مصفوفة غرام

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 91 صور
الموسوعة الحرة

في الجبر الخطي ، مصفوفة غرام (أو مصفوفة غراميان ، غراميان ) للمتجهاتv1،...،vن{\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}في فضاء الضرب الداخلي، توجد مصفوفة هيرميتية للضربات الداخلية ، والتي تُعطى عناصرها بواسطة الضرب الداخلي.جيأناج=⟨vأنا،vج⟩{\displaystyle G_{ij}=\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle }[ 1 ] إذا كانت المتجهاتv1،...،vن{\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}هي أعمدة المصفوفةX{\displaystyle X}إذن، مصفوفة غرام هيX†X{\displaystyle X^{\dagger }X}في الحالة العامة التي تكون فيها إحداثيات المتجه أعدادًا مركبة، والتي تتبسط إلىX⊤X{\displaystyle X^{\top }X}في حالة كون إحداثيات المتجه أعدادًا حقيقية.

ومن التطبيقات المهمة حساب الاستقلال الخطي : مجموعة من المتجهات مستقلة خطيًا إذا وفقط إذا كان محدد غرام ( محدد مصفوفة غرام) غير صفري.

تم تسميته على اسم يورغن بيدرسن جرام .

أمثلة

بالنسبة للمتجهات الحقيقية ذات الأبعاد المحدودة فيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}باستخدام الضرب النقطي الإقليدي المعتاد ، تكون مصفوفة غرام هيجي=V⊤V{\displaystyle G=V^{\top }V}، أينV{\displaystyle V}هي مصفوفة أعمدتها هي المتجهاتvك{\displaystyle v_{k}}وV⊤{\displaystyle V^{\top }}هي منقولة المصفوفة التي تمثل صفوفها المتجهات.vك⊤{\displaystyle v_{k}^{\top }}بالنسبة للمتجهات المعقدة فيجن{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}،جي=V†V{\displaystyle G=V^{\dagger }V}، أينV†{\displaystyle V^{\dagger }}هو المنقول المترافق لـV{\displaystyle V}.

بالنظر إلى الدوال القابلة للتكامل التربيعي{ℓأنا(⋅)،أنا=1،...،ن}{\displaystyle \{\ell _{i}(\cdot ),\,i=1,\dots ,n\}}في الفترة[ت0،تو]{\displaystyle \left[t_{0},t_{f}\right]}مصفوفة غرامجي=[جيأناج]{\displaystyle G=\left[G_{ij}\right]}يكون:

جيأناج=∫ت0توℓأنا*(τ)ℓج(τ)دτ.{\displaystyle G_{ij}=\int _{t_{0}}^{t_{f}}\ell _{i}^{*}(\tau )\ell _{j}(\tau )\,d\tau .}

أينℓأنا*(τ){\displaystyle \ell _{i}^{*}(\tau )}هو المرافق المعقد لـℓأنا(τ){\displaystyle \ell _{i}(\tau )}.

لأي شكل ثنائي الخطيةب{\displaystyle B}في فضاء متجهي محدود الأبعاد، وعلى أي حقل، يمكننا تعريف مصفوفة غرامجي{\displaystyle G}مرفق بمجموعة من المتجهاتv1،...،vن{\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}بواسطةجيأناج=ب(vأنا،vج){\displaystyle G_{ij}=B\left(v_{i},v_{j}\right)}ستكون المصفوفة متناظرة إذا كان الشكل الثنائي الخطيب{\displaystyle B}متناظر.

