المحاور شبه الرئيسية وشبه الثانوية

في الهندسة ، المحور الرئيسي للقطع الناقص هو أطول قطر له : قطعة مستقيمة تمر عبر المركز وكلا البؤرتين ، مع وجود نهايات عند أكثر نقطتين منفصلتين على نطاق واسع في المحيط . المحور شبه الرئيسي ( شبه المحور الرئيسي ) هو أطول نصف قطر أو نصف المحور الرئيسي، وبالتالي يمتد من المركز، عبر بؤرة ، وإلى المحيط. المحور شبه الأصغر ( شبه المحور الأصغر ) للقطع الناقص أو القطع الزائد هو قطعة مستقيمة تكون في زاوية قائمة مع شبه المحور الأكبر ولها نهاية واحدة في مركز المقطع المخروطي . بالنسبة للحالة الخاصة للدائرة، فإن أطوال أنصاف المحاور تساوي نصف قطر الدائرة.

يرتبط طول المحور شبه الرئيسي $a للقطع الناقص بطول المحور شبه الثانوي$ $b$ من خلال الانحراف $e$ والمستقيم شبه العريض ، على النحو التالي: $\ell$

{\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\\ell &=a(1-e^{2}),\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}

المحور شبه الرئيسي للقطع الزائد هو، حسب الاتفاقية، زائد أو ناقص نصف المسافة بين الفرعين. وبالتالي فهو المسافة من المركز إلى أي من رؤوس القطع الزائد.

يمكن الحصول على القطع المكافئ كحد لسلسلة من القطع الناقص حيث يتم تثبيت أحد البؤر بينما يُسمح للآخر بالتحرك بعيدًا بشكل تعسفي في اتجاه واحد، مع الحفاظ على الثبات. وبالتالي فإن $a$ و $b$ يميلان إلى ما لا نهاية، $a$ أسرع من $b$ . $\ell$

المحوران الرئيسي والثانوي هما محورا التماثل للمنحنى: في القطع الناقص، يكون المحور الثانوي هو المحور الأقصر؛ وفي القطع الزائد، هو المحور الذي لا يتقاطع مع القطع الزائد.

القطع الناقص

معادلة القطع الناقص هي

{\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1,

حيث ( h , k ) هو مركز القطع الناقص في الإحداثيات الديكارتية ، حيث يتم إعطاء نقطة عشوائية بواسطة ( x , y ).

المحور شبه الرئيسي هو القيمة المتوسطة للمسافات القصوى والدنيا والقطع الناقص من البؤرة - أي المسافات من البؤرة إلى نقاط نهاية المحور الرئيسي $r_{\text{max}}$ $r_{\text{min}}$

a={\frac {r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}{2}}.

في علم الفلك تسمى هذه النقاط المتطرفة بالنقاط القبلية . ^[1]

المحور شبه الصغير للقطع الناقص هو المتوسط الهندسي لهذه المسافات:

b={\sqrt {r_{\text{max}}r_{\text{min}}}}.

يتم تعريف انحراف القطع الناقص على النحو التالي :

e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}},

لذا

r_{\text{min}}=a(1-e),\quad r_{\text{max}}=a(1+e).

الآن فكر في المعادلة في الإحداثيات القطبية ، مع التركيز على الأصل والتركيز الآخر على الاتجاه: $\theta =\pi$

r(1+e\cos \theta )=\ell .

القيمة المتوسطة لـ و ، لـ و هي $r=\ell /(1-e)$ $r=\ell /(1+e)$ $\theta =\pi$ $\theta =0$

a={\frac {\ell }{1-e^{2}}}.

في الشكل البيضاوي، يكون المحور شبه الرئيسي هو المتوسط الهندسي للمسافة من المركز إلى أي من البؤرتين والمسافة من المركز إلى أي من الدليلين.

يمتد المحور شبه الأصغر للقطع الناقص من مركز القطع الناقص (نقطة في منتصف الطريق بين البؤرتين وعلى الخط الممتد بينهما ) إلى حافة القطع الناقص. المحور شبه الأصغر هو نصف المحور الأصغر. المحور الأصغر هو أطول قطعة مستقيمة عمودية على المحور الأكبر تربط بين نقطتين على حافة القطع الناقص.

