الكتلة الفعالة (نظام الكتلة الزنبركية)

في نظام كتلة زنبركية حقيقي ، يكون للزنبرك كتلة غير مهملة . ونظرًا لأن طول الزنبرك لا يتحرك بالكامل بنفس سرعة الكتلة المعلقة (على سبيل المثال، النقطة المقابلة تمامًا للكتلة ، عند الطرف الآخر من الزنبرك، لا تتحرك على الإطلاق)، فإن طاقته الحركية لا تساوي . وبالتالي، لا يمكن إضافتها ببساطة إلى لتحديد تردد التذبذب، وتُعرف الكتلة الفعالة للزنبرك ، بأنها الكتلة التي يجب إضافتها إلى للتنبؤ بشكل صحيح بسلوك النظام. ${\displaystyle م}$${\displaystyle v}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$${\displaystyle م}$${\displaystyle M}$${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }}$${\displaystyle M}$

الكتلة الفعالة للزنبرك في نظام كتلة الزنبرك عند استخدام زنبرك ثقيل (غير مثالي) بكثافة خطية منتظمة تكون مساوية لكتلة الزنبرك ولا تعتمد على اتجاه نظام كتلة الزنبرك (أي أن الأنظمة الأفقية والرأسية والمائلة لها نفس الكتلة الفعالة). وذلك لأن التسارع الخارجي لا يؤثر على فترة الحركة حول نقطة التوازن. ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$

يمكن تحديد الكتلة الفعالة للزنبرك من خلال إيجاد طاقته الحركية. بالنسبة لعنصر الكتلة التفاضلية للزنبرك عند موضع (متغير وهمي) يتحرك بسرعة ، فإن طاقته الحركية هي: ${\displaystyle \mathrm {d} m}$${\displaystyle s}$${\displaystyle u(s)}$

${\displaystyle \mathrm {d} K={\frac {1}{2}}\mathrm {d} m\,u^{2}}$

من أجل إيجاد الطاقة الحركية الكلية للزنبرك، يتطلب الأمر إضافة جميع الطاقة الحركية لعناصر الكتلة، ويتطلب التكامل التالي :

${\displaystyle K=\int \limits _{\mathrm {spring} }{\frac {1}{2}}u^{2}\;\mathrm {d} m}$

إذا افترضنا تمددًا متجانسًا، فإن توزيع كتلة الزنبرك يكون موحدًا ، حيث هو طول الزنبرك في وقت قياس السرعة. وبالتالي، ${\displaystyle \mathrm {d} m={\frac {m}{y}}\mathrm {d} s}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle K=\int _{0}^{y}{\frac {1}{2}}u^{2}\left({\frac {m}{y}}\right)\mathrm {d} s}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\frac {m}{y}}\int _{0}^{y}u^{2}\mathrm {d} s}$

سرعة كل عنصر كتلة من الزنبرك تتناسب طرديًا مع الطول من الموضع الذي يرتبط به (إذا كان قريبًا من الكتلة فستكون السرعة أكبر، وإذا كان قريبًا من السقف فستكون السرعة أقل)، أي ، ومنه يتبع: ${\displaystyle u(s)={\frac {s}{y}}v}$

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}{\frac {m}{y}}\int _{0}^{y}\left({\frac {s}{y}}v\right)^{2}\mathrm {d} s}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\frac {m}{y^{3}}}v^{2}\int _{0}^{y}s^{2}\,\mathrm {d} s}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\frac {m}{y^{3}}}v^{2}\left[{\frac {s^{3}}{3}}\right]_{0}^{y}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\frac {m}{3}}v^{2}}$

بالمقارنة مع صيغة الطاقة الحركية الأصلية المتوقعة، فإن الكتلة الفعالة للزنبرك في هذه الحالة هي . تُعرف هذه النتيجة بقيمة رايلي ، نسبة إلى اللورد رايلي . ${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2},}$${\displaystyle {\frac {m}{3}}}$

للعثور على طاقة الجاذبية الكامنة للزنبرك، يجب اتباع إجراء مماثل:

${\displaystyle U=\int \limits _{\mathrm {spring} }\mathrm {d} m\,gs}$

${\displaystyle =\int _{0}^{y}{\frac {m}{y}}gs\;\mathrm {d} s}$

${\displaystyle =mg\,{\frac {1}{y}}\int _{0}^{y}s\;\mathrm {d} s}$

${\displaystyle =mg\,{\frac {1}{y}}\left[{\frac {s^{2}}{2}}\right]_{0}^{y}}$

${\displaystyle ={\frac {m}{2}}gy}$

باستخدام هذه النتيجة، يمكن كتابة الطاقة الكلية للنظام من حيث الإزاحة من موضع الزنبرك غير الممتد (مع أخذ الاتجاه لأعلى باعتباره موجبًا، وتجاهل مصطلحات الجهد الثابت وتحديد أصل الطاقة الكامنة عند ): ${\displaystyle y}$${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}{\frac {m}{3}}v^{2}+{\frac {1}{2}}Mv^{2}+{\frac {1}{2}}ky^{2}+{\frac {1}{2}}mgy+Mgy}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(M+{\frac {m}{3}}\right)v^{2}+{\frac {1}{2}}ky^{2}+\left(M+{\frac {m}{2}}\right)gy}$

لاحظ أن هنا تسارع الجاذبية على طول الزنبرك. وبتمييز المعادلة بالنسبة للزمن، تكون معادلة الحركة: ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \left(M+{\frac {m}{3}}\right)\ a=-ky-\left(M+{\frac {m}{2}}\right)g}$

يمكن إيجاد نقطة التوازن بجعل التسارع يساوي صفرًا: ${\displaystyle y_{\mathrm {eq} }}$

${\displaystyle y_{\mathrm {eq} }=-{\frac {\left(M+{\frac {m}{2}}\right)g}{k}}}$

وبالتعريف ، تصبح معادلة الحركة: ${\displaystyle {\bar {y}}=y-y_{\mathrm {eq} }}$

${\displaystyle \left(M+{\frac {m}{3}}\right)\ a=-k{\bar {y}}=-k(y-y_{\mathrm {eq} })}$

هذه هي معادلة المذبذب التوافقي البسيط ذو التردد الزاوي:

${\displaystyle \omega ={\sqrt {{\frac {k}{M+{\frac {m}{3}}}}\,}}}$

وبالتالي، يكون لها تردد زاوي أصغر من الزنبرك المثالي . كما أن دورتها تُعطى بالمعادلة التالية:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {{\frac {M+{\frac {m}{3}}}{k}}\,}}}$

أيهما أكبر من الزنبرك المثالي؟ كلتا الصيغتين تختصران إلى الحالة المثالية في الحد . ${\displaystyle {\frac {m}{M}}\to 0}$

وبالتالي فإن الكتلة الفعالة للزنبرك المضافة إلى كتلة الحمل تعطينا "الكتلة الكلية الفعالة" للنظام والتي يجب استخدامها في الصيغة القياسية لتحديد فترة التذبذب. ${\displaystyle 2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}$

وأخيرًا، الحل لمشكلة القيمة الأولية :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\ddot {y}}&=&-\omega ^{2}(y-y_{\mathrm {eq} })\\{\dot {y}}(0)&=&{\dot {y}}_{0}\\y(0)&=&y_{0}\end{matrix}}\right.}$

يتم تقديمه بواسطة:

${\displaystyle y(t)=(y_{0}-y_{\text{eq}})\cos(\omega t)+{\frac {{\dot {y}}_{0}}{\omega }}\sin(\omega t)+y_{\text{eq}}}$

وهي حركة توافقية بسيطة.

كما رأينا أعلاه، لا تعتمد الكتلة الفعالة للزنبرك على عوامل "خارجية" مثل تسارع الجاذبية على طوله. في الواقع، بالنسبة للزنبرك الثقيل غير المنتظم، تعتمد الكتلة الفعالة فقط على كثافته الخطية على طوله: ${\displaystyle \lambda (s)}$

${\displaystyle K=\int \limits _{\mathrm {spring} }{\frac {1}{2}}u^{2}\;\mathrm {d} m}$

${\displaystyle =\int _{0}^{y}{\frac {1}{2}}u^{2}\!(s)\,\lambda (s)\;\mathrm {d} s}$

${\displaystyle =\int _{0}^{y}{\frac {1}{2}}\left({\frac {s}{y}}v\right)^{2}\lambda (s)\;\mathrm {d} s}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(\int _{0}^{y}{\frac {s^{2}}{y^{2}}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\right)v^{2}}$

وبالتالي فإن الكتلة الفعالة للزنبرك هي:

${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }=\int _{0}^{y}{\frac {s^{2}}{y^{2}}}\lambda (s)\,\mathrm {d} s}$

