دالة ديكمان

في نظرية الأعداد التحليلية ، تُعد دالة ديكمان ، أو دالة ديكمان-دي بروين ρ ، دالة خاصة تُستخدم لتقدير نسبة الأعداد السلسة حتى حد معين. وقد درسها لأول مرة الخبير الاكتواري كارل ديكمان ، الذي عرّفها في منشوره الرياضي الوحيد. ^{[ 1 ]} ثم درسها لاحقًا عالم الرياضيات الهولندي نيكولاس جوفيرت دي بروين . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

دالة ديكمان-دي بروين${\displaystyle \rho (u)}$هي دالة متصلة تحقق معادلة التفاضل التأخيري

${\displaystyle u\rho '(u)+\rho (u-1)=0\,}$

مع الشروط الأولية${\displaystyle \rho (u)=1}$لـ 0  ≤ u ≤ 1.   

أثبت ديكمان ذلك عندما${\displaystyle a}$ثابت، لدينا

${\displaystyle \Psi (x,x^{1/a})\sim x\rho (a)\,}$

أين${\displaystyle \Psi (x,y)}$يمثل عدد الأعداد الصحيحة ذات النعومة y (أو الهشاشة y ) التي تقل عن x . وبصورة مكافئة، يمثل عدد ${\displaystyle B}$- أرقام سلسة أقل من${\displaystyle N}$يتعلق الأمر بـ $${\displaystyle \Psi (N,B)\approx N\rho \left({\frac {\log N}{\log B}}\right).}$$

قدم راماسوامي لاحقًا برهانًا دقيقًا على أنه بالنسبة لقيمة ثابتة لـ a ،${\displaystyle \Psi (x,x^{1/a})}$كان مقاربًا لـ${\displaystyle x\rho (a)}$، مع حد الخطأ

${\displaystyle \Psi (x,x^{1/a})=x\rho (a)+O(x/\log x)}$

باستخدام ترميز ^Big O. [ ^{4 ]}

يقدم كنوت برهاناً لحدود ضيقة:

${\displaystyle \Psi (x,x^{1/a})=x\rho (a)+(1-\gamma )\rho (a-1)(x/\log x)+O(x/{(\log x)}^{2})}$

حيث γ هو ثابت أويلر . ^{[ 5 ] : 98}

يتمثل الغرض الرئيسي من دالة ديكمان-دي بروين في تقدير تكرار الأعداد السلسة عند حجم معين. ويمكن استخدام هذه الدالة لتحسين العديد من الخوارزميات النظرية للأعداد، مثل تحليل P-1، كما أنها مفيدة بحد ذاتها. ^{[ 5 ]}

يمكن إثبات ذلك ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \Psi (x,y)=xu^{O(-u)}}$

وهو ما يرتبط بالتقدير${\displaystyle \rho (u)\approx u^{-u}}$أقل.

للثابت غولومب -ديكمان تعريف بديل من حيث دالة ديكمان-دي بروين.

قد يكون التقريب الأولي هو${\displaystyle \rho (u)\approx u^{-u}.\,}$التقدير الأفضل هو ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \rho (u)\sim {\frac {1}{\xi {\sqrt {2\pi u}}}}\cdot \exp(-u\xi +\operatorname {Ei} (\xi ))}$

حيث Ei هو التكامل الأسي و ξ هو الجذر الموجب لـ

${\displaystyle e^{\xi }-1=u\xi .\,}$

الحد الأعلى البسيط هو${\displaystyle \rho (x)\leq 1/x!.}$

${\displaystyle u}$	${\displaystyle \rho (u)}$
1	1
2	3.0685282 × 10-1
3	4.8608388 × 10-2
4	4.9109256 × 10-3
5	3.5472470 × 10-4
6	1.9649696 × 10-5
7	8.7456700 × 10-7
8	3.2320693 × 10-8
9	1.0162483 × 10-9
10	2.7701718 × 10-11

لكل فترة [ n  -  1, n ] حيث n عدد صحيح ، توجد دالة تحليلية ${\displaystyle \rho _{n}}$بحيث${\displaystyle \rho _{n}(u)=\rho (u)}$. بالنسبة لـ 0  ≤ u ≤ 1،   ${\displaystyle \rho (u)=1}$. بالنسبة لـ 1  ≤ u ≤ 2،   ${\displaystyle \rho (u)=1-\log u}$. بالنسبة لـ 2  ≤ u ≤ 3،   

${\displaystyle \rho (u)=1-(1-\log(u-1))\log(u)+\operatorname {Li} _{2}(1-u)+{\frac {\pi ^{2}}{12}}.}$

مع Li ₂ ثنائي اللوغاريتم . أخرى${\displaystyle \rho _{n}}$يمكن حسابها باستخدام المتسلسلات اللانهائية. ^{[ 8 ]}

ثمة طريقة بديلة تتمثل في حساب الحدود الدنيا والعليا باستخدام قاعدة شبه المنحرف ؛ ^{[ 7 ]} حيث تسمح شبكة ذات أحجام متدرجة الدقة بتحقيق دقة اختيارية. أما بالنسبة للحسابات عالية الدقة (مئات الأرقام)، فإن توسيع متسلسلة تكرارية حول نقاط منتصف الفترات يُعدّ أفضل. ^{[ 9 ]} ويمكن حساب قيم u  ≤ 7 بكفاءة عبر التكامل العددي في نظام الفاصلة العائمة ذي الدقة المزدوجة العادية. ^{[ 5 ] : 99} 

يُعرّف فريدلاندر نظيرًا ثنائي الأبعاد${\displaystyle \sigma (u,v)}$ل${\displaystyle \rho (u)}$[ ^{10 ]} تُستخدم هذه الدالة لتقدير ^دالة${\displaystyle \Psi (x,y,z)}$على غرار طريقة دي بروين، ولكن مع حساب عدد الأعداد الصحيحة الملساء بالنسبة لـ y والتي تحتوي على عامل أولي واحد على الأكثر أكبر من z . ثم

${\displaystyle \Psi (x,x^{1/a},x^{1/b})\sim x\sigma (b,a).\,}$

قد تُصادف هذه الفئة من الأعداد في صيغة التحليل إلى عوامل P-1 ذات المرحلتين. مع ذلك، فإن تقدير كروبا لاحتمالية إيجاد عامل باستخدام P-1 لا يعتمد على هذه النتيجة. ^{[ 5 ] : 100}

• دالة Buchstab ، وهي دالة تُستخدم بشكل مشابه لتقدير عدد الأعداد التقريبية ، والتي يتقارب تقاربها إلى${\displaystyle e^{-\gamma }}$يتم التحكم فيه بواسطة دالة ديكمان
• ثابت غولومب-ديكمان
• توزيع بواسون-ديريشلي

• برودهيرست، ديفيد (2010). "متعددات لوغاريتمات ديكمان وثوابتها". arXiv : 1004.0519 [ math-ph ].
• سونداراراجان، كانان (2012). " توسع تقاربي مرتبط بدالة ديكمان". مجلة رامانوجان . 29 ( 1-3 ): 25-30 . arXiv : 1005.3494 . doi : 10.1007/s11139-011-9304-3 . MR 2994087. S2CID 119564455 .  
• وايسشتاين، إريك دبليو. "دالة ديكمان" . عالم الرياضيات .