تحليل الأخطاء (الرياضيات)

يتضمن تحليل الخطأ الأمامي تحليل دالة${\displaystyle z'=f'(a_{0},\,a_{1},\,\dots ,\,a_{n})}$وهو تقريب (عادةً ما يكون متعدد الحدود المحدود) لدالة${\displaystyle z\,=\,f(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n})}$لتحديد حدود الخطأ في التقريب؛ أي لإيجاد${\displaystyle \epsilon }$بحيث${\displaystyle 0\,\leq \,|zz'|\,\leq \,\epsilon .}$ يُعد تقييم الأخطاء الأمامية أمراً مرغوباً فيه في الحسابات العددية المُدققة . ^{[ 2 ]}

يتضمن تحليل الخطأ العكسي تحليل دالة التقريب${\displaystyle z'\,=\,f'(a_{0},\,a_{1},\,\dots ,\,a_{n}),}$لتحديد حدود المعلمات${\displaystyle a_{i}\,=\,{\bar {a_{i}}}\,\pm \,\epsilon _{i}}$بحيث تكون النتيجة${\displaystyle z'\,=\,z.}$^{[ 3 ]}

يمكن استخدام تحليل الخطأ العكسي، الذي طوره ونشره جيمس هـ. ويلكنسون ، لإثبات استقرار خوارزمية تُنفذ دالة عددية عدديًا . ^{[ 4 ]} ويتمثل النهج الأساسي في إظهار أنه على الرغم من أن النتيجة المحسوبة، بسبب أخطاء التقريب، لن تكون دقيقة تمامًا، إلا أنها تمثل الحل الدقيق لمسألة مشابهة ذات بيانات إدخال مُشوشة قليلاً. إذا كان التشويش المطلوب صغيرًا، في حدود عدم اليقين في بيانات الإدخال، فإن النتائج تكون دقيقة إلى حد ما بقدر دقة البيانات. عندئذٍ، تُعرَّف الخوارزمية بأنها مستقرة عكسيًا . يُعد الاستقرار مقياسًا لحساسية إجراء عددي معين لأخطاء التقريب؛ في المقابل، يشير رقم حالة دالة لمسألة معينة إلى الحساسية الكامنة للدالة للتشويشات الصغيرة في مدخلاتها، وهو مستقل عن التنفيذ المستخدم لحل المسألة. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

يُعدّ تحليل الأخطاء المحسوبة باستخدام نظام تحديد المواقع العالمي ( GPS) أمرًا بالغ الأهمية لفهم آلية عمل هذا النظام، ولتحديد حجم الأخطاء المتوقعة. يُجري نظام تحديد المواقع العالمي تصحيحات لأخطاء ساعة جهاز الاستقبال وغيرها من العوامل، إلا أنه لا تزال هناك أخطاء متبقية لم تُصحّح. وقد أنشأت وزارة الدفاع الأمريكية (DOD) نظام تحديد المواقع العالمي (GPS) في سبعينيات القرن الماضي، وأصبح يُستخدم على نطاق واسع في الملاحة من قِبل الجيش الأمريكي وعامة الناس.

في عمليات المحاكاة الديناميكية الجزيئية (MD)، توجد أخطاء بسبب عدم كفاية أخذ عينات من فضاء الطور أو الأحداث التي تحدث بشكل غير متكرر، وهذا يؤدي إلى الخطأ الإحصائي بسبب التقلب العشوائي في القياسات.

بالنسبة لسلسلة من M قياسات لخاصية متذبذبة A ، فإن القيمة المتوسطة هي:

$${\displaystyle \langle A\rangle ={\frac {1}{M}}\sum _{\mu =1}^{M}A_{\mu }.}$$

عندما تكون هذه القياسات M مستقلة، فإن تباين المتوسط ​​⟨ A ⟩ هو:

$${\displaystyle \sigma ^{2}(\langle A\rangle )={\frac {1}{M}}\sigma ^{2}(A),}$$

لكن في معظم عمليات محاكاة الديناميكا الجزيئية، توجد علاقة ارتباط بين الكمية A في أوقات مختلفة، لذا سيتم التقليل من قيمة تباين المتوسط ​​⟨A⟩ لأن العدد الفعلي للقياسات المستقلة أقل من M. في مثل هذه الحالات ، نعيد كتابة التباين على النحو التالي :

$${\displaystyle \sigma ^{2}(\langle A\rangle )={\frac {1}{M}}\sigma ^{2}(A)\left[1+2\sum _{\mu }\left(1-{\frac {\mu }{M}}\right)\phi _{\mu }\right],}$$

أين${\displaystyle \phi _{\mu }}$دالة الارتباط الذاتي معرفة بواسطة

$${\displaystyle \phi _{\mu }={\frac {\langle A_{\mu }A_{0}\rangle -\langle A\rangle ^{2}}{\langle A^{2}\rangle -\langle A\rangle ^{2}}}.}$$

يمكننا بعد ذلك استخدام دالة الارتباط الذاتي لتقدير هامش الخطأ . ولحسن الحظ، لدينا طريقة أبسط بكثير تعتمد على حساب المتوسطات الكتلية . ^{[ 7 ]}

تتسم القياسات عمومًا بهامش خطأ ضئيل، وعادةً ما ينتج عن تكرار قياسات نفس العنصر اختلافات طفيفة في القراءات. يمكن تحليل هذه الاختلافات، وهي تخضع لخصائص رياضية وإحصائية معروفة. إذا بدت مجموعة من البيانات مطابقةً للفرضية بشكل مفرط، أي أن هامش الخطأ المعتاد في مثل هذه القياسات غير موجود، يُمكن استنتاج أن البيانات قد تكون مزورة. لا يكفي تحليل الخطأ وحده عادةً لإثبات تزوير البيانات أو تلفيقها، ولكنه قد يُقدّم الأدلة الداعمة اللازمة لتأكيد الشكوك حول سوء السلوك.