نظرية K الجبرية

في القرن التاسع عشر، أثبت برنارد ريمان وتلميذه غوستاف روخ ما يُعرف الآن بنظرية ريمان-روخ . إذا كان X سطحًا ريمانيًا ، فإن مجموعات الدوال الميرومورفية والأشكال التفاضلية الميرومورفية على X تُشكّل فضاءات متجهة. تُحدّد حزمة خطية على X فضاءات جزئية من هذه الفضاءات المتجهة، وإذا كان X إسقاطيًا، فإن هذه الفضاءات الجزئية تكون ذات أبعاد منتهية. تنص نظرية ريمان-روخ على أن الفرق في الأبعاد بين هذه الفضاءات الجزئية يساوي درجة الحزمة الخطية (مقياس الالتواء) زائد واحد ناقص جنس X. في منتصف القرن العشرين، عمّم فريدريش هيرزبروش نظرية ريمان-روخ لتشمل جميع الأصناف الجبرية. في صياغة هيرزبروش، المعروفة بنظرية هيرزبروش-ريمان-روخ ، أصبحت النظرية بيانًا حول خصائص أويلر : خاصية أويلر لحزمة متجهة على تنوع جبري (وهي المجموع المتناوب لأبعاد مجموعات التماثل الخاصة بها) تساوي خاصية أويلر للحزمة التافهة مضافًا إليها عامل تصحيح ناتج عن الفئات المميزة للحزمة المتجهة. وهذا تعميم، لأنه على سطح ريمان إسقاطي، تساوي خاصية أويلر لحزمة خطية الفرق في الأبعاد المذكور سابقًا، وتساوي خاصية أويلر للحزمة التافهة واحدًا ناقص الجنس، والفئة المميزة الوحيدة غير التافهة هي الدرجة.

يستمد موضوع نظرية K اسمه من بناء ألكسندر غروتينديك عام 1957 ، والذي ظهر في نظرية غروتينديك-ريمان-روخ ، وهي تعميمه لنظرية هيرزبروش. ^{[ 2 ]} ليكن X صنفًا جبريًا أملسًا. يربط غروتينديك بكل حزمة متجهة على X ثابتًا، وهو فئتها . سُميت مجموعة جميع الفئات على X بـ K ( X ) نسبةً إلى الكلمة الألمانية Klasse . بحسب التعريف، فإن K ( X ) هي خارج قسمة المجموعة الأبيلية الحرة على فئات التشاكل لحزم المتجهات على X ، وبالتالي فهي مجموعة أبيلية. إذا رُمز لعنصر الأساس المقابل لحزمة متجهة V بالرمز [ V ]، فإنه لكل متتالية تامة قصيرة من حزم المتجهات:

${\displaystyle 0\to V'\to V\to V''\to 0,}$

فرض غروتينديك العلاقة [ V ] = [ V′ ] + [ V″ ] . تحدد هذه المولدات والعلاقات K ( X )، وهي تشير إلى أنها الطريقة العالمية لتعيين الثوابت لحزم المتجهات بطريقة متوافقة مع المتتاليات التامة.

تبنى غروتينديك منظورًا مفاده أن نظرية ريمان-روخ تُعنى بتشاكلات المتنوعات، لا بالمتنوعات نفسها. وقد أثبت وجود تشاكل من K ( X ) إلى زمر تشاو لـ X، انطلاقًا من خاصية تشيرن وفئة تود لـ X. بالإضافة إلى ذلك، أثبت أن التشاكل الصحيح f  : X → Y إلى تنوع أملس Y يُحدد تشاكلًا f _*  : K ( X ) → K ( Y ) يُسمى الدفع الأمامي . وهذا يُتيح طريقتين لتحديد عنصر في زمرة تشاو لـ Y من حزمة متجهة على X : بدءًا من X ، يُمكن حساب الدفع الأمامي في نظرية K أولًا ، ثم تطبيق خاصية تشيرن وفئة تود لـ Y ، أو يُمكن تطبيق خاصية تشيرن وفئة تود لـ X أولًا ، ثم حساب الدفع الأمامي لزمر تشاو. وتنص نظرية غروتينديك-ريمان-روخ على أن هاتين الطريقتين متساويتان. عندما تكون Y نقطة، فإن حزمة المتجهات هي فضاء متجهي، وفئة الفضاء المتجهي هي بُعده، وتتخصص نظرية غروتينديك-ريمان-روخ في نظرية هيرزبروش.

تُعرف المجموعة K ( X _{) الآن باسم} K₀ ₍ X ). عند استبدال حزم المتجهات بالوحدات الإسقاطية، تم تعريف K₀ أيضًا للحلقات غير التبادلية، حيث وُجدت لها تطبيقات في تمثيلات المجموعات . سارع أتياه وهيرزبروش إلى نقل بناء غروتينديك إلى علم الطوبولوجيا واستخدماه لتعريف نظرية K الطوبولوجية . ^{[ 3 ]} كانت نظرية K الطوبولوجية من أوائل الأمثلة على نظرية التماثل الاستثنائية : فهي تربط بكل فضاء طوبولوجي X (يُحقق بعض القيود التقنية البسيطة) سلسلة من المجموعات Kₙ ₍ X ) التي تُحقق جميع بديهيات إيلنبرغ-ستينرود باستثناء بديهية التطبيع. مع ذلك، فإن سياق الأصناف الجبرية أكثر صرامة، ولم تكن البنى المرنة المستخدمة في الطوبولوجيا متاحة. في حين بدت المجموعة K₀ مُحققة للخصائص اللازمة لتكون بداية لنظرية تماثل للأصناف الجبرية والحلقات غير التبادلية، لم يكن هناك تعريف واضح للمجموعة _{الأعلى Kₙ} ( X ) . حتى مع تطوير هذه التعريفات، فإن المشكلات التقنية المحيطة بالتقييد واللصق عادةً ما أجبرت على تعريف K _n فقط للحلقات، وليس للأصناف.

سبق أن قدّم جيه إتش سي وايتهيد مجموعةً وثيقة الصلة بالمجموعة _K1 لحلقات المجموعات . حاول هنري بوانكاريه تعريف أعداد بيتي لمتشعب بدلالة التثليث. إلا أن أساليبه انطوت على ثغرةٍ جوهرية: لم يستطع بوانكاريه إثبات أن تثليثين لمتشعب يُنتجان دائمًا نفس أعداد بيتي. كان من الواضح أن أعداد بيتي لا تتغير بتقسيم التثليث، وبالتالي كان من البديهي أن أي تثليثين يشتركان في تقسيمٍ فرعيٍّ مشترك لهما نفس أعداد بيتي. ما لم يكن معروفًا هو أن أي تثليثين يقبلان تقسيمًا فرعيًا مشتركًا. أصبحت هذه الفرضية تخمينًا يُعرف باسم Hauptvermutung (أي "التخمين الرئيسي"). حقيقة أن التثليثات مستقرة تحت التقسيم الفرعي دفعت جيه إتش سي وايتهيد إلى تقديم مفهوم نوع التماثل البسيط . ^{[ 4 ]} يُعرَّف التكافؤ التماثلي البسيط بإضافة عناصر بسيطة أو خلايا إلى مُركَّب بسيط أو مُركَّب خلوي، بحيث ينكمش كل عنصر بسيط أو خلية إضافية إلى جزء من الفضاء الأصلي. ويكمن جزء من دافع هذا التعريف في أن أي جزء من التثليث يُكافئ تماثليًا بسيطًا بالتثليث الأصلي، وبالتالي فإن أي تثليثين يشتركان في جزء مشترك يجب أن يكونا متكافئين تماثليًا بسيطًا.