التطبيقات

  • في الهندسة الريمانية ، بالنظر إلى عنصر مضمنك{\displaystyle k}مشعب ريماني ذو أبعادم⊂Rن{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}ومعاملةϕ:يو→م{\displaystyle \phi :U\to M}ل(x1،...،xك)∈يو⊂Rك{\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{k})\in U\subset \mathbb {R} ^{k}}، شكل الحجمω{\displaystyle \omega }علىم{\displaystyle M}يمكن حساب الناتج عن التضمين باستخدام مصفوفة غرام لمتجهات المماس الإحداثية:ω=المحققجي دx1⋯دxك،جي=[⟨∂ϕ∂xأنا،∂ϕ∂xج⟩].\displaystyle \omega =\sqrt {\det G}\ dx_{1}\cdots dx_{k},\quad G=\left[\left\langle {\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial \phi }{\partial x_{j}}}\right\rangle \right].}هذا يعمم التكامل السطحي الكلاسيكي لسطح ذي معلماتϕ:يو→S⊂R3{\displaystyle \phi :U\to S\subset \mathbb {R} ^{3}}ل(x،y)∈يو⊂R2{\displaystyle (x,y)\in U\subset \mathbb {R} ^{2}}:∫Sو دأ=∬يوو(ϕ(x،y))|∂ϕ∂x×∂ϕ∂y|دxدy.{\displaystyle \int _{S}f\ dA=\iint _{U}f(\phi (x,y))\,\left|{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\,{\times }\,{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right|\,dx\,dy.}
  • إذا كانت المتجهات عبارة عن متغيرات عشوائية مركزية ، فإن مصفوفة غرام تتناسب تقريبًا مع مصفوفة التغاير ، ويتم تحديد المقياس من خلال عدد العناصر في المتجه.
  • في الكيمياء الكمومية ، مصفوفة غرام لمجموعة من متجهات الأساس هي مصفوفة التداخل .
  • في نظرية التحكم (أو بشكل أعم نظرية الأنظمة )، تحدد مصفوفة غرام للتحكم ومصفوفة غرام للملاحظة خصائص النظام الخطي.
  • تنشأ مصفوفات غراميان في ملاءمة نموذج بنية التغاير (انظر على سبيل المثال، جامشيديان وبنتلر، 1993، القياس النفسي التطبيقي، المجلد 18، ص  79-94).
  • في طريقة العناصر المحدودة ، تنشأ مصفوفة غرام من تقريب دالة من فضاء محدود الأبعاد؛ ثم تكون مدخلات مصفوفة غرام هي الضرب الداخلي لدوال الأساس للفضاء الفرعي محدود الأبعاد.
  • في مجال تعلم الآلة ، غالباً ما تُمثَّل دوال النواة بمصفوفات غرام. [ 2 ] (انظر أيضاً تحليل المكونات الرئيسية باستخدام النواة )
  • بما أن مصفوفة غرام على الأعداد الحقيقية مصفوفة متناظرة ، فهي قابلة للتقطير وقيمها الذاتية غير سالبة. التقطير لمصفوفة غرام هو تحليل القيم المفردة .

ملكيات

شبه التحديد الإيجابي

تكون مصفوفة غرام متناظرة في حالة كون الضرب الداخلي ذا قيمة حقيقية؛ وهي هيرميتية في الحالة العامة المعقدة بحسب تعريف الضرب الداخلي .

مصفوفة غرام موجبة شبه محددة ، وكل مصفوفة موجبة شبه محددة هي مصفوفة غرامية لمجموعة ما من المتجهات. ويمكن إثبات أن مصفوفة غرامية موجبة شبه محددة من خلال الاشتقاق البسيط التالي:

x†جيx=∑أنا،جxأنا*xج⟨vأنا،vج⟩=∑أنا،ج⟨xأناvأنا،xجvج⟩=⟨∑أناxأناvأنا،∑جxجvج⟩=‖∑أناxأناvأنا‖2≥0.{\displaystyle x^{\dagger }\mathbf {G} x=\sum _{i,j}x_{i}^{*}x_{j}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =\sum _{i,j}\left\langle x_{i}v_{i},x_{j}v_{j}\right\rangle ={\biggl \langle }\sum _{i}x_{i}v_{i},\sum _{j}x_{j}v_{j}{\biggr \rangle }={\biggl \|}\sum _{i}x_{i}v_{i}{\biggr \|}^{2}\geq 0.}

تنتج المساواة الأولى من تعريف ضرب المصفوفات، والثانية والثالثة من الخطية الثنائية للجداء الداخلي ، والأخيرة من إيجابية الجداء الداخلي. لاحظ أن هذا يُظهر أيضًا أن مصفوفة غراميان موجبة تمامًا إذا وفقط إذا كانت المتجهاتvأنا{\displaystyle v_{i}}مستقلة خطيًا (أي،∑أناxأناvأنا≠0{\textstyle \sum _{i}x_{i}v_{i}\neq 0}للجميعx{\displaystyle x}). [ 1 ]