وتظهر هذه النتيجة أيضًا أن ، تحدث في حالة زنبرك غير مادي تكون كتلته موجودة تمامًا في الطرف الأبعد عن الدعم. ${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }\leqslant m}$${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }=m}$

يمكن اعتبار ثلاث حالات خاصة:

• ${\displaystyle \lambda (s)=0}$هي الحالة المثالية حيث لا يحتوي الزنبرك على كتلة، و .${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }=m=0}$
• ${\displaystyle \lambda (s)={\frac {m}{y}}}$هي الحالة المتجانسة (الزنبرك الموحد) حيث تظهر قيمة رايلي في المعادلة، أي، .${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }={\frac {m}{3}}}$
• ${\displaystyle \lambda (s)=m\,\delta (s-y)}$حيث أن دالة دلتا ديراك هي الحالة المتطرفة عندما تكون الكتلة بأكملها موجودة عند ، مما يؤدي إلى .${\displaystyle \delta (x)}$${\displaystyle s=y}$${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }=m}$

للعثور على لاجرانج المقابل، يجب علينا إيجاد طاقة الجاذبية المحتملة للزنبرك مسبقًا:

${\displaystyle U=\int \limits _{\mathrm {spring} }\mathrm {d} m\,g\,s}$

${\displaystyle =\int _{0}^{y}\lambda (s)\,g\,s\;\mathrm {d} s}$

${\displaystyle =\left(\int _{0}^{y}{\frac {s}{y}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\right)g\,y}$

وبسبب رتابة التكامل، فإنه يتبع ذلك: ${\displaystyle 0\leqslant m_{\mathrm {eff} }=\int _{0}^{y}{\frac {s^{2}}{y^{2}}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\leqslant \int _{0}^{y}{\frac {s}{y}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\leqslant \int _{0}^{y}\lambda (s)\;\mathrm {d} s=m}$

مع كون لاجرانج هو: ${\displaystyle {\mathcal {L}}(y,{\dot {y}})={\frac {1}{2}}\left(M+\int _{0}^{y}{\frac {s^{2}}{y^{2}}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\right){\dot {y}}^{2}-{\frac {1}{2}}ky^{2}-\left(M+\int _{0}^{y}{\frac {s}{y}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\right)g\,y}$

تفترض الحسابات أعلاه أن معامل صلابة الزنبرك لا يعتمد على طوله. ومع ذلك، هذا ليس هو الحال بالنسبة للينابيع الحقيقية. بالنسبة للقيم الصغيرة لـ ، فإن الإزاحة ليست كبيرة لدرجة تسبب تشوهًا مرنًا . في الواقع بالنسبة لـ ، فإن الكتلة الفعالة هي . وجد جون إيتشي أويدا ويوشيرو ساداموتو ^[1] أنه مع الزيادة التي تتجاوز ، تصبح الكتلة الفعالة لزنبرك في نظام كتلة زنبرك رأسي أصغر من قيمة رايلي وتصل في النهاية إلى قيم سالبة عند حوالي . يمكن تفسير هذا السلوك غير المتوقع للكتلة الفعالة من حيث التأثير اللاحق المرن (وهو عدم عودة الزنبرك إلى طوله الأصلي بعد إزالة الحمل). ${\displaystyle {\frac {M}{m}}}$${\displaystyle {\frac {M}{m}}\ll 1}$${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }={\frac {4}{\pi ^{2}}}m}$${\displaystyle {\frac {M}{m}}}$${\displaystyle 7}$${\displaystyle {\frac {m}{3}}}$${\displaystyle {\frac {M}{m}}\approx 38}$

خذ بعين الاعتبار معادلة البندول التفاضلية:

${\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\omega _{0}}^{2}\sin \theta =0}$

أين هو التردد الطبيعي للتذبذبات (والتردد الزاوي للتذبذبات الصغيرة). تمثل المعلمة في البندول المثالي، وفي البندول المركب، حيث هو طول البندول، هي الكتلة الكلية للنظام، هي المسافة من نقطة الارتكاز (النقطة التي يتم تعليق البندول منها) إلى مركز كتلة البندول، و هي عزم القصور الذاتي للنظام بالنسبة لمحور يمر عبر المحور. ${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}}$${\displaystyle {\frac {g}{\ell }}}$${\displaystyle {\frac {mgr_{\mathrm {CM} }}{I_{O}}}}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle m}$${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }}$${\displaystyle O}$${\displaystyle I_{O}}$