أثبت وايتهيد أن التكافؤ التماثلي البسيط هو ثابت أدق من التكافؤ التماثلي، وذلك بإدخال ثابت يُسمى الالتواء . يأخذ التواء التكافؤ التماثلي قيمًا في زمرة تُسمى الآن زمرة وايتهيد، ويُرمز لها بـ Wh ( π )، حيث π هي الزمرة الأساسية للمركب المستهدف. وجد وايتهيد أمثلة على الالتواء غير التافه ، وبذلك أثبت أن بعض التكافؤات التماثلية ليست بسيطة. اكتُشف لاحقًا أن زمرة وايتهيد هي خارج قسمة K1 ( Zπ ) ، حيث Zπ هي حلقة الزمرة التكاملية لـ π . لاحقًا، _استخدم جون ميلنور التواء ريديميستر ، وهو ثابت مرتبط بالتواء وايتهيد ، لدحض فرضية هاوبتفيرموتونغ.

وضع هايمان باس وستيفن شانيل أول تعريف وافٍ لـ K1 _للحلقة . ^{[ 5 ]} في نظرية K الطوبولوجية _، يُعرَّف K1 باستخدام حزم متجهة على تعليق للفضاء. جميع هذه الحزم المتجهة ناتجة عن بنية الربط ، حيث تُلصق حزمتان متجهتان تافهتان على نصفي الفضاء على طول شريط مشترك من الفضاء. تُعبَّر بيانات الربط هذه باستخدام المجموعة الخطية العامة ، لكن عناصر تلك المجموعة المُستمدة من المصفوفات الأولية (المصفوفات المُقابلة لعمليات الصف أو العمود الأولية) تُعرِّف عمليات ربط مكافئة. انطلاقًا من هذا، فإن تعريف باس-شانيل لـ K1 للحلقة R _هو GL ( R ) / E ( R ) ، حيث GL ( R ) هي المجموعة الخطية العامة اللانهائية (اتحاد جميع _عناصر GLn ( R )) و E ( R ) هي المجموعة الجزئية من المصفوفات الأولية. كما قدموا تعريفًا لـ K ₀ لتشاكل الحلقات وأثبتوا أنه يمكن وضع K ₀ و K _{1 معًا في تسلسل دقيق مشابه للتسلسل الدقيق} للتجانس النسبي .

تُوِّجت الجهود المبذولة في نظرية K خلال هذه الفترة بكتاب باس " نظرية K الجبرية " . ^{[ 6 ]} بالإضافة إلى تقديمه عرضًا متماسكًا للنتائج المعروفة آنذاك، حسّن باس العديد من صيغ النظريات. ومن الجدير بالذكر أن باس، بالاستناد إلى عمله السابق مع مورثي، ^{[ 7 ]} قدّم أول برهان لما يُعرف الآن بالنظرية الأساسية لنظرية K الجبرية _{. وهي عبارة عن متتالية تامة من} أربعة حدود تربط K₀ للحلقة R بـ K₁ للحلقة _R ، وحلقة كثيرات الحدود R [ t ]، والتموضع R [ t , t ^{- 1} ]. أدرك باس أن هذه النظرية تُقدّم وصفًا لـ _K₀ بدلالة K₁ فقط . _{وبتطبيق} هذا الوصف بشكل تكراري، أنتج مجموعات K _{السالبة} K⁻ⁿ ( _R ) . في عمل مستقل، قدم ماكس كاروبي تعريفًا آخر للمجموعات السالبة من النوع K لبعض الفئات وأثبت أن تعريفاته أدت إلى نفس المجموعات التي قدمها باس. ^{[ 8 ]}

جاء التطور الرئيسي التالي في هذا المجال مع تعريف K² _. درس شتاينبرغ الامتدادات المركزية الشاملة لزمرة شيڤالي على حقل، وقدم عرضًا صريحًا لهذه الزمرة بدلالة المولدات والعلاقات. ^{[ 9 ]} في حالة زمرة المصفوفات الأولية Eₙ(k)، يُكتب الامتداد المركزي الشامل الآن Stₙ ₍ k ) _ويُسمى زمرة شتاينبرغ . في ربيع عام 1967، عرّف جون ميلنور K² ( R ) على أنها نواة التشاكل _St ( R ) → E ( R ) . ^{[ 10 ]} وسّعت الزمرة K² بعض المتتاليات التامة المعروفة لـ K₁ _و K₀ _، وكان لها تطبيقات بارزة في نظرية الأعداد. أظهرت أطروحة هيديا ماتسوموتو عام 1968 [ ^{11 ]} أنه بالنسبة للحقل F ، _فإن K² ( F ⁾ متماثلة مع _:

${\displaystyle F^{\times }\otimes _{\mathbf {Z} }F^{\times }/\langle x\otimes (1-x)\colon x\in F\setminus \{0,1\}\rangle .}$

تتحقق هذه العلاقة أيضًا بواسطة رمز هيلبرت ، الذي يعبر عن قابلية حل المعادلات التربيعية على الحقول المحلية . وعلى وجه الخصوص، تمكن جون تيت من إثبات أن K² ( Q ₎ مبني أساسًا على قانون التبادل التربيعي .

في أواخر الستينيات وأوائل السبعينيات، طُرحت عدة تعريفات لنظرية K العليا. قدّم كلٌّ من سوان ^{[ 12 ]} وجيرستن ^{[ 13 ]} تعريفات لـ K _{_n} لجميع قيم n ، وأثبت جيرستن تكافؤ نظريته مع نظرية سوان، إلا أنه لم يكن معروفًا آنذاك أن النظريتين تُحققان جميع الخصائص المتوقعة. كما اقترح نوبيل وفيلامايور تعريفًا لمجموعات K العليا . ^{[ 14 ]} عرّف كاروبي وفيلامايور مجموعات K ذات سلوك جيد لجميع قيم n ، ^{[ 15 ]} ولكن مكافئ K_{₁ لديهما كان أحيانًا ناتج قسمة صحيحًا لـ} K _₁ لباس-شانويل . تُسمى مجموعات K الخاصة بهما الآن KV_{_n} ، وهي مرتبطة بتعديلات نظرية K الثابتة تحت التماثل .

