التجزئة

يُعدّ التقييم العددي لـ Q _d أكثر تعقيدًا بعض الشيء نظرًا لتكامل المصفوفة الأسي. ومع ذلك، يمكن حسابه عن طريق إنشاء مصفوفة أولًا، ثم حساب أسّها ^{[ 3 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &={\begin{bmatrix}-\mathbf {A} &\mathbf {Q} \\\mathbf {0} &\mathbf {A} ^{\top }\end{bmatrix}}T\\[2pt]\mathbf {G} &=e^{\mathbf {F} }={\begin{bmatrix}\dots &\mathbf {A_{d}} ^{-1}\mathbf {Q_{d}} \\\mathbf {0} &\mathbf {A_{d}} ^{\top }\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$ ثم يتم تقييم ضوضاء العملية المتقطعة عن طريق ضرب منقولة الجزء السفلي الأيمن من G بالجزء العلوي الأيمن من G : $${\displaystyle \mathbf {Q_{d}} =(\mathbf {A_{d}} ^{\top })^{\top }(\mathbf {A_{d}} ^{-1}\mathbf {Q_{d}} )=\mathbf {A_{d}} (\mathbf {A_{d}} ^{-1}\mathbf {Q_{d}} ).}$$

بدءاً من النموذج المستمر $${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {Bu} (t)}$$ نعلم أن الدالة الأسية للمصفوفة هي $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{\mathbf {A} t}=\mathbf {A} e^{\mathbf {A} t}=e^{\mathbf {A} t}\mathbf {A} }$$ وبضرب النموذج من اليسار نحصل على $${\displaystyle e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {\dot {x}} (t)=e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {Ax} (t)+e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {Bu} (t)}$$ وهو ما ندركه على أنه $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\Bigl [}e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t){\Bigr ]}=e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {Bu} (t)}$$ ومن خلال التكامل، $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t)-e^{0}\mathbf {x} (0)&=\int _{0}^{t}e^{-\mathbf {A} \tau }\mathbf {Bu} (\tau )d\tau \\[2pt]\mathbf {x} (t)&=e^{\mathbf {A} t}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{t}e^{\mathbf {A} (t-\tau )}\mathbf {Bu} (\tau )d\tau \end{aligned}}}$$ وهو حل تحليلي للنموذج المستمر.

الآن نريد تقسيم التعبير أعلاه إلى أجزاء منفصلة. نفترض أن u ثابت خلال كل خطوة زمنية. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} [k]&\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {x} (kT)\\[6pt]\mathbf {x} [k]&=e^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {Bu} (\tau )d\tau \\[4pt]\mathbf {x} [k+1]&=e^{\mathbf {A} (k+1)T}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{(k+1)T}e^{\mathbf {A} [(k+1)T-\tau ]}\mathbf {Bu} (\tau )d\tau \\[2pt]\mathbf {x} [k+1]&=e^{\mathbf {A} T}\left[e^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {Bu} (\tau )d\tau \right]+\int _{kT}^{(k+1)T}e^{\mathbf {A} (kT+T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau \end{aligned}}}$$ نتعرف على التعبير بين قوسين على أنه${\displaystyle \mathbf {x} [k]}$ويمكن تبسيط الحد الثاني بالاستبدال بالدالة${\displaystyle v(\tau )=kT+T-\tau }$. لاحظ أن${\displaystyle d\tau =-dv}$نفترض أيضًا أن u ثابتة أثناء التكامل ، وهو ما ينتج عنه

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} [k+1]&=e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{v(kT)}^{v((k+1)T)}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {Bu} [k]\\[2pt]&=e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{T}^{0}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {Bu} [k]\\[2pt]&=e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {Bu} [k]\\[4pt]&=e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\mathbf {A} ^{-1}\left(e^{\mathbf {A} T}-\mathbf {I} \right)\mathbf {Bu} [k]\end{aligned}}}$$

وهو حل دقيق لمشكلة التقطيع.

عندما تكون A مفردة، لا يزال من الممكن استخدام التعبير الأخير عن طريق الاستبدال${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}}$من خلال توسعة تايلور ، $${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}(\mathbf {A} T)^{k}.}$$ وهذا ينتج عنه $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} [k+1]&=e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {Bu} [k]\\[2pt]&=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}(\mathbf {A} T)^{k}\right)\mathbf {x} [k]+\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\mathbf {A} ^{k-1}T^{k}\right)\mathbf {Bu} [k],\end{aligned}}}$$ وهو الشكل المستخدم عملياً.

قد يكون التقطيع الدقيق أحيانًا غير عملي نظرًا لكثرة العمليات الأسية والتكاملية على المصفوفات. من الأسهل بكثير حساب نموذج متقطع تقريبي، بناءً على ذلك المستخدم في الخطوات الزمنية الصغيرة.${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \mathbf {I} +\mathbf {A} T}$يصبح الحل التقريبي إذن: $${\displaystyle \mathbf {x} [k+1]\approx (\mathbf {I} +\mathbf {A} T)\mathbf {x} [k]+T\mathbf {Bu} [k]}$$

يُعرف هذا أيضًا باسم طريقة أويلر ، والتي تُعرف أيضًا باسم طريقة أويلر الأمامية. ومن التقريبات الأخرى الممكنة ما يلي:${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx (\mathbf {I} -\mathbf {A} T)^{-1}}$، والمعروفة أيضًا باسم طريقة أويلر العكسية و${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx (\mathbf {I} +{\tfrac {1}{2}}\mathbf {A} T)(\mathbf {I} -{\tfrac {1}{2}}\mathbf {A} T)^{-1}}$يُعرف هذا بالتحويل الثنائي الخطي ، أو تحويل توستين. لكل من هذه التقريبات خصائص استقرار مختلفة. يحافظ التحويل الثنائي الخطي على عدم استقرار النظام ذي الزمن المستمر.