نظرية K الجبرية المتغيرة

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 28 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات، نظرية K الجبرية المتغيرة هي نظرية K جبرية مرتبطة بالفئةكوهجي⁡(X){\displaystyle \operatorname {Coh} ^{G}(X)}من الحزم المتماسكة المتغيرة على مخطط جبري X مع تأثير مجموعة جبرية خطية G ، عبر بناء كويلين Q ؛ وبالتالي، بحسب التعريف،

كأناجي(X)=πأنا(ب+كوهجي⁡(X)).{\displaystyle K_{i}^{G}(X)=\pi _{i}(B^{+}\operatorname {Coh} ^{G}(X)).}

بخاصة،ك0جي(ج){\displaystyle K_{0}^{G}(C)}هي مجموعة غروتينديككوهجي⁡(X){\displaystyle \operatorname {Coh} ^{G}(X)}. تم تطوير هذه النظرية بواسطة آر دبليو توماسون في ثمانينيات القرن العشرين. [ 1 ] وعلى وجه التحديد، أثبت نظائر متغيرة لنظريات أساسية مثل نظرية التوطين.

وبعبارة أخرى،كأناجي(X){\displaystyle K_{i}^{G}(X)}يمكن تعريفها بأنهاكأنا{\displaystyle K_{i}}من فئة الحزم المتماسكة على مكدس القسمة[X/جي]{\displaystyle [X/G]}[ 2 ] [ 3 ] (وبالتالي ، فإن نظرية K المتغيرة هي حالة خاصة من نظرية K للحزمة .)

ينطبق شكل من أشكال نظرية النقطة الثابتة لليفشيتز في سياق نظرية K المتغيرة (الجبرية). [ 4 ]

النظريات الأساسية

ليكن X مخططًا جبريًا متكافئًا.

نظرية التموضع — بالنظر إلى غمر مغلقZ↪X{\displaystyle Z\hookrightarrow X}من المخططات الجبرية المتغيرة والغمر المفتوحZ-يو↪X{\displaystyle ZU\hookrightarrow X}، هناك تسلسل دقيق طويل من المجموعات

⋯→كأناجي(Z)→كأناجي(X)→كأناجي(يو)→كأنا-1جي(Z)→⋯{\displaystyle \cdots \to K_{i}^{G}(Z)\to K_{i}^{G}(X)\to K_{i}^{G}(U)\to K_{i-1}^{G}(Z)\to \cdots }

أمثلة

من الأمثلة الأساسية على مجموعات نظرية K المتغيرة مجموعات K المتغيرة لـجي{\displaystyle G}- حزم متماسكة متغيرة على نقاط، لذلككأناجي(*){\displaystyle K_{i}^{G}(*)}. منذكوهجي(*){\displaystyle {\text{Coh}}^{G}(*)}يعادل الفئةمندوب(جي){\displaystyle {\text{Rep}}(G)}من التمثيلات ذات الأبعاد المحدودة لـجي{\displaystyle G}ثم، مجموعة غروتينديك منمندوب(جي){\displaystyle {\text{Rep}}(G)}، المشار إليهR(جي){\displaystyle R(G)}يكونك0جي(*){\displaystyle K_{0}^{G}(*)}[ 5 ]​

حلقة توروس

بالنظر إلى طارة جبريةتي≅جيمك{\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {G} _{m}^{k}}تمثيل محدود الأبعادV{\displaystyle V}يُعطى بمجموع مباشر لـ1{\displaystyle 1}-الأبعادتي{\displaystyle \mathbb {T} }-وحدات تسمى أوزانV{\displaystyle V}[ 6 ] يوجد تماثل صريح بينكتي{\displaystyle K_{\mathbb {T} }}وZ[ت1،...،تك]{\displaystyle \mathbb {Z} [t_{1},\ldots ,t_{k}]}يتم تقديمها عن طريق الإرسال[V]{\displaystyle [V]}إلى طابعها المرتبط. [ 7 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ تشارلز أ. ويبل ، روبرت و. توماسون (1952-1995) .
  2. ↑ آدم، أليخاندرو؛ روان، يونغبين (يونيو 2003). "نظرية K للمدارات الملتوية". الاتصالات في الفيزياء الرياضية . 237 (3): 533-556 . arXiv : math/0107168 . Bibcode : 2003CMaPh.237..533A . doi : 10.1007/s00220-003-0849-x . ISSN 0010-3616 . S2CID 12059533 .  
  3. ↑ كريشنا، أماليندو؛ رافي، شارانيا (2017-08-02). "النظرية الجبرية K لحزم القسمة". arXiv : 1509.05147 [ math.AG ].
  4. ↑ باوم، فولتون وكوارت 1979
  5. ↑ كريس، نيل؛ جينزبورغ، نيل. نظرية التمثيل والهندسة المعقدة . ص 243-244 . 
  6. ↑ لـجيم{\displaystyle \mathbb {G} _{m}}توجد خريطةو:جيم→جيم{\displaystyle f:\mathbb {G} _{m}\to \mathbb {G} _{m}}إرسالت↦تك{\displaystyle t\mapsto t^{k}}. منذجيم⊂أ1{\displaystyle \mathbb {G} _{m}\subset \mathbb {A} ^{1}}يوجد تمثيل مستحثو^:جيم→جيL(أ1){\displaystyle {\hat {f}}:\mathbb {G} _{m}\to GL(\mathbb {A} ^{1})}وزنك{\displaystyle k}انظر إلى الطارة الجبرية لمزيد من المعلومات.
  7. ↑ أوكونكوف، أندريه (2017-01-03). "محاضرات حول الحسابات النظرية K في الهندسة التعدادية". ص 13. arXiv : 1512.07363 [ math.AG ]. 
  • ن. كريس وف. جينزبورغ، نظرية التمثيل والهندسة المعقدة، بيركهاوزر، 1997.
  • باوم، بول؛ فولتون، ويليام؛ كوارت، جورج (1979). "Lefschetz-riemann-roch للأصناف المفردة" . Acta Mathematica . 143 : 193–211 . doi : 10.1007/BF02392092 .
  • توماسون، ر. و.: نظرية K الجبرية لتأثيرات مخططات الزمر. في: براودر، و. (محرر) الطوبولوجيا الجبرية ونظرية K الجبرية. (حوليات الدراسات الرياضية، المجلد 113، الصفحات  539-563) برينستون: مطبعة جامعة برينستون 1987
  • توماسون، آر دبليو: نظرية ليفشيتز-ريمان-روخ وصيغة الأثر المتماسك. مجلة الرياضيات 85، 515-543 (1986)
  • توماسون، ر. و.، تروبو، ت.: نظرية K الجبرية العليا للمخططات والفئات المشتقة. في: كارتييه، ب. ، إيلوسي، ل. ، كاتز، ن. م. ، لومون، ج. ، مانين، ي. ، ريبيه، ك. أ . (محررون) كتاب غروتينديك التذكاري، المجلد الثالث. (سلسلة التقدم في الرياضيات، المجلد 88، الصفحات  247-435) بوسطن، بازل، برلين: بيركفيوزر 1990
  • توماسون، آر دبليو، صيغة ليفشيتز في نظرية الجبر المتساوية، ديوك ماث. ج. 68 (1992)، 447-462.

للمزيد من القراءة