الحركة التوافقية البسيطة

في الميكانيكا والفيزياء ، تُعرف الحركة التوافقية البسيطة (أو اختصارًا SHM ) بأنها نوع خاص من الحركة الدورية التي يتعرض لها الجسم بفعل قوة استعادة تتناسب قيمتها طرديًا مع بُعد الجسم عن موضع الاتزان، وتؤثر باتجاه هذا الموضع. ينتج عن هذه الحركة تذبذب يُوصف بدالة جيبية تستمر إلى ما لا نهاية (ما لم تُعيقها قوة احتكاك أو أي تبديد آخر للطاقة ) . ^{[ 1 ]}

يمكن أن تُستخدم الحركة التوافقية البسيطة كنموذج رياضي لأنواع مختلفة من الحركات، ولكنها تتميز بتذبذب كتلة معلقة بنابض عند تعرضها لقوة الاستعادة المرنة الخطية المنصوص عليها في قانون هوك . وتكون هذه الحركة جيبية مع الزمن، وتُظهر تردد رنين واحد . ويمكن نمذجة ظواهر أخرى باستخدام الحركة التوافقية البسيطة، بما في ذلك حركة البندول البسيط ، ولكن لكي يكون النموذج دقيقًا، يجب أن تتناسب محصلة القوى المؤثرة على الجسم عند نهاية البندول طرديًا مع الإزاحة (وحتى مع ذلك، لا يُعدّ هذا النموذج دقيقًا إلا عندما تكون زاوية التأرجح صغيرة؛ انظر تقريب الزاوية الصغيرة ). كما يمكن استخدام الحركة التوافقية البسيطة لنمذجة الاهتزاز الجزيئي .

توفر الحركة التوافقية البسيطة أساسًا لتوصيف الحركة الدورية الأكثر تعقيدًا من خلال تقنيات تحليل فورييه .

تُسمى حركة الجسيم الذي يتحرك على طول خط مستقيم بتسارع يكون اتجاهه دائمًا نحو نقطة ثابتة على الخط، ويتناسب مقداره مع الإزاحة من النقطة الثابتة، بالحركة التوافقية البسيطة. ^{[ 2 ]}

يُظهر الرسم التخطيطي مذبذبًا توافقيًا بسيطًا ، يتكون من ثقل مُعلق بأحد طرفي نابض. أما الطرف الآخر للنابض فهو متصل بدعامة صلبة كجدار. إذا تُرك النظام ساكنًا عند موضع الاتزان ، فلن تؤثر أي قوة محصلة على الكتلة. ولكن، إذا أُزيحت الكتلة عن موضع الاتزان، فإن النابض يُؤثر بقوة مرنة مُعيدة تخضع لقانون هوك .

رياضياً، $${\displaystyle \mathbf {F} =-k\mathbf {x} ,}$$ حيث F هي قوة المرونة المستعادة التي يمارسها الزنبرك ( بوحدات النظام الدولي للوحدات: نيوتن )، و k هو ثابت الزنبرك ( نيوتن · متر ^-1 )، و x هو الإزاحة من موضع التوازن (بالمتر ) .

بالنسبة لأي مذبذب توافقي ميكانيكي بسيط:

• عندما ينزاح النظام عن وضع توازنه، فإن قوة استعادة تخضع لقانون هوك تميل إلى إعادة النظام إلى الحركة الخطية.

بمجرد إزاحة الكتلة عن موضع اتزانها، تتعرض لقوة استعادة محصلة. ونتيجة لذلك، تتسارع وتبدأ بالعودة إلى موضع الاتزان. وعندما تقترب الكتلة من موضع الاتزان، تتناقص قوة الاستعادة. وعند موضع الاتزان، تنعدم قوة الاستعادة المحصلة. ومع ذلك، عند x = 0 ، تمتلك الكتلة زخمًا بسبب التسارع الذي أكسبته إياها قوة الاستعادة. لذلك، تستمر الكتلة في التحرك متجاوزة موضع الاتزان، ضاغطةً الزنبرك. ثم تعمل قوة استعادة محصلة على إبطاء حركتها حتى تصل سرعتها إلى الصفر، وعندها تتسارع عائدةً إلى موضع الاتزان مرة أخرى.

طالما لم يفقد النظام أي طاقة ، تستمر الكتلة في التذبذب. لذا، فإن الحركة التوافقية البسيطة هي نوع من الحركة الدورية . أما إذا فُقدت طاقة في النظام، فإن الكتلة تُظهر تذبذبًا مُخمدًا .

لاحظ أنه إذا لم يكن مخطط الفضاء الحقيقي ومخطط فضاء الطور متطابقين، فإن حركة فضاء الطور تصبح بيضاوية. وتعتمد المساحة المحصورة على السعة وأقصى زخم.

في الميكانيكا النيوتونية ، بالنسبة للحركة التوافقية البسيطة أحادية البعد، يمكن الحصول على معادلة الحركة، وهي معادلة تفاضلية عادية خطية من الدرجة الثانية ذات معاملات ثابتة ، عن طريق قانون نيوتن الثاني وقانون هوك لكتلة على نابض .

$${\displaystyle F_{\mathrm {net}}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx,}$$ حيث m هي الكتلة العطالية للجسم المتذبذب، و x هي إزاحته من موضع التوازن (أو المتوسط)، و k هو ثابت ( ثابت الزنبرك لكتلة على زنبرك).