إيجاد تمثيل متجهي

بفرض أي مصفوفة شبه موجبة محددةم{\displaystyle M}يمكن تحليلها على النحو التالي:

م=ب†ب{\displaystyle M=B^{\dagger }B}،

أينب†{\displaystyle B^{\dagger }}هو المنقول المترافق لـب{\displaystyle B}(أوم=بتيب{\displaystyle M=B^{\textsf {T}}B}(في الحالة الحقيقية).

هناب{\displaystyle B}هوك×ن{\displaystyle k\times n}المصفوفة، حيثك{\displaystyle k}هي رتبة​م{\displaystyle M}تتضمن الطرق المختلفة للحصول على هذا التحليل حساب تحليل تشوليسكي أو أخذ الجذر التربيعي غير السالب لـم{\displaystyle M}.

الأعمدةب(1)،...،ب(ن){\displaystyle b^{(1)},\dots ,b^{(n)}}لب{\displaystyle B}يمكن اعتبارها متجهات n فيجك{\displaystyle \mathbb {C} ^{k}}(أو الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد k)Rك{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}(في الحالة الحقيقية). ثم

مأناج=ب(أنا)⋅ب(ج){\displaystyle M_{ij}=b^{(i)}\cdot b^{(j)}}

حيث الضرب النقطيأ⋅ب=∑ℓ=1كأℓ*بℓ{\textstyle a\cdot b=\sum _{\ell =1}^{k}a_{\ell }^{*}b_{\ell }}المنتج الداخلي المعتاد علىجك{\displaystyle \mathbb {C} ^{k}}.

وبالتالي فإن المصفوفة الهرميتيةم{\displaystyle M}تكون موجبة شبه محددة إذا وفقط إذا كانت مصفوفة غرام لبعض المتجهاتب(1)،...،ب(ن){\displaystyle b^{(1)},\dots ,b^{(n)}}تُسمى هذه المتجهات بالتمثيل المتجهي لـم{\displaystyle M}. النظير اللانهائي الأبعاد لهذا البيان هو نظرية ميرسر .

تفرد تمثيلات المتجهات

لوم{\displaystyle M}هي مصفوفة غرام للمتجهاتv1،...،vن{\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}فيRك{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}ثم تطبيق أي دوران أو انعكاس لـRك{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}أي تحويل متعامد ( أي أي تماثل إقليدي يحافظ على الصفر) لتسلسل المتجهات ينتج عنه نفس مصفوفة غرام. أي، لأيك×ك{\displaystyle k\times k}المصفوفة المتعامدةسؤال{\displaystyle Q}، مصفوفة غرام لـسؤالv1،...،سؤالvن{\displaystyle Qv_{1},\dots ,Qv_{n}}وهو أيضًام{\displaystyle M}.

هذه هي الطريقة الوحيدة التي يمكن من خلالها الحصول على تمثيلين متجهين حقيقيين لـم{\displaystyle M}قد تختلف: المتجهاتv1،...،vن{\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}تكون فريدة حتى التحويلات المتعامدة . بعبارة أخرى، حاصل الضرب النقطيvأنا⋅vج{\displaystyle v_{i}\cdot v_{j}}وwأنا⋅wج{\displaystyle w_{i}\cdot w_{j}}تكون متساوية إذا وفقط إذا كان هناك تحويل جامد لـRك{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}تحويل المتجهاتv1،...،vن{\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}لw1،...،wن{\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n}}و 0 إلى 0.