يرتبط المحور شبه الثانوي $b$ بالمحور شبه الرئيسي $a$ من خلال الانحراف $e$ والمستقيم شبه العريض ، على النحو التالي: $\ell$

{\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}

يمكن الحصول على القطع المكافئ كحد لسلسلة من القطع الناقص حيث يتم تثبيت أحد البؤر بينما يُسمح للآخر بالتحرك بعيدًا بشكل تعسفي في اتجاه واحد، مع الحفاظ على الثبات. وبالتالي فإن $a$ و $b$ يميلان إلى ما لا نهاية، $a$ أسرع من $b$ . $\ell$

يمكن أيضًا العثور على طول المحور شبه الثانوي باستخدام الصيغة التالية: ^[2]

2b={\sqrt {(p+q)^{2}-f^{2}}},

حيث $f$ هي المسافة بين البؤرتين، $p$ و $q$ هي المسافات من كل بؤرة إلى أي نقطة في القطع الناقص.

القطع الزائد

المحور شبه الرئيسي للقطع الزائد هو، اعتمادًا على الاتفاقية، زائد أو ناقص نصف المسافة بين الفرعين؛ إذا كان هذا في $اتجاه$ x، تكون المعادلة: ^[3]

{\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1.

من حيث المستقيم شبه العريض واللامركزية، لدينا

a={\ell  \over e^{2}-1}.

يتطابق المحور العرضي للقطع الزائد مع المحور الرئيسي. ^[4]

في القطع الزائد، يمكن رسم محور مترافق أو محور ثانوي بطول ، يتوافق مع المحور الثانوي لقطع ناقص، بشكل عمودي على المحور المستعرض أو المحور الرئيسي، حيث يربط الأخير بين رأسي القطع الزائد (نقطتي الانعطاف)، مع تقاطع المحورين في مركز القطع الزائد. تقع نقاط نهاية المحور الثانوي عند ارتفاع المقاربات فوق/تحت رؤوس القطع الزائد. يُطلق على أي نصف من المحور الثانوي المحور شبه الثانوي، بطول $b$ . بالإشارة إلى طول شبه المحور الرئيسي (المسافة من المركز إلى الرأس) بـ $a$ ، تظهر أطوال المحاور شبه الثانوية وشبه الرئيسية في معادلة القطع الزائد بالنسبة لهذين المحورين على النحو التالي: $2b$ $(0,\pm b)$

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.

المحور شبه الصغير هو أيضًا المسافة من إحدى بؤر القطع الزائد إلى الخط المقارب. غالبًا ما يُطلق عليه معامل التأثير ، وهو مهم في الفيزياء وعلم الفلك، ويقيس المسافة التي قد يفوت بها الجسيم البؤرة إذا لم يضطرب مساره بواسطة الجسم الموجود عند البؤرة. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

يرتبط المحور شبه الثانوي والمحور شبه الرئيسي من خلال الانحراف، على النحو التالي:

b=a{\sqrt {e^{2}-1}}.

^[5]

لاحظ أنه في القطع الزائد يمكن أن يكون $b$ أكبر من $a$ . ^[6]

علم الفلك

الفترة المدارية

في الديناميكا الفلكية، الفترة المدارية $T$ لجسم صغير يدور حول جسم مركزي في مدار دائري أو بيضاوي هي: ^[1]

T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}},

أين:

أ

هو طول نصف المحور الرئيسي للمدار،

\mu

هي معامل الجاذبية القياسي للجسم المركزي.

لاحظ أنه بالنسبة لجميع القطع الناقصية ذات المحور شبه الرئيسي المحدد، تكون الفترة المدارية هي نفسها، بغض النظر عن انحرافها.

الزخم الزاوي النوعي $h$ لجسم صغير يدور حول جسم مركزي في مدار دائري أو بيضاوي هو ^[1]

h={\sqrt {a\mu (1-e^{2})}},

أين:

أ

و كما هو موضح أعلاه،

\mu

e

هو انحراف المدار.

في علم الفلك ، يعتبر المحور شبه الرئيسي أحد أهم العناصر المدارية للمدار ، إلى جانب فترته المدارية . بالنسبة لأجرام النظام الشمسي ، يرتبط المحور شبه الرئيسي بفترة المدار وفقًا لقانون كبلر الثالث (الذي تم اشتقاقه تجريبيًا في الأصل ) : [ ^1]

T^{2}\propto a^{3},

حيث $T$ هي الفترة، و $a$ هو المحور شبه الرئيسي. يتبين أن هذا الشكل هو تبسيط للشكل العام لمشكلة الجسمين ، كما حدده نيوتن : ^[1]

T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3},

حيث $G$ هو ثابت الجاذبية ، $وM$ هي كتلة الجسم المركزي، و $m$ هي كتلة الجسم المداري. عادةً ما تكون كتلة الجسم المركزي أكبر كثيرًا من كتلة الجسم المداري، بحيث يمكن تجاهل $m$ . يؤدي افتراض هذا واستخدام وحدات علم الفلك النموذجية إلى الشكل الأبسط الذي اكتشفه كيبلر.

