تخمين إليوت-هالبرستام

في نظرية الأعداد ، تُعدّ حدسية إليوت-هالبرستام حدسيةً حول توزيع الأعداد الأولية في المتتابعات الحسابية . ولها تطبيقات عديدة في نظرية الغربال . سُمّيت هذه الحدسية نسبةً إلى بيتر د. ت. أ. إليوت وهيني هالبرستام ، اللذين صاغا صيغةً محددةً منها عام 1968. ^{[ 1 ]}

إحدى صيغ الفرضية هي كما يلي، ويتطلب ذكرها بعض الرموز. ليكن${\displaystyle \pi (x)}$دالة عد الأعداد الأولية ، تشير إلى عدد الأعداد الأولية الأقل من أو تساوي${\displaystyle x}$. لو${\displaystyle q}$هو عدد صحيح موجب و${\displaystyle a}$هو عدد أولي فيما بينه و${\displaystyle q}$، نحن نترك${\displaystyle \pi (x;q,a)}$يشير إلى عدد الأعداد الأولية الأقل من أو تساوي${\displaystyle x}$والتي تساوي${\displaystyle a}$modulo${\displaystyle q}$ثم تنص نظرية ديريشليه حول الأعداد الأولية في المتتابعات الحسابية على ما يلي :

${\displaystyle \pi (x;q,a)\sim {\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}\ \ (x\rightarrow \infty )}$

أين${\displaystyle \varphi }$هي دالة أويلر . إذا قمنا بعد ذلك بتعريف دالة الخطأ

${\displaystyle E(x;q)=\max _{{\text{gcd}}(a,q)=1}\left|\pi (x;q,a)-{\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}\right|}$

حيث يتم أخذ الحد الأقصى على الكل${\displaystyle a}$عدد أولي نسبيًا لـ${\displaystyle q}$إذن، فإن تخمين إليوت-هالبرستام هو التأكيد على أنه لكل${\displaystyle \theta <1}$و${\displaystyle A>0}$يوجد ثابت${\displaystyle C>0}$بحيث

${\displaystyle \sum _{1\leq q\leq x^{\theta }}E(x;q)\leq {\frac {Cx}{\log ^{A}x}}}$

للجميع${\displaystyle x>2}$.

وقد ثبتت صحة هذه الفرضية للجميع${\displaystyle \theta <1/2}$بواسطة إنريكو بومبيري ^{[ 2 ]} وإيه آي فينوغرادوف ^{[ 3 ]} ( نظرية بومبيري-فينوغرادوف ، والمعروفة أحيانًا ببساطة باسم "نظرية بومبيري")؛ هذه النتيجة مفيدة للغاية بالفعل، كونها صيغة متوسطة لفرضية ريمان المعممة . من المعروف أن التخمين يفشل عند نقطة النهاية${\displaystyle \theta =1}$^{[ 4 ]} في عام 1986 ، قام بومبيري وفريدلاندر وإيوانيك بتعميم حدسية إليوت-هالبرستام، باستخدام التفاف ديريشليه للدوال الحسابية المتعلقة بدالة فون مانجولد . ^{[ 5 ]}

تترتب على حدسية إليوت-هالبرستام عدة نتائج. من أبرزها النتيجة التي أعلنها دان غولدستون ، ويانوس بينتز ، وجيم يلدريم ، ^{[ 6 ] [ 7 ]} والتي تُظهر (بافتراض هذه الحدسية) وجود عدد لا نهائي من أزواج الأعداد الأولية التي لا يزيد الفرق بينها عن 16. في نوفمبر 2013، أثبت جيمس ماينارد أنه مع مراعاة حدسية إليوت-هالبرستام، يمكن إثبات وجود عدد لا نهائي من أزواج الأعداد الأولية المتتالية التي لا يزيد الفرق بينها عن 12. ^{[ 8 ]} وفي أغسطس 2014، أثبتت مجموعة بوليمات أنه مع مراعاة حدسية إليوت-هالبرستام المعممة ، يمكن إثبات وجود عدد لا نهائي من أزواج الأعداد الأولية المتتالية التي لا يزيد الفرق بينها عن 6. ^{[ 9 ]} ودون افتراض أي شكل من أشكال الحدسية، فإن الحد الأدنى المُثبت هو 246.

لم تُذكر فرضية إليوت-هالبرستام الأصلية بوضوح في ورقتهم البحثية ^{[ 1 ]} ، ولكن يمكن استنتاجها من (1) الصفحة 59 والتعليق الوارد أعلى النظرية في الصفحة 62. وتنص على أن

${\displaystyle \sum _{q\leq x}\varphi (q)\max _{(h,q)=1}\left(\pi (x,q,h)-{\frac {\operatorname {li} x}{\varphi (q)}}\right)^{2}\ll {\frac {x^{2}}{\log ^{A}x}}}$

متاح${\displaystyle X<x(\log x)^{-A-1}}$، أين${\displaystyle \operatorname {li} x}$يرمز إلى التكامل اللوغاريتمي و${\displaystyle \varphi }$دالة أويلر.

• نظرية باربان-دافنبورت-هالبرستام
• مثير للغاية
• نظرية سيجل-والفيسز