وينطبق الأمر نفسه في الحالة المعقدة، مع استخدام التحويلات الوحدوية بدلاً من التحويلات المتعامدة. أي، إذا كانت مصفوفة غرام للمتجهاتv1،...،vن{\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}يساوي مصفوفة غرام للمتجهاتw1،...،wن{\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n}}فيجك{\displaystyle \mathbb {C} ^{k}}ثم هناك وحدةك×ك{\displaystyle k\times k}مصفوفةيو{\displaystyle U}(معنىيو†يو=أنا{\displaystyle U^{\dagger }U=I}) بحيثvأنا=يوwأنا{\displaystyle v_{i}=Uw_{i}}لأنا=1،...،ن{\displaystyle i=1,\dots ,n}[ 3 ]​

خصائص أخرى

  • لأنجي=جي†{\displaystyle G=G^{\dagger }}، من الضروري أنجي{\displaystyle G}وجي†{\displaystyle G^{\dagger }}التنقل. أي مصفوفة غرام حقيقية أو معقدةجي{\displaystyle G}وهي أيضًا مصفوفة عادية .
  • مصفوفة غرام لأي أساس متعامد هي مصفوفة الوحدة. وعلى وجه الخصوص، فإن مصفوفة غرام لصفوف أو أعمدة مصفوفة دوران حقيقية هي مصفوفة الوحدة. وبالمثل، فإن مصفوفة غرام لصفوف أو أعمدة مصفوفة وحدوية هي مصفوفة الوحدة.
  • رتبة مصفوفة غرام للمتجهات فيRك{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}أوجك{\displaystyle \mathbb {C} ^{k}}يساوي بُعد الفضاء الذي تمتد عليه هذه المتجهات. [ 1 ]

محدد غرام

محدد غرام أو غراميان هو محدد مصفوفة غرام: |جي(v1،...،vن)|=|⟨v1،v1⟩⟨v1،v2⟩...⟨v1،vن⟩⟨v2،v1⟩⟨v2،v2⟩...⟨v2،vن⟩⋮⋮⋱⋮⟨vن،v1⟩⟨vن،v2⟩...⟨vن،vن⟩|.{\displaystyle {\bigl |}G(v_{1},\dots ,v_{n}){\bigr |}={\begin{vmatrix}\langle v_{1},v_{1}\rangle &\langle v_{1},v_{2}\rangle &\dots &\langle v_{1},v_{n}\rangle \\\langle v_{2},v_{1}\rangle &\langle v_{2},v_{2}\rangle &\dots &\langle v_{2},v_{n}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle v_{n},v_{1}\rangle &\langle v_{n},v_{2}\rangle &\dots &\langle v_{n},v_{n}\rangle \end{vmatrix}}.}

لوv1،...،vن{\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}هي متجهات فيRم{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}إذن، هو مربع حجم متوازي السطوح ذي الأبعاد n المُشكَّل من المتجهات. على وجه الخصوص، تكون المتجهات مستقلة خطيًا إذا وفقط إذا كان حجم متوازي السطوح غير صفري في الأبعاد n ، وإذا وفقط إذا كان محدد مصفوفة غرام غير صفري، وإذا وفقط إذا كانت مصفوفة غرام غير منفردة . عندما n > m، يكون كل من المحدد والحجم صفرًا. عندما n = m ، يختزل هذا إلى النظرية القياسية التي تنص على أن القيمة المطلقة لمحدد n متجهًا في الأبعاد n هي حجم متوازي السطوح في الأبعاد n . حجم المجسم البسيط المُشكَّل من المتجهات هو حجم متوازي السطوح / n !

متىv1،...،vن{\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}مستقلة خطيًا، المسافة بين نقطةx{\displaystyle x}والامتداد الخطي لـv1،...،vن{\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}يكون|جي(x،v1،...،vن)||جي(v1،...،vن)|{\displaystyle {\sqrt {\frac {|G(x,v_{1},\dots ,v_{n})|}{|G(v_{1},\dots ,v_{n})|}}}}.