لذلك، $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {k}{m}}x}$$

ينتج عن حل المعادلة التفاضلية أعلاه حل عبارة عن دالة جيبية : ${\displaystyle x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right),}$أين${\textstyle {\omega }={\sqrt {{k}/{m}}}.}$ معنى الثوابت${\displaystyle c_{1}}$و${\displaystyle c_{2}}$يمكن العثور عليه بسهولة: الإعداد${\displaystyle t=0}$نلاحظ من المعادلة أعلاه أن${\displaystyle x(0)=c_{1}}$، لهذا السبب${\displaystyle c_{1}}$يمثل الموضع الابتدائي للجسيم،${\displaystyle c_{1}=x_{0}}$بأخذ مشتقة تلك المعادلة وتقييمها عند الصفر، نحصل على:${\displaystyle {\dot {x}}(0)=\omega c_{2}}$، لهذا السبب${\displaystyle c_{2}}$هي السرعة الابتدائية للجسيم مقسومة على التردد الزاوي،${\displaystyle c_{2}={\frac {v_{0}}{\أوميغا }}}$وبالتالي يمكننا أن نكتب: $${\displaystyle x(t)=x_{0}\cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)+{\frac {v_{0}}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}\sin \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right).}$$

يمكن كتابة هذه المعادلة أيضاً بالشكل التالي: $${\displaystyle x(t)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right),}$$ أين

• ${\displaystyle A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}}}$
• ${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {c_{2}}{c_{1}}},}$
• ${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {c_{2}}{A}},\;\cos \varphi ={\frac {c_{1}}{A}}}$

أو ما يعادل ذلك

• ${\displaystyle A=|c_{1}+c_{2}i|,}$
• ${\displaystyle \varphi =\arg(c_{1}+c_{2}i)}$

في الحل، c₁ و _c₂ ثابتان يُحددان بالشروط الابتدائية (وتحديدًا، الموضع الابتدائي عند الزمن t = 0 _هو c₁ ، بينما السرعة الابتدائية هي c₂ω )، ويُحدد الأصل عند موضع الاتزان. [ _أ ^] لكل من هذين الثابتين دلالة فيزيائية للحركة: A هي السعة (أقصى إزاحة عن موضع الاتزان)، و _ω = 2πf هي التردد الزاوي ، و φ هي الطور الابتدائي . ^[ب]

باستخدام تقنيات حساب التفاضل والتكامل ، يمكن إيجاد السرعة والتسارع كدالة للزمن: $${\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi ),}$$

• سرعة:${\displaystyle {\omega }{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}$
• السرعة القصوى: v = ωA (عند نقطة التوازن)

$${\displaystyle a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi ).}$$

• أقصى تسارع: Aω ² (عند النقاط القصوى)

بحسب التعريف، إذا كانت كتلة m تخضع لحركة توافقية بسيطة، فإن تسارعها يتناسب طرديًا مع الإزاحة. $${\displaystyle a(x)=-\omega ^{2}x.}$$ أين $${\displaystyle \أوميغا ^{2}={\frac {k}{m}}}$$

بما أن ω = 2 πf ، $${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}},}$$ وبما أن T = 1 / f حيث T هي الفترة الزمنية ،$${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}.}$$

توضح هذه المعادلات أن الحركة التوافقية البسيطة متساوية الزمن (الفترة والتردد مستقلان عن السعة والطور الأولي للحركة).

باستبدال ω ² بـ k / m ، تكون الطاقة الحركية K للنظام عند الزمن t هي $${\displaystyle K(t)={\tfrac {1}{2}}mv^{2}(t)={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi )={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi ),}$$ والطاقة الكامنة هي $${\displaystyle U(t)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}(t)={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t-\varphi ).}$$ في حالة عدم وجود احتكاك أو فقدان للطاقة، تكون الطاقة الميكانيكية الكلية ذات قيمة ثابتة $${\displaystyle E=K+U={\tfrac {1}{2}}kA^{2}.}$$

الأنظمة الفيزيائية التالية هي بعض الأمثلة على المذبذب التوافقي البسيط .

نير اسكتلندي

يمكن استخدام آلية النير الاسكتلندي للتحويل بين الحركة الدورانية والحركة الترددية الخطية. تتخذ الحركة الخطية أشكالاً مختلفة تبعاً لشكل الفتحة، ولكن النير الأساسي ذو سرعة الدوران الثابتة ينتج حركة خطية بسيطة ذات شكل توافقي.

• فولز، غرانت ر.؛ كاسيداي، جورج ل. (2005). الميكانيكا التحليلية (  الطبعة السابعة). تومسون بروكس/كول. ISBN 0-534-49492-7.
• تايلور، جون ر. (2005). الميكانيكا الكلاسيكية . منشورات جامعة العلوم. ISBN 1-891389-22-X.
• ثورنتون، ستيفن ت.؛ ماريون، جيري ب. (2003). الديناميكا الكلاسيكية للجسيمات والأنظمة (الطبعة الخامسة  ). بروكس كول. ISBN 0-534-40896-6.
• ووكر، جيرل (2011). مبادئ الفيزياء (  الطبعة التاسعة). هوبوكين، نيو جيرسي: وايلي. ISBN 978-0-470-56158-4.

• الحركة التوافقية البسيطة من هايبرفيزيكس
• محاكاة جافا لمذبذب الكتلة والنابض
• تطبيق Geogebra لأنظمة الكتلة والنابض، مع 3 ملفات PDF مرفقة حول الحركة التوافقية البسيطة، والمذبذبات المُحركة/المُخمدة، وأنظمة الكتلة والنابض مع الاحتكاك