شذوذ لا مركزي

يُعرَّف الانحراف المركزي e على النحو التالي:

${\displaystyle e={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}\ .}$

من خلال تطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث الذي طوله r (مسافة${\displaystyle FP}$) كوتر:

${\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&=b^{2}\sin ^{2}E+(ae-a\cos E)^{2}\\&=a^{2}\left(1-e^{2}\right)\left(1-\cos ^{2}E\right)+a^{2}\left(e^{2}-2e\cos E+\cos ^{2}E\right)\\&=a^{2}-2a^{2}e\cos E+a^{2}e^{2}\cos ^{2}E\\&=a^{2}\left(1-e\cos E\right)^{2}\\\end{aligned}}}$

وبالتالي، يرتبط نصف القطر (المسافة من البؤرة إلى النقطة P ) بالشذوذ اللامركزي بالصيغة التالية:

${\displaystyle r=a\left(1-e\cos {E}\right)\ .}$

بهذه النتيجة يمكن تحديد الشذوذ اللامركزي من الشذوذ الحقيقي كما هو موضح لاحقًا.

الشذوذ الحقيقي هو الزاوية المسماة${\displaystyle \theta }$في الشكل، تقع عند بؤرة القطع الناقص. ويُرمز إليها أحيانًا بالرمز f أو ν . وترتبط الشذوذ الحقيقي والشذوذ اللامركزي كما يلي. ^{[ 2 ]}

باستخدام الصيغة المذكورة أعلاه لـ r ، يتم إيجاد جيب وجيب تمام E بدلالة f  :

${\displaystyle {\begin{align}\cos E&={\frac {\,x\,}{a}}={\frac {\,ae+r\cos f\,}{a}}=e+(1-e\cos E)\cos f\\\Rightarrow \cos E&={\frac {\,e+\cos f\,}{1+e\cos f}}\\\sin E&={\sqrt {\,1-\cos ^{2}E\;}}={\frac {\,{\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f\,}{1+e\cos f}}~.\end{محاذاة}}}$

لذلك،

${\displaystyle \tan E={\frac {\,\sin E\,}{\cos E}}={\frac {\,{\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f\,}{e+\cos f}}~.}$

حيث يتم تحديد الربع الصحيح لـ E من خلال إشارات البسط والمقام، بحيث يمكن إيجاد E بسهولة باستخدام دالة atan2 .

وبالتالي فإن الزاوية E هي الزاوية المجاورة لمثلث قائم الزاوية وتره${\displaystyle \;1+e\cos f\;,}$الجانب المجاور${\displaystyle \;e+\cos f\;,}$والجانب المقابل${\displaystyle \;{\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f\;.}$

أيضًا،

${\displaystyle \tan {\frac {\,f\,}{2}}={\sqrt {{\frac {\,1+e\,}{1-e}}\,}}\,\tan {\frac {\,E\,}{2}}}$

الاستبدال${\displaystyle \cos E}$كما هو موضح أعلاه في التعبير عن r ، يمكن إيجاد المسافة الشعاعية من النقطة البؤرية إلى النقطة P ، بدلالة الشذوذ الحقيقي أيضًا: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle r={\frac {a\left(\,1-e^{2}\,\right)}{\,1+e\cos f\,}}={\frac {p}{\,1+e\cos f\,}}\,}$

أين

${\displaystyle \,p\equiv a\left(\,1-e^{2}\,\right)}$

يُطلق عليه اسم العضلة المستقيمة شبه اللاذعة في الهندسة الكلاسيكية.

يرتبط الشذوذ اللامركزي E بالشذوذ المتوسط ​​M بواسطة معادلة كبلر : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle M=Ee\sin E}$

لا يوجد حل مغلق لهذه المعادلة لـ E بمعلومية M. وعادةً ما تُحل باستخدام الطرق العددية ، مثل طريقة نيوتن-رافسون . ويمكن التعبير عنها في متسلسلة فورييه كما يلي:

${\displaystyle E=M+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{n}(ne)}{n}}\sin(nM)}$

أين${\displaystyle J_{n}(x)}$هي دالة بيسل من النوع الأول.