لننظر في مسألة العزوم: معطىج1،...،جن∈ج{\displaystyle c_{1},\dots ,c_{n}\in \mathbb {C} }، ابحث عن متجهv{\displaystyle v}بحيث⟨v،vأنا⟩=جأنا{\textstyle \left\langle v,v_{i}\right\rangle =c_{i}}للجميع1⩽أنا⩽ن{\textstyle 1\leqslant i\leqslant n}يوجد حل وحيد ذو معيار أدنى: [ 4 ] : ​​38v=-1جي(v1،v2،...،vن)المحقق[0ج1ج2⋯جنv1⟨v1،v1⟩⟨v1،v2⟩⋯⟨v1،vن⟩v2⟨v2،v1⟩⟨v2،v2⟩⋯⟨v2،vن⟩⋮⋮⋮⋱⋮vن⟨vن،v1⟩⟨vن،v2⟩⋯⟨vن،vن⟩]{\displaystyle v=-{\frac {1}{G\left(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\right)}}\det {\begin{bmatrix}0&c_{1}&c_{2}&\cdots &c_{n}\\v_{1}&\left\langle v_{1},v_{1}\right\rangle &\left\langle v_{1},v_{2}\right\rangle &\cdots &\left\langle v_{1},v_{n}\right\rangle \\v_{2}&\left\langle v_{2},v_{1}\right\rangle &\left\langle v_{2},v_{2}\right\rangle &\cdots &\left\langle v_{2},v_{n}\right\rangle \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\v_{n}&\left\langle v_{n},v_{1}\right\rangle &\left\langle v_{n},v_{2}\right\rangle &\cdots &\left\langle v_{n},v_{n}\right\rangle \end{bmatrix}}}يمكن أيضًا التعبير عن محدد غرام بدلالة الضرب الخارجي للمتجهات بواسطة

|جي(v1،...،vن)|=‖v1∧⋯∧vن‖2.{\displaystyle {\bigl |}G(v_{1},\dots ,v_{n}){\bigr |}=\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\|^{2}.}

وبالتالي ، فإن محدد غرام يوفر حاصل ضرب داخلي للفضاء⋀ن(V){\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)}⁠ . إذا كان الأساس متعامدًا e i , i = 1, 2, ..., n على ⁠V{\displaystyle V}إذا تم إعطاء المتجهات

هـأنا1∧⋯∧هـأنان،أنا1<⋯<أنان،{\displaystyle e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{n}},\quad i_{1}<\cdots <i_{n},}

ستشكل أساسًا متعامدًا للأحجام ذات الأبعاد n على الفضاء⋀ن(V){\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)}ثم مُحدِّد غرام|جي(v1،...،vن)|{\displaystyle {\bigl |}G(v_{1},\dots ,v_{n}){\bigr |}}يُعادل ذلك نظرية فيثاغورس ذات الأبعاد n لحجم متوازي السطوح المُشكَّل بواسطة المتجهاتv1∧⋯∧vن{\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}}من حيث توقعاتها على الأحجام الأساسيةهـأنا1∧⋯∧هـأنان{\displaystyle e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{n}}}.

عندما تكون المتجهاتv1،...،vن∈Rم{\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {R} ^{m}}يتم تحديدها من مواقع النقاطص1،...،صن{\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}نسبةً إلى نقطة مرجعية معينةصن+1{\displaystyle p_{n+1}}،

(v1،v2،...،vن)=(ص1-صن+1،ص2-صن+1،...،صن-صن+1)،{\displaystyle (v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})=(p_{1}-p_{n+1},p_{2}-p_{n+1},\ldots ,p_{n}-p_{n+1})\,,}

عندئذٍ يمكن كتابة محدد غرام على أنه الفرق بين محددين لغرام،

|جي(v1،...،vن)|=|جي((ص1،1)،...،(صن+1،1))|-|جي(ص1،...،صن+1)|،{\displaystyle {\bigl |}G(v_{1},\dots ,v_{n}){\bigr |}={\bigl |}G((p_{1},1),\dots ,(p_{n+1},1)){\bigr |}-{\bigl |}G(p_{1},\dots ,p_{n+1}){\bigr |}\,,}

حيث كل(صج،1){\displaystyle (p_{j},1)}هي النقطة المقابلةصج{\displaystyle p_{j}}بالإضافة إلى قيمة الإحداثيات 1 لـ(م+1){\displaystyle (m+1)}البعد الأول. لاحظ أنه في الحالة الشائعة التي يكون فيها n = m ، فإن الحد الثاني على الجانب الأيمن سيكون صفرًا.

