراض للتوزيع الطبيعي ، وبالتأكيد لا يوجد افتراض للاستقلال . على العكس من ذلك، فإن المشاهدات مترابطة !

يُعاب على التحليل القائم على التوزيع العشوائي أنه يتطلب شرحًا مطولًا للجبر ووقتًا طويلًا. ولأن هذا التحليل معقد، ويمكن تقريبه بدقة باستخدام النموذج الخطي الطبيعي، فإن معظم المعلمين يركزون على هذا النهج. ونادرًا ما يعترض الإحصائيون على التحليل القائم على النموذج للتجارب العشوائية المتوازنة.

النماذج الإحصائية للبيانات الرصدية

مع ذلك، عند تطبيق التحليل القائم على النماذج على بيانات من تجارب غير عشوائية أو دراسات رصدية ، فإنه يفتقر إلى ضمانة العشوائية. [ 29 ] بالنسبة للبيانات الرصدية، يجب أن يعتمد اشتقاق فترات الثقة على نماذج ذاتية ، كما أكد رونالد فيشر وأتباعه. عمليًا، غالبًا ما تكون تقديرات تأثيرات العلاج من الدراسات الرصدية غير متسقة. عمليًا، تُعد "النماذج الإحصائية" والبيانات الرصدية مفيدة لاقتراح فرضيات ينبغي على الجمهور التعامل معها بحذر شديد. [ 30 ]

ملخص الافتراضات

يفترض تحليل التباين القائم على النموذج الطبيعي استقلالية وتوزيع وتجانس تباينات البواقي. أما التحليل القائم على العشوائية فيفترض فقط تجانس تباينات البواقي (نتيجةً لخاصية جمع المعالجة الموحدة) ويستخدم إجراء العشوائية المستخدم في التجربة. ويتطلب كلا التحليلين تجانس التباين ، كشرط أساسي في تحليل النموذج الطبيعي، وكنتيجة للعشوائية والجمعية في التحليل القائم على العشوائية.

مع ذلك، فقد أُجريت بنجاح دراساتٌ حول العمليات التي تُغيّر التباينات بدلاً من المتوسطات (وتُسمى تأثيرات التشتت) باستخدام تحليل التباين (ANOVA). [ 31 ] لا توجد افتراضات ضرورية لتحليل التباين في عموميته الكاملة، ولكن اختبار F المستخدم لاختبار فرضيات تحليل التباين له افتراضات وقيود عملية لا تزال محل اهتمام.

يمكن في كثير من الأحيان تحويل المشكلات التي لا تستوفي افتراضات تحليل التباين (ANOVA) لتستوفي هذه الافتراضات. ولا تبقى خاصية جمع المعاملات الموحدة ثابتة عند تغيير المقياس، لذا يلجأ الإحصائيون غالبًا إلى التحويلات لتحقيق هذه الخاصية. إذا كان من المتوقع أن يتبع المتغير التابع عائلةً بارامتريةً من التوزيعات الاحتمالية، فيمكن للإحصائي أن يحدد (في بروتوكول التجربة أو الدراسة الرصدية) تحويل الاستجابات لتحقيق استقرار التباين. [ 32 ] كما يمكن للإحصائي أن يحدد تطبيق التحويلات اللوغاريتمية على الاستجابات التي يُعتقد أنها تتبع نموذجًا ضربيًا. [ 23 ] [ 33 ] ووفقًا لنظرية معادلة كوشي الوظيفية ، فإن اللوغاريتم هو التحويل المستمر الوحيد الذي يربط عمليات الضرب بعمليات الجمع على الأعداد الحقيقية. [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]

صفات

يُستخدم تحليل التباين (ANOVA) في تحليل التجارب المقارنة، تلك التي يكون فيها الفرق في النتائج هو محل الاهتمام فقط. تُحدد الدلالة الإحصائية للتجربة بنسبة تباينين. هذه النسبة مستقلة عن العديد من التغييرات المحتملة في الملاحظات التجريبية: فإضافة ثابت إلى جميع الملاحظات لا يُغير الدلالة، وكذلك ضرب جميع الملاحظات بثابت. لذا، فإن نتيجة الدلالة الإحصائية لتحليل التباين مستقلة عن الانحياز الثابت وأخطاء القياس، بالإضافة إلى الوحدات المستخدمة في التعبير عن الملاحظات. في عصر الحساب الآلي، كان من الشائع طرح ثابت من جميع الملاحظات (وهو ما يُعادل حذف الأرقام الأولى) لتبسيط إدخال البيانات. [ 37 ] [ 38 ] هذا مثال على ترميز البيانات .

الخوارزمية

يمكن وصف حسابات تحليل التباين (ANOVA) بأنها حساب عدد من المتوسطات والتباينات، ثم قسمة تباينين ​​ومقارنة النسبة بقيمة مرجعية لتحديد الدلالة الإحصائية. وبالتالي، يصبح حساب أثر المعالجة أمرًا بسيطًا: "يُقدَّر أثر أي معالجة بأخذ الفرق بين متوسط ​​المشاهدات التي تلقت المعالجة والمتوسط ​​العام". [ 39 ]

تقسيم مجموع المربعات

جدول تحليل التباين أحادي العامل يعرض بيانات الإخراج كمثال

يستخدم تحليل التباين (ANOVA) المصطلحات المعيارية التقليدية. معادلة تعريف تباين العينة هيs2=1ن-1∑أنا(yأنا-y¯)2{\textstyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}حيث يُطلق على القاسم اسم درجات الحرية (DF)، ويُطلق على المجموع اسم مجموع المربعات (SS)، ويُطلق على النتيجة اسم متوسط ​​المربعات (MS)، وتمثل الحدود المربعة الانحرافات عن متوسط ​​العينة. يُقدّر تحليل التباين (ANOVA) ثلاثة تباينات للعينة: التباين الكلي بناءً على جميع انحرافات المشاهدات عن المتوسط ​​العام، وتباين الخطأ بناءً على جميع انحرافات المشاهدات عن متوسطات المعالجة المناسبة لها، وتباين المعالجة. يعتمد تباين المعالجة على انحرافات متوسطات المعالجة عن المتوسط ​​العام، حيث تُضرب النتيجة في عدد المشاهدات في كل معالجة لمراعاة الفرق بين تباين المشاهدات وتباين المتوسطات.

تتمثل التقنية الأساسية في تقسيم مجموع مربعات الانحرافات الكلي (SS) إلى مكونات مرتبطة بالتأثيرات المستخدمة في النموذج. على سبيل المثال، نموذج تحليل التباين المبسط (ANOVA) مع نوع واحد من المعالجة بمستويات مختلفة.

SSالمجموع=SSخطأ+SSالعلاجات{\displaystyle SS_{\text{Total}}=SS_{\text{Error}}+SS_{\text{Treatments}}}

يمكن تقسيم عدد درجات الحرية DF بطريقة مماثلة: أحد هذه المكونات (المتعلق بالخطأ) يحدد توزيع مربع كاي الذي يصف مجموع المربعات المرتبط به، بينما ينطبق الشيء نفسه على "المعالجات" إذا لم يكن هناك تأثير للمعالجة.

دFالمجموع=دFخطأ+دFالعلاجات{\displaystyle DF_{\text{Total}}=DF_{\text{Error}}+DF_{\text{Treatments}}}

اختبار F​

للتحقق من الدلالة الإحصائية لتحليل التباين أحادي الاتجاه (ANOVA)، نراجع جدول احتمالية F باستخدام درجات الحرية عند مستوى ألفا 0.05 . بعد حساب إحصائية F، نقارن القيمة عند نقطة تقاطع كل درجة حرية، والمعروفة أيضًا بالقيمة الحرجة. إذا كانت قيمة إحصائية F أكبر من القيمة الحرجة، يمكننا القول بوجود دلالة إحصائية عند مستوى ألفا 0.05 .

يُستخدم اختبار F لمقارنة عوامل الانحراف الكلي. على سبيل المثال، في تحليل التباين أحادي الاتجاه (ANOVA)، يتم اختبار الدلالة الإحصائية من خلال مقارنة إحصائية اختبار F.

F=التباين بين المعالجاتالتباين داخل المعالجات{\displaystyle F={\frac {\text{التباين بين المعالجات}}{\text{التباين داخل المعالجات}}}}F=مSالعلاجاتمSخطأ=SSالعلاجات/(أنا-1)SSخطأ/(نتي-أنا){\displaystyle F={\frac {MS_{\text{Treatments}}}{MS_{\text{Error}}}}={{SS_{\text{Treatments}}/(I-1)} \over {SS_{\text{Error}}/(n_{T}-I)}}}

حيث MS هو متوسط ​​المربعات،أنا{\displaystyle I}هو عدد العلاجات ونتي{\displaystyle n_{T}}يمثل العدد الإجمالي للحالات في توزيع F معأنا-1{\displaystyle I-1}كونها درجات حرية البسط ونتي-أنا{\displaystyle n_{T}-I}درجات حرية المقام. يُعد استخدام توزيع F خيارًا طبيعيًا لأن إحصائية الاختبار هي نسبة مجموعين مُقاسين للمربعات، يتبع كل منهما توزيع كاي تربيع مُقاس .

القيمة المتوقعة لـ F هي1+نσعلاج2/σخطأ2{\displaystyle 1+{n\sigma _{\text{Treament}}^{2}}/{\sigma _{\text{Error}}^{2}}}(أينن{\displaystyle n}يمثل حجم عينة المعالجة، وقيمته 1 في حالة عدم وجود تأثير للمعالجة. كلما زادت قيمة F عن 1، كلما تنافرت الأدلة مع الفرضية الصفرية. من الطرق التجريبية الواضحة لزيادة قيمة F زيادة حجم العينة وتقليل تباين الخطأ من خلال ضوابط تجريبية دقيقة.

هناك طريقتان لاستنتاج اختبار فرضية تحليل التباين (ANOVA)، وكلاهما ينتج نفس النتيجة:

  • تعتمد الطريقة المتبعة في الكتب الدراسية على مقارنة القيمة المرصودة لـ F بالقيمة الحرجة لـ F المُحددة من الجداول. وتعتمد القيمة الحرجة لـ F على درجات حرية البسط والمقام ومستوى الدلالة ( α ). إذا كانت F ≥ F الحرجة ، يتم رفض الفرضية الصفرية.
  • تحسب الطريقة الحاسوبية احتمال ( قيمة p ) أن تكون قيمة F أكبر من أو تساوي القيمة المرصودة. ويتم رفض الفرضية الصفرية إذا كان هذا الاحتمال أقل من أو يساوي مستوى الدلالة ( α ).