استلهم ميلنور جزئيًا من نظرية ماتسوموتو، فوضع تعريفًا للمجموعات العليا من الرتبة K للحقل. ^{[ 16 ]} ووصف تعريفه بأنه " مخصص تمامًا "، ^{[ 17 ]} ولم يبدُ أنه قابل للتعميم على جميع الحلقات، كما لم يبدُ أنه التعريف الصحيح لنظرية K العليا للحقول. وفي وقت لاحق، اكتشف نيستيرينكو وسوسلين ^{[ 18 ]} وتوتارو ^{[ 19 ]} أن نظرية ميلنور K هي في الواقع مجموع مباشر لنظرية K الحقيقية للحقل. تحديدًا، تحتوي المجموعات K على ترشيح يُسمى ترشيح الوزن ، ونظرية ميلنور K للحقل هي الجزء الأعلى وزنًا من نظرية K. بالإضافة إلى ذلك، اكتشف توماسون أنه لا يوجد نظير لنظرية ميلنور K للتنوع العام. ^{[ 20 ]}

كان تعريف دانيال كويلين لنظرية K العليا أول تعريف يحظى بقبول واسع . ^{[ 21 ]} وكجزء من عمل كويلين على حدسية آدامز في الطوبولوجيا، قام بإنشاء دوال من فضاءات التصنيف BGL ( Fq ₎ إلى ألياف التماثل ^ψq⁻¹ ، حيث ψq هي عملية آدامز رقم q ^التي تؤثر على فضاء التصنيف BU . هذه الدالة غير دورية، وبعد تعديل BGL ( Fq ) تعديلًا طفيفًا لإنتاج فضاء جديد BGL ( _{Fq )} ^⁺ ، أصبحت الدالة تكافؤًا تماثليًا. سُمي هذا التعديل بالبناء الزائد . كان من المعروف أن عمليات آدامز مرتبطة بفئات تشيرن ونظرية K منذ عمل غروتينديك، ولذلك دفع ذلك كويلين إلى تعريف نظرية K لـ R على أنها مجموعات التماثل لـ BGL ( R ) ^⁺ . لم يقتصر الأمر على استعادة K ₁ و K ₂ فحسب ، بل إن علاقة نظرية K بعمليات Adams سمحت لكويلين بحساب مجموعات K للحقول المنتهية.

فضاء التصنيف BGL متصل، لذا فشل تعريف كويلين في إعطاء القيمة الصحيحة لـ K₀ _. إضافةً إلى ذلك، لم يُعطِ أي مجموعات K سالبة. ولأن K₀ كان له تعريف معروف ومقبول _، كان من الممكن تجاوز هذه الصعوبة، لكن الأمر ظلّ مُعقّدًا من الناحية التقنية. من الناحية المفاهيمية، تكمن المشكلة في أن التعريف مُستمد من GL ، الذي كان المصدر التقليدي لـ _K₁ . ولأن GL لا يعرف سوى حزم المتجهات المُلصقة، وليس حزم المتجهات نفسها، فقد كان من المستحيل عليه وصف K₀ _.

استلهم سيغال من محادثاته مع كويلين، وسرعان ما قدم منهجًا آخر لبناء نظرية K الجبرية تحت مسمى كائنات Γ. ^{[ 22 ]} يُعد منهج سيغال نظيرًا تماثليًا لبناء غروتينديك لـ _K₀ . فبينما عمل غروتينديك مع فئات التشاكل للحزم، عمل سيغال مع الحزم نفسها واستخدم تشاكلات الحزم كجزء من بياناته. ينتج عن ذلك طيف تكون مجموعاته التماثلية هي مجموعات K العليا (بما في ذلك _K₀ ) . مع ذلك، لم يتمكن منهج سيغال إلا من فرض علاقات على المتتاليات التامة المنقسمة، وليس المتتاليات التامة العامة. في فئة الوحدات الإسقاطية على حلقة، تنقسم كل متتالية تامة قصيرة، وبالتالي يمكن استخدام كائنات Γ لتعريف نظرية K للحلقة. ومع ذلك، توجد متواليات قصيرة دقيقة غير منقسمة في فئة حزم المتجهات على مجموعة متنوعة وفي فئة جميع الوحدات النمطية فوق حلقة، لذلك لم ينطبق نهج سيغال على جميع الحالات ذات الأهمية.

في ربيع عام ١٩٧٢، اكتشف كويلين منهجًا جديدًا لبناء نظرية K العليا ، والذي أثبت نجاحًا باهرًا. بدأ هذا التعريف الجديد بفئة تامة ، وهي فئة تُحقق خصائص شكلية معينة تُشبه، ولكنها أضعف قليلًا، الخصائص التي تُحققها فئة الوحدات أو حزم المتجهات. انطلاقًا من هذه الفئة، بنى كويلين فئة مساعدة باستخدام أداة جديدة أطلق عليها اسم " بناء Q ". وكما هو الحال مع كائنات Γ لسيغال، فإن بناء Q متجذر في تعريف غروتينديك لـ _K₀ . ولكن على عكس تعريف غروتينديك، فإن بناء Q يُنشئ فئة، وليس زمرة أبيلية، وعلى عكس كائنات Γ لسيغال، فإن بناء Q يعمل مباشرةً مع المتتاليات التامة القصيرة. إذا كانت C فئة أبيلية ، فإن QC هي فئة لها نفس كائنات C، ولكن تُعرَّف تشاكلاتها بدلالة المتتاليات التامة القصيرة في C. تُعدّ زمر K للفئة التامة زمر التماثل لـ Ω BQC ، وهي فضاء الحلقات للتمثيل الهندسي (يؤدي أخذ فضاء الحلقات إلى تصحيح الفهرسة). وقد أثبت كويلين أيضًا " نظرية + = Q " التي تنص على أن تعريفيه لنظرية K متطابقان. وقد أدى ذلك إلى تحديد K ₀ الصحيح ، وإلى براهين أبسط، ولكنه لم يُسفر مع ذلك عن أي زمر K سالبة .

جميع الفئات الأبيلية هي فئات تامة، ولكن ليست كل الفئات التامة أبيلية. ولأن كويلين كان قادرًا على العمل في هذا السياق الأكثر عمومية، فقد استطاع استخدام الفئات التامة كأدوات في براهينه. وقد مكّنته هذه التقنية من إثبات العديد من النظريات الأساسية لنظرية K الجبرية . إضافةً إلى ذلك، كان من الممكن إثبات أن تعريفات سوان وجيرستن السابقة كانت مكافئة لتعريفات كويلين في ظل شروط معينة.

بدت نظرية K الآن وكأنها نظرية تماثل للحلقات ونظرية تماثل للأصناف. مع ذلك، افترضت العديد من نظرياتها الأساسية أن الحلقة أو الصنف المعني منتظم. إحدى العلاقات الأساسية المتوقعة كانت متتالية تامة طويلة (تُسمى "متتالية التوطين") تربط نظرية K لصنف X ومجموعة فرعية مفتوحة U. لم يتمكن كويلين من إثبات وجود متتالية التوطين بشكل عام. لكنه استطاع إثبات وجودها لنظرية ذات صلة تُسمى نظرية G (أو أحيانًا نظرية K ′ ). عُرّفت نظرية G في وقت مبكر من تطور هذا المجال على يد غروتينديك. عرّف غروتينديك G₀ ( X ) لصنف X بأنه الزمرة الأبيلية الحرة على فئات التشاكل للحزم المتماسكة على X ، _مع مراعاة العلاقات الناتجة عن المتتاليات التامة للحزم المتماسكة. في الإطار التصنيفي الذي تبناه مؤلفون لاحقون، تُعرَّف نظرية K لمتنوعة ما بأنها نظرية K لفئة حزم المتجهات الخاصة بها، بينما تُعرَّف نظرية G الخاصة بها بأنها نظرية K لفئة الحزم المتماسكة. لم يقتصر الأمر على قدرة كويلين على إثبات وجود متتالية موضعية دقيقة لنظرية G ، بل استطاع أيضًا إثبات أن نظرية K للحلقات أو المتنوعات المنتظمة تُساوي نظرية G ، وبالتالي فإن نظرية K للمتنوعات المنتظمة تمتلك متتالية موضعية دقيقة. ولأن هذه المتتالية كانت أساسية للعديد من الحقائق في هذا المجال، فقد سادت فرضيات الانتظام الأعمال المبكرة في نظرية K العليا.