بناء أساس متعامد معياري

بالنظر إلى مجموعة من المتجهات المستقلة خطيًا{vأنا}{\displaystyle \{v_{i}\}}باستخدام مصفوفة غرامجي{\displaystyle G}محدد بواسطةجيأناج:=⟨vأنا،vج⟩{\displaystyle G_{ij}:=\langle v_{i},v_{j}\rangle }حيث يكون الضرب الداخلي خطيًا مترافقًا في الوسيط الأول، يمكن للمرء إنشاء أساس متعامد معياري

uأنا:=∑ج(جي-1/2)جأناvج.{\displaystyle u_{i}:=\sum _{j}{\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}_{ji}v_{j}.}

في تدوين المصفوفات،يو=Vجي-1/2{\displaystyle U=VG^{-1/2}}، أينيو{\displaystyle U}يحتوي على متجهات أساسية متعامدة{uأنا}{\displaystyle \{u_{i}\}}والمصفوفةV{\displaystyle V}يتكون من متجهات الأعمدة المعطاة{vأنا}{\displaystyle \{v_{i}\}}.

المصفوفةجي-1/2{\displaystyle G^{-1/2}}من المؤكد وجودها. في الواقع،جي{\displaystyle G}هيرميتية، وبالتالي يمكن تحليلها إلىجي=يوديو†{\displaystyle G=UDU^{\dagger }}معيو{\displaystyle U}مصفوفة وحدوية ود{\displaystyle D}مصفوفة قطرية حقيقية. بالإضافة إلى ذلك،vأنا{\displaystyle v_{i}}تكون المتغيرات مستقلة خطيًا إذا وفقط إذاجي{\displaystyle G}هي موجبة تمامًا، مما يعني أن عناصر القطر الرئيسي لـد{\displaystyle D}إيجابي.جي-1/2{\displaystyle G^{-1/2}}وبالتالي، يتم تعريفها بشكل فريد بواسطةجي-1/2:=يود-1/2يو†{\displaystyle G^{-1/2}:=UD^{-1/2}U^{\dagger }}يمكن التحقق من أن هذه المتجهات الجديدة متعامدة:

⟨uأنا،uج⟩=∑أنا′∑ج′⟨(جي-1/2)أنا′أناvأنا′،(جي-1/2)ج′جvج′⟩=∑أنا′∑ج′(جي-1/2)أناأنا′جيأنا′ج′(جي-1/2)ج′ج=(جي-1/2جيجي-1/2)أناج=دلتاأناج{\displaystyle {\begin{aligned}\langle u_{i},u_{j}\rangle &=\sum _{i'}\sum _{j'}{\Bigl \langle }{\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}_{i'i}v_{i'},{\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}_{j'j}v_{j'}{\Bigr \rangle }\\[10mu]&=\sum _{i'}\sum _{j'}{\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}_{ii'}G_{i'j'}{\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}_{j'j}\\[8mu]&={\bigl (}G^{-1/2}GG^{-1/2}{\bigr )}_{ij}=\delta _{ij}\end{aligned}}}

حيث استخدمنا(جي-1/2)†=جي-1/2{\displaystyle {\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}^{\dagger }=G^{-1/2}}.

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 3 هورن وجونسون 2013 ، ص 441 ، ص 441، النظرية 7.2.10 
  2. ↑ لانكريت، جي آر جي؛ كريستيانيني، ن.؛ بارتليت، ب.؛ غاوي، إل إي؛ جوردان، إم آي (2004). تعلم مصفوفة النواة باستخدام البرمجة شبه المحددة . مجلة أبحاث تعلم الآلة (تقرير). المجلد  5. الصفحات  27-72 [الصفحة 29].
  3. ↑ هورن وجونسون (2013) ، ص 452، النظرية 7.3.11
  4. ↑ رامون، غارسيا، ستيفان؛ جواد، مشرقي؛ ت.، روس، ويليام (30 يناير 2023). "نظرية المؤثرات بالأمثلة" . منشورات جامعة أكسفورد الأكاديمية . doi : 10.1093/oso/9780192863867.001.0001 .{{cite journal}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )