تجزئة معادلات نافيير-ستوكس

بالنسبة لشبكة ديكارتية ثنائية الأبعاد، يمكن توسيع المعادلة إلى $$\begin{aligned}\frac{\partial u_{i}}{\partial t}\Delta x\Delta y-\left(u_{i}u\Delta y\right)_{w}+\left(u_{i}u\Delta y\right)_{e}-\left(u_{i}v\Delta x\right)_{s}+\left(u_{i}v\Delta x\right)_{n}=\\&-\left(Pn_{i}\Delta y\right)_{w}-\left(Pn_{i}\Delta y\right)_{e}-\left(Pn_{i}\Delta x\right)_{s}-\left(Pn_{i}\Delta x\right)_{n}\\&-\left(\nu {\frac {\partial u_{i}}{\partial x}}\Delta y\right)_{w}+\left(\nu {\frac {\partial u_{i}}{\partial x}}\Delta y\right)_{e}-\left(\nu {\frac {\partial u_{i}}{\partial y}}\Delta x\right)_{s}+\left(\nu {\frac {\partial u_{i}}{\partial y}}\Delta x\right)_{n}+f_{i}\end{aligned}}}$$

على شبكة متداخلة ، تكون معادلة الزخم في الاتجاه السيني هي $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial u}{\partial t}}\Delta x\Delta y-\left(uu\Delta y\right)_{w}+\left(uu\Delta y\right)_{e}-\left(uv\Delta x\right)_{s}+\left(uv\Delta x\right)_{n}=\\&+\left(P\Delta y\right)_{w}-\left(P\Delta y\right)_{e}-\left(\nu {\frac {\partial u}{\partial x}}\Delta y\right)_{w}+\left(\nu {\frac {\partial u}{\partial x}}\Delta y\right)_{e}-\left(\nu {\frac {\partial u}{\partial y}}\Delta x\right)_{s}+\left(\nu {\frac {\partial u}{\partial y}}\Delta x\right)_{n}+f_{x}\end{aligned}}}$$ ومعادلة الزخم في الاتجاه y هي $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial v}{\partial t}}\Delta x\Delta y-\left(vu\Delta y\right)_{w}+\left(vu\Delta y\right)_{e}-\left(vv\Delta x\right)_{s}+\left(vv\Delta x\right)_{n}=\\&+\left(P\Delta x\right)_{s}-\left(P\Delta x\right)_{n}-\left(\nu {\frac {\partial v}{\partial x}}\Delta y\right)_{w}+\left(\nu {\frac {\partial v}{\partial x}}\Delta y\right)_{e}-\left(\nu {\frac {\partial v}{\partial y}}\Delta x\right)_{s}+\left(\nu {\frac {\partial v}{\partial y}}\Delta x\right)_{n}+f_{y}\end{aligned}}}$$

الهدف في هذه المرحلة هو تحديد تعابير القيم الظاهرية لـ u و v و P ، وتقريب المشتقات باستخدام تقريبات الفروق المحدودة . في هذا المثال، سنستخدم الفروق الخلفية للمشتقة الزمنية والفروق المركزية للمشتقات المكانية. بالنسبة لمعادلتي الزخم، تصبح المشتقة الزمنية كما يلي: $${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}={\frac {u_{i}^{n}-u_{i}^{n-1}}{\Delta t}}}$$ حيث n هو مؤشر الوقت الحالي وΔt هي خطوة الزمن. كمثال على المشتقات المكانية، تصبح المشتقة في حد الانتشار على الواجهة الغربية في معادلة زخم x كما يلي: $${\displaystyle \left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)_{w}={\frac {u_{I,J}-u_{I-1,J}}{\Delta x}}}$$ حيث يمثل I و J مؤشري خلية الزخم x ذات الأهمية.