كان أول تطبيق لنظرية K الجبرية على الطوبولوجيا هو بناء وايتهيد لالتواء وايتهيد. وقد توصل سي تي سي وول في عام 1963 إلى بناء مشابه _. ^{[ 23 ]} وجد وول أن الفضاء X الذي يهيمن عليه مُركب منتهٍ له خاصية أويلر معممة تأخذ قيمًا في خارج قسمة K₀ ( Zπ ) ، حيث π هي المجموعة الأساسية للفضاء. يُطلق على هذا الثابت اسم عائق وول للنهائية لأن X يكون مكافئًا تماثليًا لمركب منتهٍ إذا وفقط إذا كان الثابت معدومًا. وجد لوران سيبنمان في أطروحته ثابتًا مشابهًا لثابت وول يُشكل عائقًا أمام كون مشعب مفتوح هو باطن مشعب متراص ذي حدود. ^{[ 24 ]} إذا كان لمتشعبين حدود M و N دواخل متماثلة (في TOP أو PL أو DIFF حسب الاقتضاء) ، فإن التماثل بينهما يحدد h -cobordism بين M و N.

أُعيد تفسير التواء وايتهيد لاحقًا بطريقة أكثر مباشرة من منظور نظرية K. وقد تم هذا التفسير الجديد من خلال دراسة التماثلات h . يُقال عن مشعبين M و N من البعد n أنهما متماثلان h إذا وُجد مشعب W من البعد ( n + 1) بحدود هي الاتحاد المنفصل بين M و N، وتكون عمليات تضمين M و N في W متكافئة تماثليًا (في الفئات TOP أو PL أو DIFF). وقد نصت نظرية التماثل h لستيفن سميل [ ^{25 ] على} أنه إذا كان n ≥ 5 ، وكان W متراصًا، وكانت M و N و W متصلة اتصالًا بسيطًا، فإن W يكون متماثلًا مع الأسطوانة M × [0, 1] (في TOP أو PL أو DIFF حسب الاقتضاء). وقد أثبتت هذه النظرية حدسية بوانكاريه لـ n ≥ 5 .

إذا لم يُفترض أن M و N متصلتان اتصالاً بسيطاً، فإن التماثل h -cobordism ليس بالضرورة أسطوانة. تشرح نظرية التماثل s -cobordism، التي وضعها كل من مازور ^{[ 26 ]} وستالينغز وباردن ^{[ 27 ]} بشكل مستقل ، الحالة العامة: يكون التماثل h -cobordism أسطوانة إذا وفقط إذا كان التواء وايتهيد للتضمين M ⊂ W يساوي صفرًا. هذا يُعمم نظرية التماثل h -cobordism لأن فرضيات الاتصال البسيط تفترض أن زمرة وايتهيد ذات الصلة تافهة. في الواقع، تفترض نظرية التماثل s -cobordism وجود تقابل ثنائي بين فئات التشاكل للتماثلات h -cobordism وعناصر زمرة وايتهيد.

من الأسئلة البديهية المرتبطة بوجود التماثلات من الرتبة h، مسألة تفردها. المفهوم الطبيعي للتكافؤ هو التماثل . أثبت جان سيرف أنه بالنسبة للمشعبات الملساء المتصلة ببساطة M ذات البعد 5 على الأقل، فإن تماثل التماثلات من الرتبة h هو نفسه مفهوم أضعف يُسمى التماثل الزائف. ^{[ 28 ] درس} هاتشر وواغنر مكونات فضاء التماثلات الزائفة وربطاها بقسمة K² ( _Zπ ) . [ ^{29 ]}

السياق المناسب لنظرية التماثل- s هو فضاء تصنيف التماثلات- h . إذا كانت M متعددة شعب CAT، فإن H ^CAT ( M ) هو فضاء يصنف حزم التماثلات- h على M. يمكن إعادة تفسير نظرية التماثل- s على أنها تنص على أن مجموعة المكونات المتصلة لهذا الفضاء هي زمرة وايتهيد لـ π ₁ ( M ). يحتوي هذا الفضاء على معلومات أكثر بكثير من زمرة وايتهيد؛ على سبيل المثال، يصف المكون المتصل للتماثل التافه الأسطوانات الممكنة على M ، وهو على وجه الخصوص العائق أمام تفرد التماثل بين متعددة شعب و M × [0, 1] . دفع التفكير في هذه المسائل فالدهاوزن إلى تقديم نظريته الجبرية K للفضاءات. ^{[ 30 ]} إن نظرية K الجبرية لـ M هي فضاء A ( M ) مُعرَّف بحيث يؤدي الدور نفسه تقريبًا بالنسبة للمجموعات K الأعلى كما يفعل K1 ( _Zπ1 ( M )) بالنسبة لـ M. على وجه الخصوص _، أثبت فالدهاوزن وجود تطبيق من A ( M ) إلى فضاء Wh( M) يُعمِّم التطبيق K1(Zπ1( M ) ) → Wh ₍ π1 ( M ₎ ) _، ويكون ليف التماثل الخاص به نظرية تماثل .

من أجل تطوير نظرية A بشكل كامل ، حقق فالدهاوزن تقدماً تقنياً هاماً في أسس نظرية K. فقد قدم فئات فالدهاوزن ، وبالنسبة لفئة فالدهاوزن C، ^قدم فئة تبسيطية S _⋅ C (حيث S اختصار لسيغال) مُعرَّفة بدلالة سلاسل التليف المشترك في C. ^{[ 31} ] وقد حرر هذا أسس نظرية K من الحاجة إلى الاستعانة بنظائر المتتاليات التامة.

اقترح كويلين على طالبه كينيث براون إمكانية وضع نظرية لحزم الأطياف ، حيث تُعدّ نظرية K مثالًا عليها. إذ تربط حزمة أطياف نظرية K ، بكل مجموعة فرعية مفتوحة من صنف ما، نظرية K لتلك المجموعة الفرعية المفتوحة. وقد طوّر براون هذه النظرية لأطروحته. وفي الوقت نفسه، راودت جيرستن الفكرة نفسها. وفي مؤتمر عُقد في سياتل خريف عام 1972، اكتشفا معًا متتالية طيفية تتقارب من تماثل الحزم لـ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{n}}$، حزمة من K _n- زمر على X ، إلى الزمرة K للفضاء الكلي. وهذا ما يسمى الآن بالمتتالية الطيفية براون-غيرستن . ^{[ 32 ]}

أثبت سبنسر بلوخ ، متأثرًا بعمل جيرستن على حزم مجموعات K ، أنه على سطح منتظم، مجموعة التماثل${\displaystyle H^{2}(X,{\mathcal {K}}_{2})}$متماثل مع زمرة تشاو ^CH₂ ( X ) ذات دورات ثنائية البعد على X. [ ^{33 ] استنادًا} إلى ذلك، افترض جيرستن أنه بالنسبة لحلقة محلية منتظمة R ذات حقل كسري F ، _{فإن Kₙ} ( R ) تُحقن في Kₙ ( F ) لجميع قيم _n . وسرعان ما أثبت كويلين صحة ذلك عندما تحتوي R على حقل، ^{[ 34 ]} وباستخدام ذلك أثبت أن

${\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {K}}_{p})\cong \operatorname {CH} ^{p}(X)}$

لكل قيمة p . تُعرف هذه الصيغة باسم صيغة بلوخ . ورغم التقدم المُحرز في حدسية جيرستن منذ ذلك الحين، إلا أن الحالة العامة لا تزال مفتوحة.