يُعرف اختبار ANOVA F بأنه شبه مثالي من حيث تقليل الأخطاء السلبية الكاذبة لمعدل ثابت من الأخطاء الإيجابية الكاذبة (أي زيادة القدرة الإحصائية لمستوى دلالة ثابت). على سبيل المثال، لاختبار فرضية أن العلاجات الطبية المختلفة لها نفس التأثير تمامًا، فإن قيم p لاختبار F تقارب قيم p لاختبار التبديل بشكل كبير : ويكون هذا التقارب دقيقًا بشكل خاص عندما يكون التصميم متوازنًا. [ 26 ] [ 40 ] تُصنف اختبارات التبديل هذه على أنها اختبارات ذات قدرة قصوى ضد جميع الفرضيات البديلة ، كما لاحظ روزنباوم . [ ملاحظة 2 ] يُوصى باختبار ANOVA F (للفرضية الصفرية القائلة بأن جميع العلاجات لها نفس التأثير تمامًا) كاختبار عملي، نظرًا لمتانته ضد العديد من التوزيعات البديلة. [ 41 ] [ ملاحظة 3 ]

خوارزمية موسعة

يتكون تحليل التباين (ANOVA) من أجزاء منفصلة؛ حيث يمكن استخدام تقسيم مصادر التباين واختبار الفرضيات بشكل منفصل. يُستخدم تحليل التباين لدعم الأدوات الإحصائية الأخرى. يُستخدم الانحدار أولًا لملاءمة نماذج أكثر تعقيدًا للبيانات، ثم يُستخدم تحليل التباين لمقارنة النماذج بهدف اختيار نماذج أبسط تصف البيانات بشكل كافٍ. "يمكن ملاءمة هذه النماذج دون الرجوع إلى تحليل التباين، ولكن يمكن بعد ذلك استخدام أدوات تحليل التباين لفهم النماذج الملائمة، ولاختبار الفرضيات المتعلقة بمجموعات المعاملات." [ 42 ] "نحن ننظر إلى تحليل التباين كوسيلة لفهم وهيكلة النماذج متعددة المستويات - ليس كبديل للانحدار، بل كأداة لتلخيص الاستدلالات المعقدة عالية الأبعاد  ..." [ 42 ]

لعامل واحد

أبسط تجربة مناسبة لتحليل التباين هي التجربة العشوائية الكاملة ذات العامل الواحد. أما التجارب الأكثر تعقيدًا ذات العامل الواحد فتتضمن قيودًا على العشوائية، وتشمل تصميمات الكتل العشوائية الكاملة والمربعات اللاتينية (ومتغيراتها: المربعات اليونانية اللاتينية ، إلخ). وتشترك التجارب الأكثر تعقيدًا في العديد من تعقيدات تصميمات العوامل المتعددة.

توجد بعض البدائل لتحليل التباين أحادي الاتجاه التقليدي، مثل: اختبار ويلش F غير المتجانس، واختبار ويلش F غير المتجانس مع المتوسطات المقتطعة والتباينات المعدلة، واختبار براون-فورسايث، واختبار ألكسندر-غافرن، واختبار جيمس من الدرجة الثانية، واختبار كروسكال-واليس، وهي متوفرة في برنامج onewaytests R

من المفيد تمثيل كل نقطة بيانات بالشكل التالي، والذي يسمى النموذج الإحصائي: Yأناج=μ+τج+εأناج{\displaystyle Y_{ij}=\mu +\tau _{j}+\varepsilon _{ij}} أين

  • i = 1, 2, 3, ..., R
  • j = 1، 2، 3، ...، C
  • μ = المتوسط ​​العام (المعدل)
  • τ j = التأثير التفاضلي (الاستجابة) المرتبط بالمستوى j من X؛
    يفترض هذا أن مجموع قيم τ j يساوي صفرًا (أي،∑ج=1جτج=0{\textstyle \sum _{j=1}^{C}\tau _{j}=0})
  • ε ij = الضوضاء أو الخطأ المرتبط بقيمة البيانات ij المحددة

أي أننا نتصور نموذجًا إضافيًا يقول إنه يمكن تمثيل كل نقطة بيانات عن طريق جمع ثلاث كميات: المتوسط ​​الحقيقي، الذي تم حسابه على جميع مستويات العوامل التي يتم التحقيق فيها، بالإضافة إلى مكون متزايد مرتبط بالعمود المحدد (مستوى العامل)، بالإضافة إلى مكون نهائي مرتبط بكل شيء آخر يؤثر على قيمة البيانات المحددة.

لعدة عوامل

يُعمم تحليل التباين (ANOVA) لدراسة تأثيرات عوامل متعددة. عندما تتضمن التجربة ملاحظات عند جميع تركيبات مستويات كل عامل، تُسمى تجربة عاملية . تُعد التجارب العاملية أكثر كفاءة من سلسلة تجارب العامل الواحد، وتزداد كفاءتها مع ازدياد عدد العوامل. [ 43 ] ونتيجة لذلك، تُستخدم التصاميم العاملية بكثرة.

يُعدّ استخدام تحليل التباين (ANOVA) لدراسة تأثيرات عوامل متعددة أمرًا معقدًا. ففي تحليل التباين ثلاثي الاتجاهات (ANOVA) الذي يتضمن العوامل س، ص، ع، يشمل نموذج تحليل التباين حدودًا للتأثيرات الرئيسية (س، ص، ع) وحدودًا للتفاعلات (س ص، س ع، ص ع، س ص ع). وتتطلب جميع هذه الحدود اختبارات فرضية. ويؤدي ازدياد حدود التفاعل إلى زيادة خطر ظهور نتيجة إيجابية خاطئة بالصدفة في بعض اختبارات الفرضيات. ولحسن الحظ، تشير التجارب إلى أن التفاعلات من الرتبة العليا نادرة. [ 44 ] وتُعدّ القدرة على كشف التفاعلات ميزة رئيسية لتحليل التباين متعدد العوامل. فاختبار عامل واحد في كل مرة يُخفي التفاعلات، ولكنه يُنتج نتائج تجريبية تبدو غير متسقة. [ 43 ]

