إرلانج (وحدة)

الإرلانغ (رمزه E ^{[ 1 ]} ) وحدة قياس عديمة الأبعاد تُستخدم في الاتصالات الهاتفية لقياس الحمل المُقدَّم أو الحمل المُستَقبَل على عناصر تقديم الخدمة، مثل دوائر الهاتف أو معدات تحويل المكالمات الهاتفية. تستطيع دائرة سلكية واحدة العمل لمدة 60 دقيقة في الساعة. ويُشكّل الاستخدام الكامل لهذه السعة، أي 60 دقيقة من حركة البيانات، وحدة إرلانغ واحدة. ^{[ 2 ]}

يُعرَّف حجم البيانات المنقولة بوحدة إرلانج بأنه متوسط ​​عدد المكالمات المتزامنة خلال فترة زمنية محددة (غالباً ساعة واحدة)، بينما يُعرَّف حجم البيانات المعروضة بأنه حجم البيانات التي كان من المفترض نقلها لو نجحت جميع محاولات الاتصال. ويعتمد حجم البيانات المعروضة المنقولة فعلياً على مصير المكالمات التي لم يتم الرد عليها عندما تكون جميع الخوادم مشغولة.

أطلق المجلس الكندي للاتصالات وتكنولوجيا المعلومات والاتصالات (CCITT) اسم "إرلانغ" على الوحدة الدولية لقياس حركة الاتصالات الهاتفية عام 1946 تكريمًا لأغنر كراروب إرلانغ . ^{[ 3 ] [ 4 ]} في تحليله للاستخدام الأمثل لخطوط الهاتف، استنتج إرلانغ صيغتين مهمتين، هما إرلانغ-ب وإرلانغ-ج، اللتين أصبحتا من النتائج الأساسية في هندسة حركة الاتصالات ونظرية الطوابير . تربط نتائجه، التي لا تزال مستخدمة حتى اليوم، جودة الخدمة بعدد الخوادم المتاحة. وتعتمد كلتا الصيغتين على الحمل المُقدّم كأحد مدخلاتهما الرئيسية (بوحدة إرلانغ)، والذي يُعبّر عنه غالبًا بمعدل وصول المكالمات مضروبًا في متوسط ​​مدة المكالمة.

يفترض نموذج إيرلانج B افتراضًا أساسيًا مفاده عدم وجود قائمة انتظار، فإذا كانت جميع عناصر الخدمة قيد الاستخدام، فسيتم حظر أي مكالمة جديدة وبالتالي فقدانها. ويُحدد النموذج احتمالية حدوث ذلك. في المقابل، يُراعي نموذج إيرلانج C إمكانية وجود قائمة انتظار غير محدودة، ويُحدد احتمالية انتظار مكالمة جديدة في قائمة الانتظار نظرًا لاستخدام جميع الخوادم. تُطبق نماذج إيرلانج على نطاق واسع، ولكنها قد تفشل عند ارتفاع الازدحام بشكل كبير، مما يُؤدي إلى إعادة محاولة الاتصال الفاشل بشكل متكرر. ومن طرق حساب عمليات إعادة المحاولة عند عدم توفر قائمة انتظار، طريقة إيرلانج B الموسعة.

عند استخدام وحدة "إرلانج" لتمثيل حركة البيانات المنقولة ، فإن قيمة (قد تكون عددًا غير صحيح مثل 43.5) متبوعة بكلمة "إرلانج" تمثل متوسط ​​عدد المكالمات المتزامنة التي تنقلها الدوائر (أو عناصر تقديم الخدمة الأخرى)، حيث يُحسب هذا المتوسط ​​على مدى فترة زمنية معقولة. غالبًا ما تكون الفترة التي يُحسب المتوسط ​​خلالها ساعة واحدة، ولكن يمكن استخدام فترات أقصر (مثل 15 دقيقة) عندما يكون معروفًا وجود فترات قصيرة من الطلب، ويُراد قياس حركة البيانات دون إخفاء هذه الفترات. تشير وحدة "إرلانج" واحدة من حركة البيانات المنقولة إلى مورد واحد قيد الاستخدام المستمر، أو قناتين كل منهما قيد الاستخدام بنسبة 50% من الوقت، وهكذا. على سبيل المثال، إذا كان لدى مكتب ما مشغلان هاتفيان مشغولان طوال الوقت، فإن ذلك يمثل وحدتي "إرلانج" (2E) من حركة البيانات؛ أو يُقال إن قناة راديو مشغولة باستمرار خلال الفترة الزمنية المحددة (مثل ساعة واحدة) لديها حمولة قدرها وحدة "إرلانج" واحدة.

عند استخدام وحدة "إرلانج" لوصف حركة البيانات المعروضة ، فإن القيمة المتبوعة بـ "إرلانج" تمثل متوسط ​​عدد المكالمات المتزامنة التي كان من الممكن إجراؤها لو كان عدد الدوائر غير محدود (أي لو لم يتم رفض محاولات الاتصال التي تمت عندما كانت جميع الدوائر قيد الاستخدام). وتعتمد العلاقة بين حركة البيانات المعروضة وحركة البيانات المنقولة على تصميم النظام وسلوك المستخدم. ومن النماذج الشائعة: (أ) المتصلون الذين رُفضت محاولات اتصالهم يختفون ولا يعودون، (ب) المتصلون الذين رُفضت محاولات اتصالهم يحاولون الاتصال مرة أخرى خلال فترة زمنية قصيرة نسبيًا، (ج) يسمح النظام للمستخدمين بالانتظار في قائمة الانتظار حتى تصبح إحدى الدوائر متاحة.

يُعدّ قياس حركة البيانات اللحظية مقياسًا ثالثًا ، ويُعبّر عنه بعددٍ مُحدد من وحدات الإرلانغ، أي العدد الدقيق للمكالمات التي تجري في لحظةٍ زمنيةٍ مُعينة. في هذه الحالة، يكون العدد عددًا صحيحًا غير سالب . تقوم أجهزة تسجيل مستوى حركة البيانات، مثل مسجلات القلم المتحرك، برسم بيانات حركة البيانات اللحظية.

تتمتع المفاهيم والرياضيات التي قدمها أغنر كراروب إرلانج بتطبيقات واسعة تتجاوز مجال الاتصالات الهاتفية. فهي تنطبق على أي مكان يصل فيه المستخدمون بشكل عشوائي تقريبًا لتلقي خدمة حصرية من أي عنصر من مجموعة عناصر تقديم الخدمة دون حجز مسبق، على سبيل المثال، عندما تكون عناصر تقديم الخدمة هي نوافذ بيع التذاكر، أو دورات المياه في الطائرة، أو غرف الفنادق. (لا تنطبق نماذج إرلانج عندما تكون عناصر تقديم الخدمة مشتركة بين عدة مستخدمين متزامنين أو عندما يستهلك مستخدمون مختلفون كميات مختلفة من الخدمة، على سبيل المثال، على الدوائر التي تنقل حركة البيانات).

يهدف نموذج إيرلانغ لحركة البيانات إلى تحديد العدد الأمثل لعناصر تقديم الخدمة اللازمة لتلبية احتياجات المستخدمين، دون إهدار الموارد. ولتحقيق ذلك، يُحدد هدفٌ لمستوى الخدمة (GoS) أو جودة الخدمة (QoS). على سبيل المثال، في نظام لا توجد فيه طوابير انتظار، قد يكون مستوى الخدمة هو ألا يتم حظر (أي رفض) أكثر من مكالمة واحدة من كل 100 مكالمة بسبب استخدام جميع الدوائر (مستوى خدمة 0.01)، وهو ما يُصبح احتمال حظر المكالمات المستهدف، Pb _، عند استخدام صيغة إيرلانغ B.

توجد عدة صيغ ناتجة، منها Erlang B و Erlang C وصيغة Engset المرتبطة بها ، والتي تستند إلى نماذج مختلفة لسلوك المستخدم وتشغيل النظام. ويمكن اشتقاق كل منها باستخدام حالة خاصة من عمليات ماركوف ذات الزمن المستمر تُعرف بعملية الولادة والوفاة . كما توفر طريقة Extended Erlang B الأحدث حلاً إضافياً لحركة المرور يعتمد على نتائج Erlang.

يرتبط حجم حركة المرور المعروضة (بالإرلانغ) بمعدل وصول المكالمات ، λ ، ومتوسط ​​وقت الاحتفاظ بالمكالمات (متوسط ​​وقت المكالمة الهاتفية)، h ، من خلال:

${\displaystyle E=\lambda h}$

بشرط أن يتم التعبير عن h و λ باستخدام نفس وحدات الوقت (الثواني والمكالمات في الثانية، أو الدقائق والمكالمات في الدقيقة).