افترض ليشتنباوم أن قيمًا خاصة لدالة زيتا لحقل عددي يمكن التعبير عنها بدلالة زمر K لحلقة الأعداد الصحيحة في ذلك الحقل. ومن المعروف أن هذه القيم الخاصة مرتبطة بعلم التماثل الإيتالي لحلقة الأعداد الصحيحة. ولذلك، عمّم كويلين فرضية ليشتنباوم، متنبئًا بوجود متتالية طيفية شبيهة بمتتالية أتياس-هيرزبروش الطيفية في نظرية K الطوبولوجية . ^{[ 35 ]} تبدأ المتتالية الطيفية التي اقترحها كويلين من علم التماثل الإيتالي لحلقة R ، وعند درجات عالية كافية وبعد اكتمالها عند عدد أولي قابل للعكس في R ، تتصل بإكمال l - adic لنظرية K في R. في الحالة التي درسها ليشتنباوم، تتلاشى المتتالية الطيفية، مما يؤدي إلى تحقق فرضية ليشتنباوم.

أوحت ضرورة التمركز عند عدد أولي l لبراودر بضرورة وجود صيغة معدلة لنظرية K ذات معاملات محدودة. ^{[ 36 ]} قدّم براودر مجموعات نظرية K ، وهي K _{_n} ( R ; Z / lZ )، التي كانت فضاءات متجهة Z / lZ ، ووجد نظيرًا لعنصر بوت في نظرية K الطوبولوجية . استخدم سوليه هذه النظرية لبناء " فئات تشيرن الإيتالية "، وهي نظير لفئات تشيرن الطوبولوجية التي تأخذ عناصر من نظرية K الجبرية إلى فئات في علم التماثل الإيتالي . ^{[ 37 ]} على عكس نظرية K الجبرية ، يتميز علم التماثل الإيتالي بقابلية حسابية عالية، لذا وفرت فئات تشيرن الإيتالية أداة فعالة للكشف عن وجود عناصر في نظرية K. ثم ابتكر ويليام ج. دوير وإريك فريدلاندر نظيرًا لنظرية K في الطوبولوجيا الإيتالية يُسمى نظرية K الإيتالية . ^{[ 38 ]} بالنسبة للمتنوعات المعرفة على الأعداد المركبة، فإن نظرية K الإيتالية متماثلة مع نظرية K الطوبولوجية . علاوة على ذلك، تقبل نظرية K الإيتالية متتالية طيفية مشابهة لتلك التي افترضها كويلين. أثبت توماسون حوالي عام 1980 أنه بعد عكس عنصر بوت، تصبح نظرية K الجبرية ذات المعاملات المحدودة متماثلة مع نظرية K الإيتالية . ^{[ 39 ]}

خلال سبعينيات القرن العشرين وبداية ثمانينياته، ظلت نظرية K على الأصناف المفردة تفتقر إلى أسس كافية. فبينما كان يُعتقد أن نظرية K لكويلين تُعطي المجموعات الصحيحة، لم يكن معروفًا أن هذه المجموعات تمتلك جميع الخصائص المتوقعة. ولذلك، كان لا بد من إعادة صياغة نظرية K الجبرية . وقد قام توماسون بذلك في دراسة مطولة نسبها جزئيًا إلى صديقه الراحل توماس تروبو، الذي قال إنه ألهمه فكرة رئيسية في حلم. ^{[ 40 ]} جمع توماسون بين بناء فالدهاوزن لنظرية K وأسس نظرية التقاطع الموصوفة في المجلد السادس من كتاب غروتينديك " _ندوة الهندسة الجبرية في بوا ماري" . هناك، وُصفت K₀ بدلالة مُركبات الحزم على الأصناف الجبرية. اكتشف توماسون أنه عند العمل ضمن فئة مشتقة من الحزم، يمكن وصف متى يمكن تمديد مجموعة من الحزم من مجموعة فرعية مفتوحة من صنف إلى الصنف بأكمله. وبتطبيق بناء فالدهاوزن لنظرية K على الفئات المشتقة، تمكن توماسون من إثبات أن نظرية K الجبرية تمتلك جميع الخصائص المتوقعة لنظرية التماثل.

في عام ١٩٧٦، اكتشف ر. كيث دينيس تقنية جديدة تمامًا لحساب نظرية K ، تعتمد على تماثل هوخشيلد . ^{[ ٤١ ]} استندت هذه التقنية إلى وجود خريطة أثر دينيس ، وهي تشاكل من نظرية K إلى تماثل هوخشيلد. وبينما بدت خريطة أثر دينيس ناجحة في حسابات نظرية K ذات المعاملات المحدودة، إلا أنها كانت أقل نجاحًا في الحسابات الكسرية. افترض غودويلي، مدفوعًا بـ"حساب الدوال"، وجود نظرية وسيطة بين نظرية K وتماثل هوخشيلد. أطلق على هذه النظرية اسم تماثل هوخشيلد الطوبولوجي، لأن حلقتها الأساسية يجب أن تكون طيف الكرة (باعتبارها حلقة تُعرَّف عملياتها حتى التماثل فقط). في منتصف ثمانينيات القرن العشرين، قدّم بوكستيدت تعريفًا لتماثل هوخشيلد الطوبولوجي يُلبي جميع خصائص غودويلي التخمينية تقريبًا، مما أتاح إجراء المزيد من الحسابات على مجموعات K. ^{[ 42 ]} كانت نسخة بوكستيدت من خريطة أثر دينيس عبارة عن تحويل للأطياف K → THH . وقد تم تحليل هذا التحويل من خلال النقاط الثابتة لتأثير دائري على THH ، مما يشير إلى وجود علاقة مع التماثل الدوري . وفي سياق إثبات نظير جبري لنظرية K لتخمين نوفيكوف ، قدم بوكستيدت وهسيانغ ومادسون التماثل الدوري الطوبولوجي، الذي تربطه نفس العلاقة بالتماثل الطوبولوجي لهوششيلد كما يرتبط التماثل الدوري بهوششيلد. ^{[ 43 ]}

تُتيح خريطة دينيس لتتبع عوامل التماثل الطوبولوجي لهوشيلد من خلال التماثل الدوري الطوبولوجي أداةً أكثر تفصيلًا لإجراء الحسابات. في عام 1996، أثبت دونداس وجودويلي وماكارثي أن التماثل الدوري الطوبولوجي يمتلك، بمعنى دقيق، نفس البنية المحلية لنظرية K الجبرية ، بحيث إذا أمكن إجراء حساب في نظرية K أو التماثل الدوري الطوبولوجي، فإن العديد من الحسابات "المجاورة" الأخرى تتبعه. ^{[ 44 ]}

يأخذ المؤثر K₀ حلقة _A إلى زمرة غروتينديك لمجموعة فئات التشاكل لوحداتها الإسقاطية المولدة نهائيًا ، والتي تُعتبر شبه زمرة تحت الجمع المباشر. أي تشاكل حلقي A → B يُعطي تطبيقًا K₀ ₍ A ) → K₀ ( _B ) عن طريق إسقاط (فئة) وحدة إسقاطية A- M إلى M ⊗ _AB ، مما يجعل K₀ مؤثرًا _{متغايرًا} .