يُنصح بالحذر عند مواجهة التفاعلات؛ اختبر حدود التفاعل أولًا، ثم وسّع نطاق التحليل ليشمل ما هو أبعد من تحليل التباين (ANOVA) في حال وجود تفاعلات. تختلف المراجع في توصياتها بشأن استكمال إجراء تحليل التباين بعد مواجهة تفاعل. تُعقّد التفاعلات تفسير البيانات التجريبية، فلا يمكن الاعتماد على حسابات الدلالة الإحصائية أو تقديرات تأثيرات المعالجة دون تمحيص. "غالبًا ما يُخفي التفاعل ذو الدلالة الإحصائية دلالة التأثيرات الرئيسية." [ 45 ] يُوصى باستخدام الأساليب البيانية لتعزيز الفهم، وغالبًا ما يكون الانحدار مفيدًا. يتوفر نقاش مُفصّل حول التفاعلات في كتاب كوكس (1958). [ 46 ] يمكن إزالة بعض التفاعلات (عن طريق التحويلات)، بينما لا يمكن إزالة البعض الآخر.

تُستخدم تقنيات متنوعة مع تحليل التباين متعدد العوامل لتقليل التكاليف. إحدى هذه التقنيات المستخدمة في التصاميم العاملية هي تقليل التكرار (وربما الاستغناء عنه تمامًا مع الاستعانة بأساليب تحليلية مبتكرة )، ودمج المجموعات عندما تكون التأثيرات غير ذات دلالة إحصائية (أو عملية). قد تُختزل تجربة ذات عوامل غير ذات دلالة إحصائية كثيرة إلى تجربة أخرى ذات عوامل قليلة مدعومة بتكرارات عديدة. [ 47 ]

التحليل المرتبط

يتطلب تصميم التجربة إجراء بعض التحليلات ، بينما تُجرى تحليلات أخرى بعد التأكد من أن التغييرات في العوامل تُحدث تغييرات ذات دلالة إحصائية في الاستجابات. ولأن التجريب عملية تكرارية، فإن نتائج تجربة ما تُؤثر على خطط التجارب اللاحقة.

التحليل التحضيري

عدد الوحدات التجريبية

في تصميم التجربة، يُخطط لعدد الوحدات التجريبية بما يتناسب مع أهداف التجربة. وغالبًا ما تكون التجارب متسلسلة.

غالباً ما تُصمَّم التجارب المبكرة لتوفير تقديرات غير متحيزة لمتوسط ​​تأثيرات العلاج والخطأ التجريبي. أما التجارب اللاحقة، فتُصمَّم لاختبار فرضية مفادها أن لتأثير العلاج حجماً مهماً؛ وفي هذه الحالة، يُختار عدد الوحدات التجريبية بحيث تكون التجربة ضمن الميزانية المحددة وتتمتع بقوة إحصائية كافية، من بين أهداف أخرى.

يُعدّ الإبلاغ عن تحليل حجم العينة شرطًا أساسيًا في علم النفس. "يجب تقديم معلومات حول حجم العينة والعملية التي أدت إلى تحديد حجمها." [ 48 ] ويتم فحص هذا التحليل، المكتوب في البروتوكول التجريبي قبل إجراء التجربة، في طلبات المنح ولجان المراجعة الإدارية.

إلى جانب تحليل القدرة الإحصائية، توجد طرق أقل رسمية لاختيار عدد الوحدات التجريبية. وتشمل هذه الطرق الطرق البيانية القائمة على الحد من احتمالية الأخطاء السلبية الكاذبة، والطرق البيانية القائمة على الزيادة المتوقعة في التباين (فوق البواقي)، والطرق القائمة على تحقيق فاصل ثقة مرغوب فيه. [ 49 ]

تحليل القدرة

يُستخدم تحليل القدرة الإحصائية غالبًا في سياق تحليل التباين (ANOVA) لتقييم احتمالية رفض الفرضية الصفرية بنجاح، بافتراض تصميم معين لتحليل التباين، وحجم التأثير في المجتمع، وحجم العينة، ومستوى الدلالة الإحصائية. يُساعد تحليل القدرة الإحصائية في تصميم الدراسة من خلال تحديد حجم العينة المطلوب لضمان فرصة معقولة لرفض الفرضية الصفرية عندما تكون الفرضية البديلة صحيحة. [ 50 ] [ 51 ] [ 52 ] [ 53 ]

حجم التأثير

حجم التأثير

تم اقتراح العديد من المقاييس المعيارية لتأثير تحليل التباين (ANOVA) لتلخيص قوة الارتباط بين متغير تنبؤي (أو متغيرات تنبؤية) والمتغير التابع، أو الفرق المعياري الإجمالي للنموذج الكامل. تُسهّل تقديرات حجم التأثير المعيارية مقارنة النتائج بين الدراسات والتخصصات المختلفة. ومع ذلك، فبينما تُستخدم أحجام التأثير المعيارية بشكل شائع في معظم الأدبيات المهنية، قد يكون من الأفضل استخدام مقياس غير معياري لحجم التأثير بوحدات ذات دلالة مباشرة لأغراض إعداد التقارير. [ 54 ]

تأكيد النموذج

تُجرى أحيانًا اختبارات لتحديد ما إذا كانت افتراضات تحليل التباين (ANOVA) مُنتهكة. تُفحص البواقي أو تُحلل للتأكد من تجانس التباين والتوزيع الطبيعي العام. [ 55 ] ينبغي أن تظهر البواقي كضوضاء (توزيع طبيعي بمتوسط ​​صفري) عند تمثيلها بيانيًا كدالة لأي متغير، بما في ذلك الزمن وقيم البيانات المُنمذجة. تشير الاتجاهات إلى وجود تفاعلات بين العوامل أو بين المشاهدات.