إن مسار الجسم المداري حول مركز الثقل ومساره بالنسبة إلى مركزه الأساسي كلاهما عبارة عن قطع ناقص. ^[1] يُستخدم المحور شبه الرئيسي أحيانًا في علم الفلك كمسافة بين المركز الأساسي والثانوي عندما تكون نسبة كتلة المركز الأساسي إلى الثانوي كبيرة بشكل ملحوظ ( )؛ وبالتالي، تُعطى المعلمات المدارية للكواكب من حيث مركزية الشمس. يمكن توضيح الفرق بين المدارات المركزية الأولية والمدارات "المطلقة" بشكل أفضل من خلال النظر إلى نظام الأرض والقمر. نسبة الكتلة في هذه الحالة هي $M\gg m$ 81.300 59. المسافة المميزة بين الأرض والقمر، وهي المحور شبه الرئيسي للمدار القمري المركزي ، هي 384.400 كم. (نظرًا لانحراف مدار القمر e = 0.0549، فإن محوره شبه الصغير هو 383.800 كم. وبالتالي فإن مدار القمر دائري تقريبًا.) من ناحية أخرى، فإن مدار القمر المركزي له محور شبه رئيسي يبلغ 379.730 كم، ويأخذ مدار الأرض المضاد الفرق، 4.670 كم. تبلغ السرعة المدارية المركزية المتوسطة للقمر 1.010 كم/ثانية، بينما تبلغ سرعة الأرض 0.012 كم/ثانية. يعطي مجموع هذه السرعات متوسط سرعة مدارية قمرية مركزية تبلغ 1.022 كم/ثانية؛ يمكن الحصول على نفس القيمة من خلال النظر فقط إلى قيمة المحور شبه الرئيسي المركزي. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

متوسط المسافة

غالبًا ما يُقال إن المحور شبه الرئيسي هو المسافة "المتوسطة" بين البؤرة الأساسية للقطع الناقص والجسم المداري. هذا ليس دقيقًا تمامًا، لأنه يعتمد على ما يتم أخذ المتوسط عليه. يمكن أن تختلف المسافة المتوسطة الزمنية والزاوية للجسم المداري بنسبة 50-100% عن المحور شبه الرئيسي المداري، اعتمادًا على الانحراف. ^[7]

إن حساب متوسط المسافة على الشذوذ اللامركزي يؤدي بالفعل إلى المحور شبه الرئيسي.
يؤدي المتوسط على الشذوذ الحقيقي (الزاوية المدارية الحقيقية، المقاسة عند البؤرة) إلى المحور شبه الصغير . $b=a{\sqrt {1-e^{2}}}$
إن حساب المتوسط على متوسط الشذوذ (جزء الفترة المدارية التي انقضت منذ نقطة الحضيض، معبرًا عنها كزاوية) يعطي متوسط الوقت . $a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)\,$

القيمة المتوسطة الزمنية لمقلوب نصف القطر، ، هي . $r^{-1}$ $a^{-1}$

الطاقة؛ حساب المحور شبه الرئيسي من متجهات الحالة

في الديناميكا الفلكية ، يمكن حساب المحور شبه الرئيسي $a من$ متجهات الحالة المدارية :

a=-{\frac {\mu }{2\varepsilon }}

بالنسبة للمدار الإهليلجي ، واعتمادًا على الاتفاقية، نفس الشيء أو

a={\frac {\mu }{2\varepsilon }}

لمسار زائدي ، و

\varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{|\mathbf {r} |}}

( طاقة مدارية محددة ) و

\mu =GM,

( معامل الجاذبية القياسي )، حيث:

v

هي السرعة المدارية من متجه السرعة لجسم يدور حول نفسه،

r

هو متجه موضع ديكارت لجسم يدور في إحداثيات إطار مرجعي يتم حساب عناصر المدار بالنسبة له (على سبيل المثال، خط الاستواء الأرضي المركزي لمدار حول الأرض، أو مسار الشمس المركزي لمدار حول الشمس)،

G

هو ثابت الجاذبية ،

M

هي كتلة الجسم الجاذب، و

\varepsilon

هي الطاقة النوعية للجسم المداري.

لاحظ أنه بالنسبة لكمية معينة من الكتلة الكلية، تكون الطاقة النوعية والمحور شبه الرئيسي دائمًا متماثلين، بغض النظر عن الانحراف أو نسبة الكتل. وعلى العكس من ذلك، بالنسبة لكتلة إجمالية معينة ومحور شبه رئيسي، تكون الطاقة المدارية النوعية الكلية متماثلة دائمًا. ستكون هذه العبارة صحيحة دائمًا في ظل أي ظروف معينة. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

المحاور شبه الرئيسية وشبه الثانوية لمدارات الكواكب

تُستشهد دائمًا بمدارات الكواكب كأمثلة رئيسية للمستطيلات ( قانون كبلر الأول ). ومع ذلك، يُظهر الاختلاف الضئيل بين المحورين شبه الرئيسي وشبه الثانوي أنهما دائريان تقريبًا في المظهر. يعتمد هذا الاختلاف (أو النسبة) على الانحراف ويتم حسابه على النحو التالي ، والذي يعطي نتائج صغيرة جدًا للانحرافات الكوكبية النموذجية. ${\frac {a}{b}}={\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}$

ربما يكمن سبب افتراض وجود مدارات إهليلجية بارزة في الاختلاف الأكبر بين الأوج والحضيض. ويعتمد هذا الاختلاف (أو النسبة) أيضًا على الانحراف المركزي ويُحسب على أنه . ونظرًا للاختلاف الكبير بين الأوج والحضيض، يمكن تصور قانون كبلر الثاني بسهولة. ${\frac {r_{\text{a}}}{r_{\text{p}}}}={\frac {1+e}{1-e}}$

	غرابة	المحور شبه الرئيسي أ ( AU )	المحور شبه الثانوي ب ( AU )	اختلاف (٪)	الحضيض الشمسي ( AU )	الأوج ( AU )	اختلاف (٪)
الزئبق	0.206	0.38700	0.37870	2.2	0.307	0.467	52
الزهرة	0.007	0.72300	0.72298	0.002	0.718	0.728	1.4
أرض	0.017	1.00000	0.99986	0.014	0.983	1.017	3.5
المريخ	0.093	1.52400	1.51740	0.44	1.382	1.666	21
كوكب المشترى	0.049	5.20440	5.19820	0.12	4.950	5.459	10
زحل	0.057	9.58260	9.56730	0.16	9.041	10.124	12
أورانوس	0.046	19.21840	19.19770	0.11	18.330	20.110	9.7
نبتون	0.010	30.11000	30.10870	0.004	29.820	30.400	1.9

1 وحدة فلكية (AU) تساوي 149.6 مليون كيلومتر.

مراجع

^ abcdef Lissauer, Jack J.; de Pater, Imke (2019). Fundamental Planetary Sciences: physics, chemistry, and dwellability . نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 24-31. ISBN 9781108411981.
^ "المحور الرئيسي / الثانوي للقطع الناقص"، مرجع الرياضيات المفتوح، 12 مايو 2013.
^ Weisstein, Eric W. "Ellipse". mathworld.wolfram.com . تم الاسترجاع في 2024-08-20 .
^ "7.1 Alternative Characterization". www.geom.uiuc.edu . مؤرشف من الأصل في 2018-10-24 . تم الاسترجاع في 2007-09-06 .
^ "هندسة المدارات: القطع الناقص، القطع المكافئ، والقطع الزائد". www.bogan.ca .
^ "7.1 Alternative Characterization". مؤرشف من الأصل في 2018-10-24 . تم الاسترجاع 2007-09-06 .
^ ويليامز، دارين م. (نوفمبر 2003). "المسافة المتوسطة بين نجم وكوكب في مدار غريب الأطوار". المجلة الأمريكية للفيزياء . 71 (11): 1198-1200. رمز Bibcode :2003AmJPh..71.1198W. doi :10.1119/1.1578073.

روابط خارجية

المحاور شبه الرئيسية وشبه الثانوية للقطع الناقص مع الرسوم المتحركة التفاعلية

Original text

Rate this translation

Your feedback will be used to help improve Google Translate

[lissauer2019-1] Lissauer, Jack J.; de Pater, Imke (2019). Fundamental Planetary Sciences: physics, chemistry, and dwellability . نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 24-31. ISBN 9781108411981.

[2] "المحور الرئيسي / الثانوي للقطع الناقص"، مرجع الرياضيات المفتوح، 12 مايو 2013.

[3] Weisstein, Eric W. "Ellipse". mathworld.wolfram.com . تم الاسترجاع في 2024-08-20 .

[4] "7.1 Alternative Characterization". www.geom.uiuc.edu . مؤرشف من الأصل في 2018-10-24 . تم الاسترجاع في 2007-09-06 .

[5] "هندسة المدارات: القطع الناقص، القطع المكافئ، والقطع الزائد". www.bogan.ca .

[6] "7.1 Alternative Characterization". مؤرشف من الأصل في 2018-10-24 . تم الاسترجاع 2007-09-06 .

[7] ويليامز، دارين م. (نوفمبر 2003). "المسافة المتوسطة بين نجم وكوكب في مدار غريب الأطوار". المجلة الأمريكية للفيزياء . 71 (11): 1198-1200. رمز Bibcode :2003AmJPh..71.1198W. doi :10.1119/1.1578073.

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