نقطة مقابلة

في الرياضيات ، تسمى نقطتان على الكرة (أو الكرة ذات البعد n ، بما في ذلك الدائرة ) نقطتين متقابلتين أو متقابلتين قطريًا إذا كانتا نقطتي نهاية قطر ، وهو قطعة مستقيمة بين نقطتين على الكرة وتمر بمركزها . ^{[ 1 ]}

لأي نقطة على سطح الكرة، فإن النقطة المقابلة لها هي النقطة الوحيدة الأبعد ، سواءً قُيست المسافة داخليًا ( مسافة الدائرة العظمى على سطح الكرة) أو خارجيًا ( مسافة الوتر عبر باطن الكرة). كل دائرة عظمى على الكرة تمر بنقطة تمر أيضًا بنقطتها المقابلة، وهناك عدد لا نهائي من الدوائر العظمى التي تمر بزوج من النقاط المقابلة (على عكس أي زوج من النقاط غير المقابلة، حيث توجد دائرة عظمى واحدة تمر بكلتيهما). تعتمد العديد من نتائج الهندسة الكروية على اختيار نقاط غير مقابلة، وتتلاشى إذا سُمح بالنقاط المقابلة؛ على سبيل المثال، يتحول المثلث الكروي إلى هلال غير محدد إذا كان اثنان من رؤوسه مقابلين.

تُسمى النقطة المقابلة لنقطة معينة بـ " النقاط المقابلة" (antipodes )، من الكلمة اليونانية ἀντίποδες ( antípodes ) التي تعني "الأقدام المقابلة"؛ انظر Antipodes §  أصل الكلمة . أحيانًا يُحذف حرف "s" ، فتُصبح الكلمة antipode ، وهي اشتقاق عكسي .

يُعمم مفهوم النقاط المتقابلة على الكرات ذات الأبعاد المختلفة: نقطتان على الكرة تكونان متقابلتين إذا كانتا متقابلتين عند مركزها . كل خط يمر بالمركز يتقاطع مع الكرة في نقطتين، واحدة لكل شعاع منبثق من المركز، وهاتان النقطتان متقابلتان.

تُعدّ نظرية بورزوك -أولام نتيجةً من الطوبولوجيا الجبرية التي تتناول أزواج النقاط هذه. وتنص على أن أي دالة متصلة من${\displaystyle S^{n}}$ل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يرسم الخرائط زوجًا من النقاط المتقابلة في${\displaystyle S^{n}}$إلى نفس النقطة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$هنا،${\displaystyle S^{n}}$يشير إلى${\displaystyle n}$كرة ذات أبعاد${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يكون${\displaystyle n}$فضاء إحداثيات حقيقي ذو أبعاد n .

الخريطة المتقابلة${\displaystyle A:S^{n}\to S^{n}}$يرسل كل نقطة على الكرة إلى النقطة المقابلة لها. إذا كانت النقاط على${\displaystyle n}$يتم تمثيل الكرة كمتجهات إزاحة من مركز الكرة في الفضاء الإقليدي${\displaystyle (n+1)}$في الفضاء، يتم تمثيل نقطتين متقابلتين بواسطة معكوسات جمعية.${\displaystyle \mathbf {v} }$و${\displaystyle -\mathbf {v} ,}$ويمكن تعريف الخريطة المقابلة على النحو التالي:${\displaystyle A(\mathbf {x} )=-\mathbf {x} .}$تحافظ الخريطة المتقابلة على التوجيه ( متماثلة مع خريطة التطابق ) ^{[ 2 ]} عندما${\displaystyle n}$وهو أمر غريب، ويعكسه عندما${\displaystyle n}$هو زوجي. درجته هي${\displaystyle (-1)^{n+1}.}$

إذا تم تحديد النقاط المتقابلة (اعتبارها متكافئة)، فإن الكرة تصبح نموذجًا للفضاء الإسقاطي الحقيقي .

• موضع القطع

• "المضادات" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• "مضاد القطب" . بلانيت ماث .