لنفترض وجود نظام يتكون من قضيب متجانس يتأرجح من أحد طرفيه، وله كرة مثبتة في الطرف الآخر. ليكن طول القضيب، وكتلة القضيب، وكتلة الكرة، وبالتالي تكون الكثافة الخطية معطاة بواسطة ، مع دالة دلتا ديراك. الكتلة الكلية للنظام هي . لمعرفة ذلك، يجب حل المعادلة حسب تعريف مركز الكتلة (ستكون هذه معادلة تكاملية في الحالة العامة، ولكنها تبسط إلى هذا في الحالة المتجانسة)، والتي يكون حلها معطى بواسطة . عزم القصور الذاتي للنظام هو مجموع عزمي القصور الذاتي، (مرة أخرى في الحالة العامة تكون المعادلة التكاملية هي ). وبالتالي يمكن تبسيط التعبير: ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle m_{\mathrm {rod} }}$${\displaystyle m_{\mathrm {bob} }}$${\displaystyle \lambda (s)=m_{\mathrm {bob} }\delta (s-\ell )+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{\ell }}}$${\displaystyle \delta (\cdot )}$${\displaystyle m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} }}$${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }}$${\displaystyle (m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} })r_{\mathrm {CM} }=m_{\mathrm {bob} }\ell +m_{\mathrm {rod} }{\frac {\ell }{2}}}$${\displaystyle \int _{0}^{\ell }\lambda (s)\,{\big (}s-r_{\mathrm {CM} })\;\mathrm {d} s=0}$${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }={\frac {m_{\mathrm {bob} }+{\frac {1}{2}}m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} }}}\ell }$${\displaystyle I_{O}=m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}}$${\displaystyle I_{O}=\int _{0}^{\ell }\lambda (s)\,s^{2}\;\mathrm {d} s}$

${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\mathrm {CM} }}{I_{O}}}={\frac {\left(m_{\mathrm {bob} }\ell +m_{\mathrm {rod} }{\frac {\ell }{2}}\right)g}{m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {m_{\mathrm {bob} }+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2}}}{m_{\mathrm {bob} }+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3}}}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2m_{\mathrm {bob} }}}}{1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3m_{\mathrm {bob} }}}}}}$

لاحظ كيف أن التعبير النهائي ليس دالة على كل من كتلة الكوب، ، وكتلة القضيب، ، ولكن فقط على نسبتهما، . لاحظ أيضًا أنه في البداية له نفس بنية نظام كتلة الزنبرك: حاصل ضرب الحالة المثالية والتصحيح (بقيمة رايلي). لاحظ أنه بالنسبة لـ ، يمكن تقريب حد التصحيح الأخير بواسطة: ${\displaystyle m_{\mathrm {bob} }}$${\displaystyle m_{\mathrm {rod} }}$${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}$${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\ll 1}$

${\displaystyle {\frac {1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2m_{\mathrm {bob} }}}}{1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3m_{\mathrm {bob} }}}}}\approx 1+{\frac {1}{6}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}-{\frac {1}{18}}\left({\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\right)^{2}+\cdots }$

دعونا نقارن النتيجتين:

• بالنسبة لنظام الكتلة الربيعية:

${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}=\underbrace {\frac {k}{m_{\mathrm {bob} }}} _{\text{Ideal case}}\underbrace {\frac {1}{1+{\frac {1}{3}}{\frac {m_{\mathrm {spring} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}} _{\text{Correction with Rayleigh's value}}}$

• بالنسبة للبندول:

${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}=\underbrace {\frac {g}{\ell }} _{\text{Ideal case}}\underbrace {\frac {1}{1+{\frac {1}{3}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}} _{\text{Correction with Rayleigh's value}}\underbrace {\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\right)} _{\text{Rest of the correction}}}$

• أمثلة على الحركة التوافقية البسيطة (SHM) .
• كتلة مخفضة

• http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1405121418180 محفوظ في 2012-02-16 على موقع Wayback Machine
• http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1509031308350 محفوظ في 2012-02-16 على موقع Wayback Machine
• https://web.archive.org/web/20110929231207/http://hk.knowledge.yahoo.com/question/article?qid=6908120700201
• https://web.archive.org/web/20080201235717/http://www.goiit.com/posts/list/mechanics-efficiency-mass-of-spring-40942.htm
• http://www.juen.ac.jp/scien/sadamoto_base/spring.html
• "الكتلة الفعالة لنابض متذبذب" مجلة الفيزياء الأمريكية، 38، 98 (1970)
• "الكتلة الفعالة لنابض متذبذب" مدرس الفيزياء، 45، 100 (2007)