هلال كروي

في الهندسة الكروية ، الهلال الكروي (أو المثلث الثنائي ) هو منطقة على سطح الكرة محصورة بين نصفي دائرتين عظيمتين تلتقيان عند نقطتين متقابلتين . ^{[ 1 ]} وهو مثال على شكل ثنائي ، _θ ، بزاوية ثنائية السطوح θ. ^{[ 2 ]} كلمة "هلال" مشتقة من كلمة " لونا " اللاتينية التي تعني القمر.

الدوائر العظمى هي أكبر الدوائر (المحيطات) الممكنة للكرة ؛ حيث تقسم كل دائرة سطح الكرة إلى نصفين متساويين. تتقاطع دائرتان عظميان دائمًا عند نقطتين متقابلتين قطبيًا.

من الأمثلة الشائعة للدوائر العظمى خطوط الطول ( خطوط الزوال ) على الكرة الأرضية، والتي تلتقي عند القطبين الشمالي والجنوبي.

للهلال الكروي مستويان من التناظر. يمكن تقسيمه إلى هلالين متساويين في نصف الزاوية، أو يمكن تقسيمه بواسطة خط استوائي إلى مثلثين كرويين قائمي الزاوية .

مساحة السطح

مساحة سطح الهلال الكروي هي 2θ R ² ، حيث R هو نصف قطر الكرة و θ هي الزاوية ثنائية السطوح بالراديان بين نصفي الدائرة العظمى.

عندما تساوي هذه الزاوية 2π راديان (360 درجة) - أي عندما يتحرك النصف الثاني من الدائرة العظمى دورة كاملة، ويغطي الهلال بينهما الكرة كشكل كروي أحادي - فإن صيغة مساحة الهلال الكروي تعطي 4π R ² ، وهي مساحة سطح الكرة .

المجسم المتماثل هو تقسيم للكرة بواسطة الأهلة. المجسم المتماثل المنتظم ذو n ضلعًا، {2,n}، له n أهلة متساوية بزاوية π/ n راديان. يتمتع المجسم المتماثل ذو n ضلعًا بتناظر ثنائي السطوح D _{n h} , [ n ,2], (*22 n ) من الرتبة 4 n . كل هلال على حدة له تناظر دوري C _2v , [2], (*22 ) من الرتبة 4.

يمكن تقسيم كل شكل كروي متساوي الأضلاع بواسطة منصف استوائي إلى مثلثين كرويين متساويين .

عائلة من الهوسوهيدرا المنتظمة

ن	2	3	4	5	6	...
هوسوهيدرا						...
تبليط ثنائي الهرم						...

الجزء المضاء من القمر المرئي من الأرض هو هلال كروي. الدائرة العظمى الأولى من الدائرتين المتقاطعتين هي خط الفصل بين نصف القمر المضاء بنور الشمس ونصفه الآخر المظلم. أما الدائرة العظمى الثانية فهي خط الفصل الأرضي الذي يفصل النصف المرئي من الأرض عن النصف المظلم. يُرى الهلال الكروي على شكل هلال مضيء من الأرض.

يمكن تعريف الأهلة على الكرات ذات الأبعاد الأعلى أيضًا.

في الفضاء رباعي الأبعاد، تُعتبر الكرة ثلاثية الأبعاد كرة معممة. ويمكن أن تحتوي على هلالين ثنائيين منتظمين على النحو التالي: {2} _θ,φ ، حيث θ و φ زاويتان ثنائيتان.

على سبيل المثال، يحتوي المجسم المنتظم {2,p,q} على أوجه ثنائية، {2} _2π/p,2π/q ، حيث يكون شكل رأس المجسم عبارة عن مجسم أفلاطوني كروي ، {p,q}. يُحدد كل رأس من رؤوس {p,q} ضلعًا في المجسم، وتُحدد أزواج الأضلاع المتجاورة أوجهًا هلالية. أو بتعبير أدق، يحتوي المجسم المنتظم {2,4,3} على رأسين، و8 أضلاع قوسية بزاوية 180 درجة في مكعب ، {4,3}، وشكل رأس بين الرأسين، و12 وجهًا هلاليًا، {2} _π/4,π/3 ، بين أزواج الأضلاع المتجاورة، و6 خلايا متماثلة الأوجه، {2,p} _π/3 .

• Beyer, WH CRC Standard Mathematical Tables , 28th ed. Boca Raton, Florida: CRC Press, p.  130, 1987.
• هاريس، جيه دبليو وستوكر، إتش. "الوتد الكروي". §4.8.6 في كتيب الرياضيات وعلوم الحاسوب. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ص  108، 1998.
• جيليرت، دبليو؛ جوتوالد، S .؛ هيلويتش، م. كاستنر، هـ؛ وكونستنر، هـ. (محرران). موسوعة VNR المختصرة للرياضيات ، الطبعة الثانية. نيويورك: فان نوستراند رينهولد، ص.  262، 1989.