اختبارات المتابعة

غالباً ما يتبع ظهور تأثير ذي دلالة إحصائية في تحليل التباين (ANOVA) إجراء اختبارات إضافية. يُمكن القيام بذلك لتقييم أي المجموعات تختلف عن بعضها البعض، أو لاختبار فرضيات أخرى محددة. تُصنّف اختبارات المتابعة عادةً إلى نوعين: "مخططة" ( مسبقة ) و "لاحقة ". تُحدد الاختبارات المخططة قبل تحليل البيانات، بينما تُصمم الاختبارات اللاحقة بعد تحليل البيانات (مع أن مصطلح "لاحقة" يُستخدم بشكل غير متسق).

قد تكون الاختبارات اللاحقة عبارة عن مقارنات ثنائية "بسيطة" لمتوسطات المجموعات الفردية، أو مقارنات "مركبة" (مثل مقارنة المتوسط ​​المجمع للمجموعات أ، ب، ج بمتوسط ​​المجموعة د). كما يمكن أن تتناول المقارنات اختبارات الاتجاه، مثل العلاقات الخطية والتربيعية، عندما يتضمن المتغير المستقل مستويات مرتبة. وغالبًا ما تتضمن الاختبارات اللاحقة طريقة لتعديل مشكلة المقارنات المتعددة .

تتضمن الاختبارات اللاحقة لتحديد المجموعات أو المتغيرات أو العوامل التي لها متوسطات مختلفة إحصائيًا اختبار توكي للمدى ، واختبار دنكان الجديد للمدى المتعدد . وبدورها، غالبًا ما تُتبع هذه الاختبارات بمنهجية عرض الأحرف المختصرة (CLD) لجعل نتائج الاختبارات المذكورة أكثر وضوحًا لغير المتخصصين في الإحصاء.

تصميمات الدراسة

توجد أنواع عديدة من تحليل التباين (ANOVA). يعتمد العديد من الإحصائيين في تحليل التباين على تصميم التجربة ، [ 56 ] وخاصةً على البروتوكول الذي يحدد التوزيع العشوائي للمعالجات على المشاركين؛ إذ ينبغي أن يتضمن وصف البروتوكول لآلية التوزيع تحديدًا لبنية المعالجات وأي حجب . ومن الشائع أيضًا تطبيق تحليل التباين على البيانات الرصدية باستخدام نموذج إحصائي مناسب. [ 57 ]

تستخدم بعض التصاميم الشائعة الأنواع التالية من تحليل التباين (ANOVA):

تحذيرات

تُعدّ التجارب المتوازنة (ذات حجم العينة المتساوي لكل معالجة) سهلة التفسير نسبيًا، بينما تُضفي التجارب غير المتوازنة مزيدًا من التعقيد. في تحليل التباين أحادي الاتجاه (ANOVA)، يكون تعديل البيانات غير المتوازنة سهلًا، لكن التحليل غير المتوازن يفتقر إلى كلٍّ من المتانة والقوة الإحصائية. [ 60 ] أما في التصاميم الأكثر تعقيدًا، فيؤدي عدم التوازن إلى مزيد من التعقيدات. "لا تنتقل خاصية التعامد للتأثيرات الرئيسية والتفاعلات الموجودة في البيانات المتوازنة إلى حالة البيانات غير المتوازنة. وهذا يعني أن تقنيات تحليل التباين المعتادة لا تنطبق. وبالتالي، يكون تحليل العوامل غير المتوازنة أصعب بكثير من تحليلها في التصاميم المتوازنة." [ 61 ] في الحالة العامة، "يمكن أيضًا تطبيق تحليل التباين على البيانات غير المتوازنة، ولكن حينها ستعتمد مجاميع المربعات، ومتوسطات المربعات، ونسب F على ترتيب دراسة مصادر التباين." [ 42 ]

يُعد تحليل التباين (ANOVA) اختبارًا للدلالة الإحصائية (جزئيًا). وترى الجمعية الأمريكية لعلم النفس (والعديد من المنظمات الأخرى) أن مجرد الإبلاغ عن الدلالة الإحصائية غير كافٍ، وأن الإبلاغ عن حدود الثقة هو الأفضل. [ 54 ]

التعميمات

يُعتبر تحليل التباين (ANOVA) حالة خاصة من الانحدار الخطي [ 62 ] [ 63 ] ، والذي بدوره حالة خاصة من النموذج الخطي العام [ 64 ] . وتعتبر جميع هذه الدراسات أن المشاهدات هي مجموع نموذج (مطابقة) وباقي (خطأ) يجب تقليله.

يُعد اختبار كروسكال -واليس واختبار فريدمان اختبارين لا معلميين لا يعتمدان على افتراض التوزيع الطبيعي. [ 65 ] [ 66 ]

العلاقة بالانحدار الخطي

فيما يلي نوضح العلاقة بين تحليل التباين متعدد الاتجاهات والانحدار الخطي.

أعد ترتيب البيانات بشكل خطي بحيثك{\displaystyle k}ترتبط الملاحظة رقم -th باستجابةyك{\displaystyle y_{k}}والعواملZك،ب{\displaystyle Z_{k,b}}أينب∈{1،2،...،ب}{\displaystyle b\in \{1,2,\ldots ,B\}}يشير إلى العوامل المختلفة وب{\displaystyle B}يمثل العدد الإجمالي للعوامل. في تحليل التباين أحادي الاتجاه (ANOVA).ب=1{\displaystyle B=1}وفي تحليل التباين ثنائي الاتجاهب=2{\displaystyle B=2}علاوة على ذلك، نفترض أنب{\displaystyle b}العامل رقم -th لديهأناب{\displaystyle I_{b}}المستويات، أي{1،2،...،أناب}{\displaystyle \{1,2,\ldots ,I_{b}\}}الآن، يمكننا ترميز العوامل باستخدام الترميز الأحادي الساخن .∑ب=1بأناب{\textstyle \sum _{b=1}^{B}I_{b}}متجه ذو أبعادvك{\displaystyle v_{k}}.

وظيفة التشفير الأحادي الساخنزب:{1،2،...،أناب}↦{0،1}أناب{\displaystyle g_{b}:\{1,2,\ldots ,I_{b}\}\mapsto \{0,1\}^{I_{b}}}يتم تعريفها بحيث يكونأنا{\displaystyle i}المدخل رقم - منزب(Zك،ب){\displaystyle g_{b}(Z_{k,b})}يكون زب(Zك،ب)أنا={1لو أنا=Zك،ب0خلاف ذلك{\displaystyle g_{b}(Z_{k,b})_{i}={\begin{cases}1&{\text{if }}i=Z_{k,b}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}} المتجهvك{\displaystyle v_{k}}هو عبارة عن سلسلة من جميع المتجهات المذكورة أعلاه لجميعب{\displaystyle b}. هكذا،vك=[ز1(Zك،1)،ز2(Zك،2)،...،زب(Zك،ب)]{\displaystyle v_{k}=[g_{1}(Z_{k,1}),g_{2}(Z_{k,2}),\ldots ,g_{B}(Z_{k,B})]}من أجل الحصول على عام تمامًاب{\displaystyle B}في تحليل التباين التفاعلي ثنائي الاتجاه، يجب علينا أيضًا دمج كل مصطلح تفاعل إضافي في المتجه.vك{\displaystyle v_{k}}ثم أضف حدًا ثابتًا. ليكن هذا المتجه هوXك{\displaystyle X_{k}}.

باستخدام هذه الرموز، أصبح لدينا الآن ارتباط دقيق بالانحدار الخطي. ببساطة، نقوم بتحليل استجابة الانحدار.yك{\displaystyle y_{k}}عكس المتجهXك{\displaystyle X_{k}}ومع ذلك، ثمة مخاوف بشأن إمكانية تحديد العوامل . وللتغلب على هذه المشكلات، نفترض أن مجموع المعاملات ضمن كل مجموعة من التفاعلات يساوي صفرًا. ومن هنا، يمكن استخدام إحصائيات F أو طرق أخرى لتحديد أهمية كل عامل على حدة.

مثال

يمكننا النظر في مثال التفاعل ثنائي الاتجاه حيث نفترض أن العامل الأول له مستويان والعامل الثاني له 3 مستويات.

يُعرِّفأأنا=1{\displaystyle a_{i}=1}لوZك،1=أنا{\displaystyle Z_{k,1}=i}وبأنا=1{\displaystyle b_{i}=1}لوZك،2=أنا{\displaystyle Z_{k,2}=i}، أيأ{\displaystyle a}هو ترميز أحادي ساخن للعامل الأول وب{\displaystyle b}هو ترميز أحادي ساخن للعامل الثاني.

وبهذا، Xك=[أ1،أ2،ب1،ب2،ب3،أ1×ب1،أ1×ب2،أ1×ب3،أ2×ب1،أ2×ب2،أ2×ب3،1]{\displaystyle X_{k}=[a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},b_{3},a_{1}\times b_{1},a_{1}\times b_{2},a_{1}\times b_{3},a_{2}\times b_{1},a_{2}\times b_{2},a_{2}\times b_{3},1]} حيث يمثل الحد الأخير حدًا ثابتًا. ولتوضيح ذلك بمثال عملي، لنفترض أن Zك،1=2Zك،2=1{\displaystyle {\begin{aligned}Z_{k,1}&=2\\Z_{k,2}&=1\end{aligned}}} ثم،Xك=[0،1،1،0،0،0،0،0،1،0،0،1]{\displaystyle X_{k}=[0,1,1,0,0,0,0,0,1,0,0,1]}

انظر أيضاً

الحواشي

  1. ↑ يُطلق على خاصية الجمع في المعالجة الوحدوية في معظم النصوص مصطلح "الجمع" فقط. ويضيف هينكلمان وكيمبثورن صفاتٍ ويميزان بين الجمع بمعناه الدقيق والواسع. وهذا يسمح بدراسةٍ تفصيليةٍ لمصادر الخطأ المتعددة (المعالجة، الحالة، الاختيار، القياس، وأخذ العينات) في الصفحة 161.
  2. ↑ يستشهد روزنباوم (2002، الصفحة 40) بالقسم 5.7 (اختبارات التبديل)، النظرية 2.3 (في الواقع النظرية 3، الصفحة 184) من كتاب ليمان " اختبار الفرضيات الإحصائية" (1959).
  3. ↑ يتمتع اختبار F لمقارنة التباينات بسمعة متباينة. لا يُنصح باستخدامه كاختبار فرضية لتحديد ما إذا كانت عينتان مختلفتان لهما نفس التباين. يُنصح باستخدامه في تحليل التباين (ANOVA) حيث تتم مقارنةتقديرين لتباين نفس العينة. على الرغم من أن اختبار F ليس قويًا بشكل عام في مواجهة الانحرافات عن التوزيع الطبيعي، فقد وُجد أنه قوي في حالة تحليل التباين (ANOVA) تحديدًا. تشير المراجع من مور وماكابي (2003) إلى ما يلي: "يستخدم تحليل التباين إحصائيات F، لكن هذه الإحصائيات ليست هي نفسها إحصائية F المستخدمة لمقارنة انحرافين معياريين لمجتمعين." (صفحة 554) "يفتقر اختبار F وغيره من الإجراءات المستخدمة للاستدلال حول التباينات إلى المتانة لدرجة تجعله قليل الفائدة عمليًا." (صفحة 556) "[اختبار F لتحليل التباين ] غير حساس نسبيًا للانحراف المعتدل عن التوزيع الطبيعي وتباينات غير متساوية، خاصةً عندما تكون أحجام العينات متقاربة." (صفحة ٧٦٣) يفترض تحليل التباين (ANOVA) تجانس التباين، ولكنه قوي. أما الاختبار الإحصائي لتجانس التباين ( اختبار F ) فليس قويًا. يوصي مور وماكابي بقاعدة عامة.

ملحوظات

  1. ↑ ستيجلر (1986)
  2. ↑ ستيجلر (1986، ص 134)
  3. ↑ ستيجلر (1986، ص 153)
  4. ↑ ستيجلر (1986، ص 154-155)
  5. ↑ ستيجلر (1986، ص 240-242)
  6. ↑ ستيجلر (1986، الفصل 7 - علم النفس الفيزيائي كوجهة نظر مضادة)
  7. ↑ ستيجلر (1986، ص 253)
  8. ↑ ستيجلر (1986، ص 314-315)
  9. ↑ العلاقة بين الأقارب على افتراض الوراثة المندلية . رونالد أ. فيشر. المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في إدنبرة . 1918. (المجلد 52، الصفحات 399-433)
  10. ↑ فيشر، رونالد أ. (1921). "دراسات في تنوع المحاصيل. 1. دراسة محصول الحبوب المُعالجة من برودبالك". مجلة العلوم الزراعية . 11 (2): 107-135 . doi : 10.1017/S0021859600003750 . hdl : 2440/15170 . S2CID 86029217 . 
  11. ↑ فيشر، رونالد أ. (1923). "دراسات في تنوع المحاصيل. الجزء الثاني: استجابة أصناف البطاطس المختلفة للتسميد". مجلة العلوم الزراعية . 13 (3): 311-320 . doi : 10.1017/S0021859600003592 . hdl : 2440/15179 . S2CID 85985907 . 
  12. ↑ شيفيه (1959، ص 291، "تمت صياغة نماذج العشوائية لأول مرة بواسطة نيمان (1923) للتصميم العشوائي الكامل، بواسطة نيمان (1935) للكتل العشوائية، بواسطة ويلش (1937) وبيتمان (1937) للمربع اللاتيني في ظل فرضية صفرية معينة، وبواسطة كيمبثورن (1952، 1955) وويلك (1955) للعديد من التصاميم الأخرى.")
  13. ↑ مونتغمري (2001، الفصل 12: تجارب مع عوامل عشوائية)
  14. ↑ جيلمان (2005، ص 20-21)
  15. ↑ سنيديكور، جورج و.؛ كوكران، ويليام ج. (1967). الأساليب الإحصائية ( الطبعة السادسة). ص 321.  
  16. ↑ كوكران وكوكس (1992، ص 48)
  17. ↑ هاول (2002، ص 323)
  18. ↑ أندرسون، ديفيد ر.؛ سويني، دينيس ج.؛ ويليامز، توماس أ. (1996). الإحصاء للأعمال والاقتصاد ( الطبعة السادسة). مينيابوليس/سانت بول: دار نشر ويست. الصفحات 452-453 . ISBN   978-0-314-06378-6.
  19. ↑ أنسكومب (1948)
  20. ↑ هينكلمان، كلاوس؛ كيمبثورن، أوسكار (2005). تصميم وتحليل التجارب، المجلد 2: التصميم التجريبي المتقدم . جون وايلي. ص 213. ISBN  978-0-471-70993-0.
  21. ↑ كوكس، د. ر. (1992). تخطيط التجارب . وايلي. رقم ISBN 978-0-471-57429-3.
  22. ↑ كيمبثورن (1979، ص 30)
  23. 1 2 كوكس (1958، الفصل 2: ​​بعض الافتراضات الرئيسية)
  24. ↑ هينكلمان وكيمبثورن (2008، المجلد 1، في جميع أنحاء الكتاب. مقدمة في القسم 2.3.3: مبادئ التصميم التجريبي؛ النموذج الخطي؛ مخطط النموذج)
  25. ↑ هينكلمان وكيمبثورن (2008، المجلد 1، القسم 6.3: التصميم العشوائي الكامل؛ النموذج الخطي المشتق)
  26. 1 2 هينكلمان وكيمبثورن (2008، المجلد 1، القسم 6.6: التصميم العشوائي الكامل؛ تقريب اختبار العشوائية)
  27. ↑ بيلي (2008، الفصل 2.14 "نموذج أكثر عمومية" في بيلي، الصفحات 38-40)
  28. ↑ هينكلمان وكيمبثورن (2008، المجلد 1، الفصل 7: مقارنة العلاجات)
  29. ↑ كيمبثورن (1979، ص 125-126): "يجب على الباحث أن يقرر أيًّا من الأسباب المختلفة التي يعتقد أنها ستؤدي إلى اختلافات في نتائجه يجب التحكم بها تجريبيًا. أما الأسباب التي لا يتحكم بها تجريبيًا، لعدم علمه بها، فيجب عليه التحكم بها باستخدام أسلوب التوزيع العشوائي." "لا تكون سلسلة الاستدلال الاستقرائي سليمة إلا عندما يطبق الباحث المعالجات في التجربة باستخدام إجراء التوزيع العشوائي الكامل. في هذه الحالة فقط يستطيع الباحث أن يعزو أي تأثيرات يلاحظها إلى المعالجة وحدها. وفي هذه الحالة تكون استنتاجاته موثوقة إحصائيًا."
  30. ↑ فريدمان
  31. ↑ مونتغمري (2001، القسم 3.8: اكتشاف تأثيرات التشتت)
