نظرية الدوائر المتساوية

في الهندسة ، تُستمد نظرية الدوائر المتساوية من كتاب "سانغاكو" الياباني ، وتتعلق بالإنشاء التالي: تُرسَم سلسلة من الأشعة من نقطة معينة إلى خط معين بحيث تكون الدوائر الداخلية للمثلثات المتكونة من الأشعة المتجاورة والخط الأساسي متساوية. في الرسم التوضيحي، تُحدد الدوائر الزرقاء المتساوية المسافة بين الأشعة، كما هو موضح.

تنص النظرية على أن الدوائر الداخلية للمثلثات المتكونة (بدءًا من أي شعاع مُعطى) من كل شعاع ثانٍ، وكل شعاع ثالث، وهكذا، مع خط الأساس متساوية أيضًا. وقد تم توضيح حالة كل شعاع ثانٍ أعلاه بالدوائر الخضراء، وهي جميعها متساوية.

انطلاقاً من حقيقة أن النظرية لا تعتمد على زاوية الشعاع الابتدائي، يتضح أنها تنتمي إلى التحليل الرياضي ، لا الهندسة، وترتبط بدالة قياس متصلة تحدد تباعد الأشعة. في الواقع، هذه الدالة هي الجيب الزائدي .

تُعدّ هذه النظرية نتيجة مباشرة للّمة التالية:

لنفترض أن الشعاع رقم n يصنع زاوية${\displaystyle \gamma _{n}}$مع الوضع الطبيعي بالنسبة للخط الأساسي. إذا${\displaystyle \gamma _{n}}$يتم تحديد المعاملات وفقًا للمعادلة،${\displaystyle \tan \gamma _{n}=\sinh \theta _{n}}$ثم قيم${\displaystyle \theta _{n}=a+nb}$، أين${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$تُعرّف هذه الثوابت الحقيقية سلسلة من الأشعة التي تحقق شرط تساوي الدوائر الداخلية، وعلاوة على ذلك، يمكن إنتاج أي سلسلة من الأشعة التي تحقق هذا الشرط عن طريق اختيار مناسب للثوابت.${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$.

في الرسم التخطيطي، يمثل الخطان PS وPT شعاعين متجاورين يصنعان زوايا${\displaystyle \gamma _{n}}$و${\displaystyle \gamma _{n+1}}$مع الخط PR، وهو عمودي على خط الأساس، RST.

الخط QXOY موازٍ للخط الأساسي ويمر عبر النقطة O، مركز الدائرة الداخلية لـ${\displaystyle \triangle }$الخط PST، وهو مماس للأشعة عند النقطتين W و Z. كما أن للخط PQ طولاً.${\displaystyle hr}$والخط QR له طول${\displaystyle r}$، نصف قطر الدائرة الداخلية.

ثم${\displaystyle \triangle }$OWX مشابه لـ${\displaystyle \triangle }$PQX و${\displaystyle \triangle }$يشبه OZY${\displaystyle \triangle }$PQY، ومن XY = XO + OY نحصل على

${\displaystyle (hr)(\tan \gamma _{n+1}-\tan \gamma _{n})=r(\sec \gamma _{n}+\sec \gamma _{n+1}).}$

هذه العلاقة على مجموعة من الزوايا،${\displaystyle \{\gamma _{m}\}}$، يعبر عن شرط تساوي الدوائر الداخلية.

لإثبات اللمة، نضع${\displaystyle \tan \gamma _{n}=\sinh(a+nb)}$، مما يعطي${\displaystyle \sec \gamma _{n}=\cosh(a+nb)}$.

استخدام ${\displaystyle a+(n+1)b=(a+nb)+b}$نطبق قواعد الجمع لـ${\displaystyle \sinh }$و${\displaystyle \cosh }$وتحقق من أن علاقة تساوي الدوائر الداخلية محققة عن طريق وضع

${\displaystyle {\frac {r}{hr}}=\tanh {\frac {b}{2}}.}$

وهذا يعطي تعبيرًا للمعامل${\displaystyle b}$من حيث المقاييس الهندسية،${\displaystyle h}$و${\displaystyle r}$. مع هذا التعريف لـ${\displaystyle b}$ثم نحصل على تعبير لنصف القطر،${\displaystyle r_{N}}$، من الدوائر الداخلية المتكونة بأخذ كل شعاع رقم N كأضلاع للمثلثات

${\displaystyle {\frac {r_{N}}{h-r_{N}}}=\tanh {\frac {Nb}{2}}.}$

• دالة زائدية
• النظرية اليابانية للمضلعات الدورية
• النظرية اليابانية للأشكال الرباعية الدورية
• الخطوط المماسية للدوائر

• نظرية الدوائر المتساوية في موقع cut-the-knot
• ج. تابوف. ملاحظة حول نظرية الدوائر الخمس. مجلة الرياضيات 63 (1989)، 2، 92-94.