إذا كانت الحلقة A تبديلية، فيمكننا تعريف مجموعة جزئية من K ₀ ( A ) على أنها المجموعة

${\displaystyle {\tilde {K}}_{0}\left(A\right)=\bigcap \limits _{{\mathfrak {p}}{\text{ prime ideal of }}A}\mathrm {Ker} \dim _{\mathfrak {p}},}$

أين  :

${\displaystyle \dim _{\mathfrak {p}}:K_{0}\left(A\right)\to \mathbf {Z} }$

هل الخريطة هي التي ترسل كل (فئة من a) وحدة نمطية إسقاطية منتهية التوليد A -module M إلى رتبة حرة${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$-وحدة${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$(هذه الوحدة حرة بالفعل، لأن أي وحدة إسقاطية مولدة بشكل نهائي على حلقة محلية تكون حرة). هذه المجموعة الفرعية${\displaystyle {\tilde {K}}_{0}\left(A\right)}$يُعرف باسم نظرية K الصفرية المختزلة لـ A.

إذا كانت B حلقةً بدون عنصر محايد ، فيمكننا توسيع تعريف K₀ كما يلي. ليكن A = B ⊕ Z امتدادًا لـ B إلى حلقة ذات عنصر محايد، وذلك بإضافة العنصر المحايد (0,1). توجد متتالية تامة قصيرة _B → A → Z ، ونُعرّف K₀ ( B ) ^{بأنها نواة} التطبيق المقابل _{K₀ (} A ) → K₀ ( Z ) ₌ Z. ^[ 45 ]

قدم هايمان باس هذا التعريف، الذي يعمم مجموعة الوحدات في الحلقة: K ₁ ( A ) هو التبديل للمجموعة الخطية العامة اللانهائية :

${\displaystyle K_{1}(A)=\operatorname {GL} (A)^{\mbox{ab}}=\operatorname {GL} (A)/[\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]}$

هنا

${\displaystyle \operatorname {GL} (A)=\varinjlim \operatorname {GL} (n,A)}$

هو الحد المباشر لـ${\displaystyle \operatorname {GL} (n)}$، والتي تندمج في${\displaystyle \operatorname {GL} (n+1)}$مثل المصفوفات القطرية الكتلية مع إضافة${\displaystyle 1}$المدخل في أسفل اليمين، و${\displaystyle [\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]}$هي زمرة التبديل الخاصة بها . تُعرَّف المصفوفة الأولية بأنها مصفوفة تتكون من مجموع مصفوفة الوحدة وعنصر واحد خارج القطر الرئيسي (وهي مجموعة جزئية من المصفوفات الأولية المستخدمة في الجبر الخطي ). ثم تنص مبرهنة وايتهيد على أن الزمرة${\displaystyle \operatorname {E} (A)}$المصفوفات الأولية الناتجة تساوي مجموعة التبديل الفرعية${\displaystyle [\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]}$في الواقع، المجموعة${\displaystyle \operatorname {GL} (A)/\operatorname {E} (A)}$تم تعريفها ودراستها لأول مرة بواسطة وايتهيد، ^{[ 52 ]} وتسمى مجموعة وايتهيد للحلقة${\displaystyle A}$.

وجد جون ميلنور التعريف الصحيح لـ K ₂ : إنه مركز مجموعة شتاينبرغ St( A ) من A.

ويمكن تعريفها أيضاً بأنها نواة الخريطة

${\displaystyle \varphi \colon \operatorname {St} (A)\to \mathrm {GL} (A),}$

أو كمضاعف شور لمجموعة المصفوفات الأولية .

بالنسبة للحقل، يتم تحديد K _{2 بواسطة} رموز شتاينبرغ : وهذا يؤدي إلى نظرية ماتسوموتو.

يمكن حساب أن K² يساوي صفرًا لأي حقل منتهٍ. ^{[ 62 ] [ 63 ]} حساب K² ( Q ₎ معقد: أثبت تيت _ذلك ^{[ 63 ] [ 64 ]}

${\displaystyle K_{2}(\mathbf {Q} )=(\mathbf {Z} /4)^{*}\times \bigoplus _{p{\text{ odd prime}}}(\mathbf {Z} /p)^{*}\ }$

وأشار إلى أن البرهان جاء بعد برهان غاوس الأول لقانون التبادل التربيعي . ^{[ 65 ] [ 66 ]}

بالنسبة للحقول المحلية غير الأرخميدية، فإن المجموعة K ₂ ( F ) هي المجموع المباشر لمجموعة دورية منتهية من الرتبة m ، على سبيل المثال، ومجموعة قابلة للقسمة K ₂ ( F ) ^m . ^{[ 67 ]}

لدينا K ₂ ( Z ) = Z /2، ^{[ 68 ]} وبشكل عام، فإن K ₂ تكون منتهية بالنسبة لحلقة الأعداد الصحيحة لحقل عددي. ^{[ 69 ]}

كما أن لدينا K ₂ ( Z / n ) = Z /2 إذا كان n يقبل القسمة على 4، وإلا فهو يساوي صفرًا. ^{[ 70 ]}

أحد التعريفات المحتملة لنظرية K الجبرية العليا للحلقات قدمها كويلين

${\displaystyle K_{n}(R)=\pi _{n}(B\operatorname {GL} (R)^{+}),}$

هنا، πn _هي زمرة تماثلية ، وGL( R ) هي النهاية المباشرة للزمر الخطية العامة على R عندما يؤول حجم المصفوفة إلى اللانهاية، وB هي بناء فضاء التصنيف لنظرية التماثل ، و ^{+ هو} بناء كويلين الزائد . وقد توصل إلى هذه الفكرة في الأصل أثناء دراسته لتماثل الزمر .${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {F} _{q})}$^{[ 85 ]} وأشار إلى أن بعض حساباته كانت مرتبطة بـ${\displaystyle K_{1}(\mathbb {F} _{q})}$.

لا ينطبق هذا التعريف إلا على n  > 0، لذا غالبًا ما يتم تعريف نظرية K  الجبرية العليا عبر

${\displaystyle K_{n}(R)=\pi _{n}(B\operatorname {GL} (R)^{+}\times K_{0}(R))}$

بما أن BGL ( R ) ⁺ متصلة بالمسار و K ₀ ( R ) منفصلة، ​​فإن هذا التعريف لا يختلف في الدرجات الأعلى وينطبق أيضًا على n  =  0.

يُعطي بناء Q نفس نتائج بناء الجمع، ولكنه ينطبق على حالات أعم. علاوة على ذلك، فإن التعريف أكثر مباشرة، إذ أن مجموعات K ، المُعرَّفة عبر بناء Q، هي مجموعات دالية بحكم التعريف. هذه الحقيقة ليست تلقائية في بناء الجمع.