  32. ↑ هينكلمان وكيمبثورن (2008، المجلد 1، القسم 6.10: التصميم العشوائي الكامل؛ التحويلات)
  33. ↑ بيلي (2008)
  34. ↑ "معادلة كوشي الوظيفية" .
  35. ^ كوشي، أوغستين لويس (1821). Cours d'analyse de l'École royale polytechnique [ دورة التحليل في المدرسة الملكية للفنون التطبيقية ] (باللغة الفرنسية). طباعة رويال. ص 106 – 109. OL 6477125M .  
  36. ↑ "حل المعادلات بتحديد قيم الدالة المجهولة على مجموعة كثيفة". محاضرات في المعادلات الوظيفية وتطبيقاتها . الرياضيات في العلوم والهندسة. المجلد 19. 1966. الصفحات 31-139 . doi : 10.1016/S0076-5392(09)60208-3 . ISBN   978-0-12-043750-4.
  37. ↑ مونتغمري (2001، القسم 3-3: التجارب ذات العامل الواحد: تحليل التباين؛ تحليل نموذج التأثيرات الثابتة)
  38. ↑ كوكران وكوكس (1992، صفحة 2 مثال)
  39. ↑ كوكران وكوكس (1992، ص 49)
  40. ↑ هينكلمان وكيمبثورن (2008، المجلد 1، القسم 6.7: تصميم عشوائي بالكامل؛ تصميم عشوائي بالكامل مع عدد غير متساوٍ من التكرارات)
  41. ↑ مور وماكابي (2003، صفحة 763)
  42. 1 2 3 جيلمان (2008)
  43. 1 2 مونتغمري (2001، القسم 5-2: مقدمة في التصميمات العاملية؛ مزايا التصميمات العاملية)
  44. ↑ بيل (2008، القسم 8.4: التفاعلات من الرتبة العليا تحدث نادراً)
  45. ↑ مونتغمري (2001، القسم 5-1: مقدمة في التصميمات العاملية؛ التعريفات والمبادئ الأساسية)
  46. ↑ كوكس (1958، الفصل 6: الأفكار الأساسية حول التجارب العاملية)
  47. ↑ مونتغمري (2001، القسم 5-3.7: مقدمة في التصميمات العاملية؛ التصميم العاملي ذو العاملين؛ ملاحظة واحدة لكل خلية)
  48. ↑ ويلكنسون (1999، ص 596)
  49. ↑ مونتغمري (2001، القسم 3-7: تحديد حجم العينة)
  50. ↑ هاول (2002، الفصل 8: السلطة)
  51. ↑ هاول (2002، القسم 11.12: القوة (في تحليل التباين)
  52. ↑ هاول (2002، القسم 13.7: تحليل القدرة الإحصائية للتجارب العاملية)
  53. ↑ مور وماكابي (2003، الصفحات 778-780)
  54. 1 2 ويلكنسون (1999، ص 599)
  55. ↑ مونتغمري (2001، القسم 3-4: التحقق من كفاية النموذج)
  56. ↑ كوكران وكوكس (1957، ص 9، "القاعدة العامة هي أن الطريقة التي يتم بها إجراء التجربة لا تحدد فقط ما إذا كان من الممكن استخلاص استنتاجات، ولكن أيضًا الحسابات المطلوبة لإجرائها."
  57. ↑ "تصميم أنوفا" . bluebox.creighton.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 يناير 2023 .
  58. ↑ "تحليل التباين أحادي الاتجاه/العامل الواحد" . مؤرشف من الأصل في 7 نوفمبر 2014.
  59. ↑ "الخطأ المحتمل للمتوسط". Biometrika . 6 : 1–25 . 1908. doi : 10.1093/biomet/6.1.1 . hdl : 10338.dmlcz/143545 .
  60. ↑ مونتغمري (2001، القسم 3-3.4: البيانات غير المتوازنة)
  61. ↑ مونتغمري (2001، القسم 14-2: البيانات غير المتوازنة في التصميم العاملي)
  62. ↑ جيلمان (2005، ص 1) (مع تحفظ في النص اللاحق)
  63. ↑ مونتغمري (2001، القسم 3.9: نهج الانحدار لتحليل التباين)
  64. ↑ هاول (2002، ص 604)
  65. ↑ هاول (2002، الفصل 18: إعادة أخذ العينات والأساليب غير البارامترية للبيانات)
  66. ↑ مونتغمري (2001، القسم 3-10: الأساليب غير البارامترية في تحليل التباين)

مراجع

للمزيد من القراءة

  • فريدمان، ديفيد أ .؛ بيزاني، روبرت؛ بورفيس، روجر (2007). الإحصاء (  الطبعة الرابعة). دبليو دبليو نورتون وشركاه. ISBN 978-0-393-92972-0.
  • تاباشنيك، باربرا ج.؛ فيديل، ليندا س. (2006). استخدام الإحصاءات متعددة المتغيرات . طبعة بيرسون الدولية (  الطبعة الخامسة). نيدهام، ماساتشوستس: ألين وبيكون، إنك. ISBN 978-0-205-45938-4.