يعتمد القياس العملي لحركة المرور عادةً على رصد مستمر لعدة أيام أو أسابيع، حيث تُسجل حركة المرور اللحظية على فترات منتظمة وقصيرة (مثل كل بضع ثوانٍ). تُستخدم هذه القياسات لحساب نتيجة واحدة، وهي في الغالب حركة المرور في ساعة الذروة (بالإرلانغ). وهي متوسط ​​عدد المكالمات المتزامنة خلال ساعة محددة من اليوم، حيث تُختار هذه الساعة لتحقيق أعلى نتيجة. (تُسمى هذه النتيجة حركة المرور المتسقة زمنيًا في ساعة الذروة). يُمكن بدلاً من ذلك حساب قيمة حركة المرور في ساعة الذروة بشكل منفصل لكل يوم (والتي قد تتوافق مع أوقات مختلفة قليلاً كل يوم) ثم حساب متوسط ​​هذه القيم. وهذا يُعطي عمومًا قيمة أعلى قليلاً من قيمة حركة المرور المتسقة زمنيًا في ساعة الذروة.

عند قياس حجم حركة المرور الحالية في ساعة الذروة، E _{_c} ، على نظام مُثقل بالفعل، مع مستوى عالٍ من الحجب، يصبح من الضروري مراعاة المكالمات المحجوبة عند تقدير حجم حركة المرور المُتاحة في ساعة الذروة، E _{_o} (وهي قيمة حركة المرور المستخدمة في معادلات إيرلانج). يُمكن تقدير حجم حركة المرور المُتاحة باستخدام المعادلة E _{_o} = E _{_c} / (1 − P _{_b} ) . لهذا الغرض، إذا كان النظام يتضمن وسيلة لحساب المكالمات المحجوبة والناجحة، يُمكن تقدير P_{_b} مباشرةً من نسبة المكالمات المحجوبة. في حال عدم توفر هذه الوسيلة، يُمكن تقدير P_{_b} باستخدام E_{_c} بدلاً من E _{_o} في معادلة إيرلانج، ثم يُمكن استخدام التقدير الناتج لـ P _{_b في المعادلة E_o} = E _c / (1 − P_{_b} ) للحصول على تقدير أولي لـ E _{_o} .

هناك طريقة أخرى لتقدير E _o في نظام مثقل بالأحمال وهي قياس معدل وصول المكالمات في ساعات الذروة، λ (حساب المكالمات الناجحة والمكالمات المحظورة)، ومتوسط ​​وقت الاحتفاظ بالمكالمات (للمكالمات الناجحة)، h ، ثم تقدير E _o باستخدام الصيغة E = λh .

في حالة التعامل مع حركة مرور جديدة تمامًا، يكون الخيار الوحيد هو محاولة نمذجة سلوك المستخدم المتوقع. على سبيل المثال، يمكن تقدير عدد المستخدمين النشطين ( N) ، ومستوى الاستخدام المتوقع ( U) (عدد المكالمات/المعاملات لكل مستخدم يوميًا)، ومعامل تركيز ساعة الذروة ( C) (نسبة النشاط اليومي الذي يقع خلال ساعة الذروة)، ومتوسط ​​وقت الانتظار/وقت الخدمة ( h) (معبرًا عنه بالدقائق). وبالتالي، يكون إسقاط حركة المرور المعروضة خلال ساعة الذروة كالتالي: E _o = NUC / 60 h (  بالدقائق ). (القسمة على 60 تُحوّل معدل وصول المكالمات/المعاملات خلال ساعة الذروة إلى قيمة لكل دقيقة، لتتوافق مع وحدات قياس h ).

صيغة إيرلانج B (أو إيرلانج-B مع واصلة)، والمعروفة أيضًا بصيغة إيرلانج للخسارة ، هي صيغة لحساب احتمالية الحجب ، وتصف احتمالية فقدان المكالمات لمجموعة من الموارد المتوازية المتطابقة (خطوط الهاتف، أو الدوائر، أو قنوات المرور، أو ما يعادلها)، والتي يُشار إليها أحيانًا باسم طابور M/M/c/c . ^{[ 5 ]} تُستخدم هذه الصيغة، على سبيل المثال، لتحديد أبعاد روابط شبكة الهاتف. وقد اشتقها أغنر كراروب إيرلانج ، ولا تقتصر على شبكات الهاتف، إذ إنها تصف احتمالية في نظام طوابير (وإن كانت حالة خاصة تتضمن عددًا من الخوادم ولكن بدون مساحة انتظار للمكالمات الواردة حتى يتوفر خادم). ولذلك، تُستخدم هذه الصيغة أيضًا في بعض أنظمة إدارة المخزون التي تتضمن مبيعات ضائعة.

تنطبق هذه الصيغة بشرط ألا تُضاف المكالمة غير الناجحة، بسبب انشغال الخط، إلى قائمة الانتظار أو يُعاد إرسالها، بل تُحذف نهائيًا. يُفترض أن محاولات الاتصال تصل وفقًا لعملية بواسون ، وبالتالي فإن لحظات وصول المكالمات مستقلة. علاوة على ذلك، يُفترض أن أطوال الرسائل (أوقات الانتظار) موزعة أُسّيًا (نظام ماركوفي)، مع العلم أن الصيغة تنطبق أيضًا على توزيعات أوقات الانتظار العامة.

تفترض صيغة إيرلانج B وجود عدد لا نهائي من المصادر (مثل مشتركي الهاتف)، والتي تُقدّم مجتمعةً حركة البيانات إلى N خادمًا (مثل خطوط الهاتف). معدل λ، الذي يُعبّر عن تردد وصول المكالمات الجديدة (معدل المواليد، كثافة حركة البيانات ، إلخ)، ثابت ولا يعتمد على عدد المصادر النشطة. يُفترض أن العدد الإجمالي للمصادر لا نهائي. تحسب صيغة إيرلانج B احتمالية الحظر في نظام فقدان بدون مخزن مؤقت، حيث يتم إلغاء أي طلب لا تتم خدمته فورًا، مما يمنع تراكم أي طلبات في قائمة الانتظار. يحدث الحظر عندما يصل طلب جديد في وقت تكون فيه جميع الخوادم المتاحة مشغولة. تفترض الصيغة أيضًا أن حركة البيانات المحظورة تُزال ولا تعود.

توفر الصيغة GoS ( درجة الخدمة ) وهي احتمال P _b أن يتم رفض مكالمة جديدة تصل إلى مجموعة الموارد لأن جميع الموارد (الخوادم والخطوط والدوائر) مشغولة: B ( E , m ) حيث E هو إجمالي حركة المرور المعروضة بوحدة إرلانج، المعروضة على m من الموارد المتوازية المتطابقة (الخوادم وقنوات الاتصال ومسارات المرور).

${\displaystyle P_{\text{b}}=B(E,m)={\frac {\frac {E^{m}}{m!}}{\sum _{i=0}^{m}{\frac {E^{i}}{i!}}}}}$

أين:

• P _b هو احتمال الحجب
• يمثل m عدد الموارد المتوازية المتطابقة مثل الخوادم وخطوط الهاتف وما إلى ذلك.
• E = λh هو حمل الدخول المعياري (حركة المرور المعروضة مذكورة بوحدة إيرلانج).

وحدة إيرلانغ هي وحدة تحميل لا بُعدية تُحسب بضرب متوسط ​​معدل الوصول، λ ، في متوسط ​​مدة المكالمة، h . يجب أن تكون الوحدة لا بُعدية حتى يكون قانون ليتل منطقيًا من الناحية البُعدية.

يمكن التعبير عن ذلك بشكل متكرر ^{[ 6 ]} على النحو التالي، في شكل يستخدم لتبسيط حساب جداول صيغة إيرلانغ ب:

${\displaystyle B(E,0)=1.\,}$

${\displaystyle B(E,j)={\frac {EB(E,j-1)}{EB(E,j-1)+j}}\ \forall {j}=1,2,\ldots ,m.}$

عادةً، بدلاً من B ( E , m ) يتم حساب المعكوس 1/ B ( E , m ) في الحساب العددي لضمان الاستقرار العددي :

${\displaystyle {\frac {1}{B(E,0)}}=1}$

${\displaystyle {\frac {1}{B(E,j)}}=1+{\frac {j}{E}}{\frac {1}{B(E,j-1)}}\ \forall {j}=1,2,\ldots ,m.}$

يمكن اشتقاق الصيغة التكرارية من الصيغة غير التكرارية عن طريق الاستبدال المتكرر. ^{[ 7 ]}

دالة ErlangB ( E كعدد عشري ، m كعدد صحيح ) كعدد عشري، Dim InvB كعدد عشري ، Dim j كعدد صحيحInvB = 1.0 لـ j = 1 إلى m InvB = 1.0 + InvB * j / E التالي j ErlangB = 1.0 / InvB نهاية الدالة

أو نسخة بايثون:

دالة erlang_b ( E : float , m : int ) -> float : """حساب احتمالية فقدان المكالمات.""" inv_b = 1.0 for j in range ( 1 , m + 1 ): inv_b = 1.0 + inv_b * j / E return 1.0 / inv_b

صيغة إيرلانج B متناقصة ومحدبة بالنسبة لـ m . ^{[ 8 ]} تتطلب هذه الصيغة إمكانية نمذجة وصول المكالمات باستخدام عملية بواسون ، وهو ما لا يُعدّ دائمًا تطابقًا مثاليًا، ولكنه صالح لأي توزيع إحصائي لأوقات انتظار المكالمات بمتوسط ​​محدود. وهي تنطبق على أنظمة نقل البيانات التي لا تُخزّن البيانات مؤقتًا. ومن الأمثلة الحديثة، مقارنةً بشبكات الهاتف التقليدية (POTS) ، حيث لا تزال صيغة إيرلانج B قابلة للتطبيق، تقنية التبديل الضوئي النبضي (OBS) والعديد من الأساليب الحالية للتبديل الضوئي للحزم (OPS). طُوّرت صيغة إيرلانج B كأداة لتحديد حجم الخطوط الرئيسية لشبكات الهاتف ذات أوقات الانتظار التي تتراوح بين دقائق، ولكن نظرًا لكونها معادلة رياضية، فإنها تنطبق على أي نطاق زمني.

يختلف نموذج إيرلانج بي الموسع عن افتراضات نموذج إيرلانج بي الكلاسيكي في السماح لنسبة من المتصلين المحظورين بالمحاولة مرة أخرى، مما يؤدي إلى زيادة في حجم البيانات المعروضة عن المستوى الأساسي الأولي. وهو عبارة عن حساب تكراري وليس صيغة، ويضيف مُعاملًا إضافيًا، وهو عامل الاستدعاء.${\displaystyle R_{\text{f}}}$، والتي تحدد محاولات الاستدعاء. ^{[ 9 ]}

تتلخص خطوات هذه العملية فيما يلي. ^{[ 10 ]} تبدأ بالتكرار${\displaystyle k=0}$مع مستوى أساسي معروف لحركة المرور${\displaystyle E_{0}}$والتي يتم تعديلها تباعاً لحساب سلسلة من قيم حركة المرور الجديدة المعروضة${\displaystyle E_{k+1}}$، كل منها يفسر عمليات الاستدعاء الناجمة عن حركة المرور المعروضة المحسوبة مسبقًا${\displaystyle E_{k}}$.

1. احسب احتمالية حظر المتصل في محاولته الأولى$${\displaystyle P_{\text{b}}=B(E_{k},m)}$$كما هو مذكور أعلاه بالنسبة لـ Erlang B.
2. احسب العدد المحتمل للمكالمات المحظورة$${\displaystyle B_{\text{e}}=E_{k}P_{\text{b}}}$$
3. احسب عدد عمليات الاستدعاء،${\displaystyle R}$بافتراض عامل استدعاء ثابت،${\displaystyle R_{\text{f}}}$،$${\displaystyle R=B_{\text{e}}R_{\text{f}}}$$
4. احسب حجم الزيارات الجديدة المعروضة$${\displaystyle E_{k+1}=E_{0}+R}$$أين${\displaystyle E_{0}}$يمثل المستوى الأولي (الأساسي) لحركة المرور.
5. ارجع إلى الخطوة 1، واستبدل${\displaystyle E_{k+1}}$ل${\displaystyle E_{k}}$، وكرر العملية حتى الوصول إلى قيمة ثابتة لـ${\displaystyle E}$يتم الحصول عليه.

بمجرد الوصول إلى قيمة مرضية من${\displaystyle E}$تم العثور على احتمال الحجب${\displaystyle P_{\text{b}}}$ويمكن استخدام عامل الاستدعاء لحساب احتمالية فقدان جميع محاولات المتصل، ليس فقط مكالمته الأولى ولكن أيضًا أي محاولات إعادة لاحقة.

تعبر صيغة إيرلانج سي عن احتمالية اضطرار العميل الوافد إلى الانتظار في طابور (بدلاً من خدمته فوراً). ^{[ 11 ]} وكما هو الحال في صيغة إيرلانج بي، تفترض صيغة إيرلانج سي وجود عدد لا نهائي من المصادر، والتي توفر مجتمعةً حركة مرور من${\displaystyle E}$إرلانج إلى${\displaystyle m}$الخوادم. مع ذلك، إذا كانت جميع الخوادم مشغولة عند وصول طلب من مصدر ما، يُوضع الطلب في قائمة الانتظار. يمكن الاحتفاظ بعدد غير محدود من الطلبات في قائمة الانتظار بهذه الطريقة في وقت واحد. تحسب هذه الصيغة احتمالية وضع حركة المرور المعروضة في قائمة الانتظار، بافتراض أن المكالمات المحظورة تبقى في النظام حتى تتم معالجتها. تُستخدم هذه الصيغة لتحديد عدد الموظفين أو ممثلي خدمة العملاء اللازمين لتشغيل مركز اتصال ، لاحتمالية وضع محددة في قائمة الانتظار. مع ذلك، تفترض صيغة إيرلانج سي أن المتصلين لا ينهون المكالمة أبدًا أثناء وجودهم في قائمة الانتظار، مما يجعل الصيغة تتوقع استخدام عدد أكبر من الموظفين مما هو مطلوب فعليًا للحفاظ على مستوى الخدمة المطلوب.

${\displaystyle P_{\text{w}}={{{\frac {E^{m}}{m!}}{\frac {m}{mE}}} \over \left(\sum \limits _{i=0}^{m-1}{\frac {E^{i}}{i!}}\right)+{\frac {E^{m}}{m!}}{\frac {m}{mE}}}}$

أين:

• ${\displaystyle E}$إجمالي حركة المرور المعروضة بوحدات إيرلانغ
• ${\displaystyle m}$عدد الخوادم
• ${\displaystyle P_{\text{w}}}$هو احتمال أن يضطر العميل إلى الانتظار للحصول على الخدمة.

يفترض أن وصول المكالمات يمكن نمذجته بواسطة عملية بواسون وأن أوقات انتظار المكالمات موصوفة بتوزيع أسي ، وبالتالي فإن صيغة إيرلانج C تتبع من افتراضات نموذج قائمة الانتظار M/M/c .

عندما وضع إرلانج معادلات إرلانج-ب وإرلانج-ج المرورية، استندت هذه المعادلات إلى مجموعة من الافتراضات. هذه الافتراضات دقيقة في معظم الظروف؛ إلا أنه في حالة الازدحام المروري الشديد، تعجز معادلات إرلانج عن التنبؤ بدقة بالعدد الصحيح للدوائر المطلوبة بسبب حركة المرور العائدة. يُطلق على هذه الحالة اسم نظام ذي خسائر عالية ، حيث يؤدي الازدحام إلى مزيد من الازدحام في أوقات الذروة. في مثل هذه الحالات، من الضروري أولاً توفير العديد من الدوائر الإضافية لتخفيف الخسائر العالية. بمجرد اتخاذ هذا الإجراء، سيعود الازدحام إلى مستويات معقولة، ويمكن حينها استخدام معادلات إرلانج لتحديد العدد الدقيق للدوائر المطلوبة فعلياً. ^{[ 12 ]}

من الأمثلة على الحالات التي قد تؤدي إلى ظهور نظام ذي خسائر عالية، إعلانٌ تلفزيونيٌّ يُعلن عن رقم هاتفٍ مُحددٍ للاتصال به في وقتٍ مُعين. في هذه الحالة، سيتصل عددٌ كبيرٌ من الأشخاص بالرقم المُعلن عنه في وقتٍ واحد. إذا لم يُلبِّ مُزود الخدمة هذا الطلب المُفاجئ ، فسيحدث ازدحامٌ مروريٌّ شديدٌ، ولن يكون من الممكن استخدام معادلات إيرلانغ. ^{[ 12 ]}

• مركز الاتصال – مكتب يتعامل مع حجم كبير من الاستفسارات عبر الهاتف 
• محاكاة الأحداث المنفصلة - نوع من أنواع المحاكاة 
• صيغة إنجست
• توزيع إيرلانغ – عائلة من التوزيعات الاحتمالية المستمرة 
• لغة برمجة إرلانج – صفحات لغة البرمجة التي تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه 
• توزيع بواسون – توزيع احتمالي منفصل 
• الكفاءة الطيفية - معدل نقل المعلومات عبر نطاق ترددي معين 
• مزيج حركة المرور – نموذج في مجال الاتصالات 

• "حل بعض المسائل في نظرية احتمالات الدلالة في مقاسم الهاتف الآلية" (ملف PDF) . الهندسة الكهربائية . 13 : 5. 1917. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 19 يوليو 2011.