يفترض${\displaystyle P}$هي فئة محددة ؛ مرتبطة بـ${\displaystyle P}$فئة جديدة${\displaystyle QP}$يتم تعريفها، وأشياءها هي أشياء من${\displaystyle P}$والتشاكلات من M ′ إلى M ″ هي فئات تماثل المخططات

${\displaystyle M'\longleftarrow N\longrightarrow M'',}$

حيث يمثل السهم الأول تحويلاً فوقياً مقبولاً ، ويمثل السهم الثاني تحويلاً أحادياً مقبولاً . لاحظ التحويلات في${\displaystyle QP}$وهي مماثلة لتعريفات التشكلات في فئة الدوافع ، حيث تُعطى التشكلات على شكل تطابقات.${\displaystyle Z\subset X\times Y}$بحيث

${\displaystyle X\leftarrow Z\rightarrow Y}$

هو رسم بياني حيث يمثل السهم الموجود على اليسار خريطة تغطية (وبالتالي شاملة) ويمثل السهم الموجود على اليمين خريطة حقن. يمكن بعد ذلك تحويل هذه الفئة إلى فضاء طوبولوجي باستخدام بناء فضاء التصنيف${\displaystyle BQP}$، والذي يُعرَّف بأنه التحقيق الهندسي لعصب${\displaystyle QP}$ثم، المجموعة K رقم i من الفئة التامة${\displaystyle P}$ثم يُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle K_{i}(P)=\pi _{i+1}(\mathrm {BQ} P,0)}$

مع كائن ثابت صفري${\displaystyle 0}$لاحظ فضاء التصنيف الخاص بالزمرة الجزئية${\displaystyle B{\mathcal {G}}}$يؤدي ذلك إلى رفع مجموعات التماثل درجة واحدة، ومن هنا يحدث التحول في الدرجات لـ${\displaystyle K_{i}}$كون${\displaystyle \pi _{i+1}}$مساحة.

يتطابق هذا التعريف مع التعريف المذكور أعلاه لـ _K₀ ( P ) . إذا كانت P هي فئة الوحدات النمطية الإسقاطية المولدة نهائيًا _على R ، فإن هذا التعريف يتفق مع تعريف BGL ⁺ المذكور أعلاه لـ Kₙ ( R ) لجميع قيم n . وبشكل أعم، بالنسبة لمخطط X ، تُعرَّف مجموعات K العليا لـ X بأنها مجموعات K للحزم المتماسكة الحرة محليًا (أو الفئة الدقيقة لها ) على X.

يُستخدم أيضًا الشكل التالي: بدلًا من  الوحدات الإسقاطية المولدة نهائيًا (الحرة محليًا)، تُستخدم وحدات مولدة نهائيًا. تُكتب زمر K الناتجة عادةً G _{_n} ( R ). عندما تكون R حلقة منتظمة نوثرية ، تتطابق نظريتا G و K. في الواقع، البُعد الكلي للحلقات المنتظمة محدود، أي أن أي وحدة مولدة نهائيًا لها تحليل إسقاطي محدود P _* → M ، وتُظهر حجة بسيطة أن التطبيق القانوني K _₀ (R) → G_₀ (R) هو تماثل ، حيث [ M ] = Σ ± [ P _{_n} ]. يمتد هذا التماثل إلى زمر K الأعلى أيضًا.

يُعدّ بناء S ، الذي يعود إلى فالدهاوزن ، أحد البنى الثالثة لمجموعات نظرية K. ^{[ 86 ]} وهو ينطبق على الفئات ذات التليف المشترك (وتُسمى أيضًا فئات فالدهاوزن ). وهذا مفهوم أعمّ من الفئات التامة.

أولى وأهم الحسابات التي أجراها كويلين نفسه للمجموعات الجبرية العليا K لحلقة ما، كانت لحالة الحقول المنتهية :

إذا كان F _q هو الحقل المنتهي الذي يحتوي على q عنصرًا، فإن:

• K ₀ ( F _q ) = Z ,
• K _{2 i} ( F _q ) = 0 لـ i ≥1،
• K _{2 i –1} ( F _q ) = Z /( q ⁱ − 1) Z لـ i ≥ 1.     

قام ريك جاردين ( 1993 ) بتصحيح حسابات كويلين باستخدام طرق مختلفة. 

أثبت كويلين أنه إذا كانت A حلقة الأعداد الصحيحة الجبرية في حقل عددي جبري F (امتداد منتهٍ للأعداد النسبية)، فإن الزمر الجبرية K لـ A مولدة توليدًا منتهيًا. استخدم أرماند بوريل هذا لحساب Ki ₍ A ) و Ki ₍ F ) بتردد الالتواء. على سبيل المثال، بالنسبة للأعداد الصحيحة Z ، أثبت بوريل أن (بتردد الالتواء)

• K _i ( Z )/tors.=0 لـ i الموجبة إلا إذا كانت i=4k+1 حيث k موجبة
• K _{4 k +1} ( Z )/tors.= Z لـ k الموجب .

تم مؤخرًا تحديد الزمر الجزئية الالتوائية لـ K _{2 i +1} ( Z )، ورتب الزمر المنتهية K _{4 k +2} ( Z )، ولكن ما إذا كانت هذه الزمر الأخيرة دورية، وما إذا كانت الزمر K _{4 k} ( Z ) تتلاشى، يعتمد على حدسية فانديفر حول زمر فئات الأعداد الصحيحة الدورية. انظر حدسية كويلين-ليشتنباوم لمزيد من التفاصيل.

• نظرية K الجبرية العليا: نظرة عامة
• ماجورن، بروس أ. (2009)، مقدمة جبرية لنظرية K ، موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها، المجلد  87 (  طبعة ورقية منقحة)، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-10658-0
• روزنبرغ، جوناثان (1994)، نظرية K الجبرية وتطبيقاتها ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  147، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/978-1-4612-4314-4 ، ISBN 978-0-387-94248-3، MR 1282290 ، Zbl 0801.19001  . تصحيحات
• ويبل، تشارلز (2013)، كتاب K: مقدمة في نظرية K الجبرية ، دراسات عليا في الرياضيات ، المجلد  145، الجمعية الأمريكية للرياضيات

• أتيياه، مايكل ف .؛ هيرزبروش، فريدريش (1961)، حزم المتجهات والفضاءات المتجانسة ، وقائع ندوة الرياضيات البحتة، المجلد 3  ، الجمعية الرياضية الأمريكية ، الصفحات 7-38 
• باردن، دينيس (1964)، حول بنية وتصنيف المشعبات التفاضلية (أطروحة)، جامعة كامبريدج
• باس، هايمان ؛ مورثي، إم بي (1967)، "مجموعات غروتينديك ومجموعات بيكارد لحلقات المجموعات الأبيلية"، حوليات الرياضيات ، 86 (1): 16-73 ، doi : 10.2307/1970360 ، JSTOR 1970360 
• باس، هايمان ؛ شانويل، س. (1962)، "نظرية التماثل للوحدات الإسقاطية" ، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 68 (4): 425-428 ، doi : 10.1090/s0002-9904-1962-10826-x
• باس، هايمان (1968)، نظرية K الجبرية ، بنيامين
• بلوخ، سبنسر (1974)، " K ₂ من الدورات الجبرية"، حوليات الرياضيات ، 99 (2): 349-379 ، doi : 10.2307/1970902 ، JSTOR 1970902 
• بوكستيدت، م.، علم التماثل الطوبولوجي لهوششيلد . نسخة أولية، بيليفيلد، 1986.
• بوكستيدت، م.، هسيانغ، و.س.، مادسن، إ.، الأثر الدائري ونظرية الفضاءات الجبرية من النوع K. Invent. Math.، 111 (3) (1993)، 465-539.
• الأماكن القريبة : سيري ، جان بيير (1958)، “Le theoreme de Riemann – Roch” ، نشرة شركة الرياضيات في فرنسا ، 86 : 97– 136 ، دوى : 10.24033 / bsmf.1500
• براودر، ويليام (1978)، نظرية K الجبرية بمعاملات Z / p، سلسلة محاضرات في الرياضيات ، المجلد  657، دار نشر سبرينغر، الصفحات 40-84 
• براون، ك.، جيرستن، س.، نظرية K الجبرية كعلم تماثل الحزم المعمم ، نظرية K الجبرية I، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد 341، سبرينغر-فيرلاغ، 1973، ص  266-292.
• سيرف ، جان (1970)، “La Stratification Naturelle des Espaces de fonctions Differentiables Reelles et Le Theoreme de la pseudo-isotopie” ، منشورات Mathématiques de l'IHÉS ، 39 : 5– 173، دوى : 10.1007 / BF02684687
• دينيس، آر كيه، نظرية K الجبرية العليا وعلم التماثل لهوشيلد ، نسخة أولية غير منشورة (1976).
• Gersten، S (1971)، “On the functor K ₂ ” ، ج. الجبر ، 17 (2): 212–237 ، دوى : 10.1016 / 0021-8693(71)90030-5
• غروتينديك، ألكسندر، Classes de fasiceaux et theoreme de Riemann–Roch ، ملاحظات مطبوعة، برينستون 1957.
• هاتشر، ألين ؛ واغنر، جون (1973)، "النظائر الزائفة للمشعبات المدمجة"، أستيريسك ، 6 ، MR 0353337 
• كروبي، ماكس (1968)، “Foncteurs derives et K -theorie. فئات المرشحات”، Comptes Rendus de l'Académie des Sciences، Série AB ، 267 : A328– A331
• كروبي, ماكس ; Villamayor، O. (1971)، “K-theorie algebrique et K-theorie topologique” ، الرياضيات. سكاند. ، 28 : 265-307 ، دوى : 10.7146/math.scand.a-11024
• ماتسوموتو، هيديا (1969)، “Sur les sous-groupes aritmetiques des groupes Semi-simples Publishes” ، الحوليات العلمية للمدرسة العليا ، 2 : 1–62 ، دوى : 10.24033/asens.1174
• مازور، باري ( 1963)، "الطوبولوجيا التفاضلية من وجهة نظر نظرية التماثل البسيط" (ملف PDF) ، منشورات الرياضيات في المعهد العالي للدراسات العليا ، 15 : 5-93
• ميلنور، ج. (1970)، " نظرية K الجبرية والأشكال التربيعية"، مجلة الرياضيات ، 9 (4): 318-344 ، رمز Bibcode : 1970InMat...9..318M ، doi : 10.1007/bf01425486
• ميلنور، ج.، مقدمة في نظرية K الجبرية ، مطبعة جامعة برينستون، 1971.
• Nobile, A., Villamayor, O., Sur la K -theorie algebrique , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 4e serie, 1 , no. 3، 1968، 581-616.
• Quillen, Daniel, Cohomology of groups , Proc. ICM Nice 1970, vol. 2, Gauthier-Villars, Paris, 1971, 47–52.
• Quillen, Daniel, Higher algebraic K -theory I , Algebraic K -theory I, Lecture Notes in Math., vol. 341, Springer Verlag, 1973, 85–147.
• كويلين، دانيال، نظرية K الجبرية العليا ، وقائع المؤتمر الدولي للرياضيات، فانكوفر، 1974، المجلد الأول، الجمعية الرياضية الكندية، 1975، الصفحات 171-176. 
• سيغال، غرايم (1974)، "التصنيفات ونظريات التماثل" ، الطوبولوجيا ، 13 (3): 293-312 ، doi : 10.1016/0040-9383(74)90022-6
• Siebenmann, Larry, The Obstriction to Find a Boundary for an Open Manifold of Dimension Greater than Five , Thesis, Princeton University (1965).
• سميل، إس (1962)، "حول بنية المتشعبات"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 84 (3): 387-399 ، doi : 10.2307/2372978 ، JSTOR 2372978 
• شتاينبرغ، ر.، مولدات وعلاقات وتغطية المجموعات الجبرية ، ́Colloq. نظرية المجموعات الجبرية، غوتييه فيلار، باريس، 1962، ص  113-127. (فرنسي)
• سوان، ريتشارد، الجبر المتجانس غير التبديلي ونظرية K ، وقائع ندوة الرياضيات البحتة، المجلد السابع عشر، 1970، ص  88-123.
• توماسون، RW، نظرية K الجبرية وعلم التجانس étale ، آن. عالم. المفوضية الأوروبية. نورم. رشفة. 18 ، السلسلة 4e (1985)، 437–552؛ خطأ مطبعي 22 (1989)، 675-677.
• توماسون، آر دبليو، مبدأ العلم وعدم وجود نظرية K لميلنور العالمية ، الطوبولوجيا 31 ، رقم. 3، 1992، 571-588.
• توماسون، روبرت و.؛ تروبو، توماس (1990)، "نظرية K الجبرية العليا للمخططات والفئات المشتقة"، المجلد الثالث من سلسلة غروتينديك التذكارية ، سلسلة التقدم في الرياضيات، المجلد  88، بوسطن، ماساتشوستس: بيركهاوزر بوسطن، الصفحات 247-435 ، doi : 10.1007/978-0-8176-4576-2_10 ، ISBN  978-0-8176-3487-2MR 1106918​ 
• فالدهاوزن، ف.، نظرية K الجبرية للفضاءات الطوبولوجية . الجزء الأول ، في الطوبولوجيا الجبرية والهندسية (وقائع ندوة الرياضيات البحتة، جامعة ستانفورد، ستانفورد، كاليفورنيا، 1976)، الجزء 1، الصفحات  35-60، وقائع ندوة الرياضيات البحتة، XXXII، الجمعية الأمريكية للرياضيات، بروفيدنس، رود آيلاند، 1978.
• Waldhausen, F., Algebraic K -theory of spaces , in Algebraic and engineering topology (New Brunswick, NJ, 1983) , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1126 (1985), 318–419.
• وال، سي تي سي (1965)، "شروط التناهي لمجمعات سي دبليو"، حوليات الرياضيات ، 81 (1): 56-69 ، doi : 10.2307/1970382 ، JSTOR 1970382 
• وايت هيد، جيه إتش سي (1941)، "حول مصفوفات الوقوع، والنوى، وأنواع التماثل"، حوليات الرياضيات ، 42 (5): 1197-1239 ، doi : 10.2307/1970465 ، JSTOR 1970465 
• وايت هيد، جيه إتش سي (1950)، "أنواع التماثل البسيطة"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 72 (1): 1-57 ، doi : 10.2307/2372133 ، JSTOR 2372133 
• وايت هيد، جيه إتش سي (1939)، "الفضاءات التبسيطية، والنوى، والمجموعات-م"، وقائع جمعية لندن الرياضية ، 45 : 243-327 ، doi : 10.1112/plms/s2-45.1.243