النواة (الجبر)

في الجبر ، تكون نواة التماثل (الدالة التي تحافظ على البنية ) عمومًا هي الصورة العكسية لـ 0 (باستثناء المجموعات التي يتم الإشارة إلى عمليتها مضاعفًا، حيث تكون النواة هي الصورة العكسية لـ 1). هناك حالة خاصة مهمة وهي نواة الخريطة الخطية . نواة المصفوفة ، والتي تسمى أيضًا الفضاء الصفري ، هي نواة الخريطة الخطية التي تحددها المصفوفة.

يتم تقليص نواة التماثل إلى 0 (أو 1) إذا وفقط إذا كان التماثل حقنيًا ، أي إذا كانت الصورة العكسية لكل عنصر تتكون من عنصر واحد. وهذا يعني أنه يمكن اعتبار النواة كمقياس لدرجة فشل التماثل في أن يكون حقنيًا. ^[1]

بالنسبة لبعض أنواع البنية، مثل المجموعات الإبلية ومساحات المتجهات ، فإن النوى المحتملة هي بالضبط البنى الفرعية من نفس النوع. هذا ليس هو الحال دائمًا، وفي بعض الأحيان، تلقت النوى المحتملة اسمًا خاصًا، مثل المجموعة الفرعية الطبيعية للمجموعات والمثل العليا ثنائية الجانب للحلقات .

تسمح النواة بتعريف كائنات الحاصل (وتسمى أيضًا جبر الحاصل في الجبر الشامل ، والنوى المشتركة في نظرية الفئات ). بالنسبة للعديد من أنواع البنية الجبرية، تنص النظرية الأساسية حول التماثلات (أو نظرية التماثل الأولى ) على أن صورة التماثل متماثلة مع الحاصل بواسطة النواة.

تم توسيع مفهوم النواة ليشمل الهياكل بحيث لا تكون الصورة العكسية لعنصر واحد كافية لتحديد ما إذا كان التماثل الشكلي حقنيًا أم لا. في هذه الحالات، تكون النواة علاقة تطابق .

تعتبر هذه المقالة بمثابة مسح لبعض أنواع النوى المهمة في الهياكل الجبرية.

ليكن V و W فضاءات متجهة على حقل ( أو بشكل عام، وحدات على حلقة ) وليكن T خريطة خطية من V إلى W. إذا كان 0 _W هو المتجه الصفري لـ W ، فإن نواة T هي الصورة الأولية للفضاء الفرعي الصفري { 0 _W }؛ أي المجموعة الفرعية لـ V المكونة من كل عناصر V التي يتم تعيينها بواسطة T إلى العنصر 0 _W. عادةً ما يشار إلى النواة باسم ker T ، أو بعض أشكالها:

${\displaystyle \ker T=\{\mathbf {v} \in V:T(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}\}.}$

نظرًا لأن الخريطة الخطية تحافظ على متجهات صفرية، فيجب أن ينتمي متجه الصفر 0 _V من V إلى النواة. يكون التحويل T قابلاً للحقن إذا وفقط إذا تم تقليص نواته إلى الفضاء الفرعي الصفري.

إن النواة ker T هي دائمًا فضاء فرعي خطي لـ V. وبالتالي، فمن المنطقي أن نتحدث عن فضاء القسمة V / (ker T ) . تنص نظرية التماثل الأولى لمساحات المتجهات على أن فضاء القسمة هذا متماثل بشكل طبيعي لصورة T (وهي فضاء فرعي لـ W ). ونتيجة لذلك، فإن بُعد V يساوي بُعد النواة بالإضافة إلى بُعد الصورة.

إذا كانت V و W ذات أبعاد محدودة وتم اختيار القواعد ، فيمكن وصف T بواسطة مصفوفة M ، ويمكن حساب النواة عن طريق حل النظام المتجانس للمعادلات الخطية M v = 0. في هذه الحالة، يمكن تحديد نواة T على أنها نواة المصفوفة M ، والتي تسمى أيضًا "الفضاء الخالي" لـ M. يتم إعطاء بُعد الفضاء الخالي، المسمى انعدام M ، من خلال عدد أعمدة M ناقص رتبة M ، كنتيجة لنظرية الرتبة والعدم .

غالبًا ما يرقى حل المعادلات التفاضلية المتجانسة إلى حساب نواة بعض العوامل التفاضلية . على سبيل المثال، من أجل إيجاد جميع الدوال القابلة للاشتقاق مرتين f من الخط الحقيقي إلى نفسها بحيث

${\displaystyle xf''(x)+3f'(x)=f(x),}$

دع V تكون مساحة جميع الدوال القابلة للاشتقاق مرتين، ودع W تكون مساحة جميع الدوال، وحدد عامل خطي T من V إلى W بواسطة

${\displaystyle (Tf)(x)=xf''(x)+3f'(x)-f(x)}$

بالنسبة لـ f في V و x عدد حقيقي عشوائي . إذن كل الحلول للمعادلة التفاضلية تكون في ker T .

يمكن تعريف النوى للتماثلات بين الوحدات النمطية على حلقة بطريقة مماثلة. ويشمل ذلك النوى للتماثلات بين المجموعات الإبيلية كحالة خاصة. يجسد هذا المثال جوهر النوى في الفئات الإبيلية العامة ؛ انظر النواة (نظرية الفئات) .

ليكن G و H مجموعتين وليكن f تماثل مجموعة من G إلى H. إذا كان e _H هو العنصر المحايد لـ H ، فإن نواة f هي الصورة الأولية للمجموعة المفردة { e _H } ؛ أي المجموعة الفرعية لـ G المكونة من كل عناصر G التي تم تعيينها بواسطة f إلى العنصر e _H.

يُشار عادةً إلى النواة بـ ker f (أو أحد المتغيرات). بالرموز:

${\displaystyle \ker f=\{g\in G:f(g)=e_{H}\}.}$

نظرًا لأن التماثل الجماعي يحافظ على عناصر الهوية، فإن عنصر الهوية e _G من G يجب أن ينتمي إلى النواة.

التماثل f يكون حقنيًا إذا وفقط إذا كان نواته هي المجموعة المفردة { e _G }. إذا لم تكن f حقنية، فيمكن للعناصر غير الحقنية أن تشكل عنصرًا مميزًا لنواتها: سيكون هناك a و b ∈ G بحيث يكون a ≠ b و f ( a ) = f ( b ) . وبالتالي، فإن f ( a ) f ( b ) ⁻¹ = e _H. f هي تماثلية مجموعة، لذلك يتم الحفاظ على العكسيات وعمليات المجموعة، مما يعطي f ( ab ⁻¹ ) = e _H ؛ بعبارة أخرى، ab ⁻¹ ∈ ker f ، وker f لن يكونا المفرد. وعلى العكس من ذلك، فإن العناصر المميزة للنواة تنتهك الحقنية بشكل مباشر: إذا كان هناك عنصر g ≠ e _G ∈ ker f ، فإن f ( g ) = f ( e _G ) = e _H ، وبالتالي فإن f لن تكون حقنية.

ker f هي مجموعة فرعية من G وهي أيضًا مجموعة فرعية طبيعية . وبالتالي، توجد مجموعة حاصل قسمة مقابلة G / (ker f ) . وهي متماثلة مع f ( G )، صورة G تحت f (وهي مجموعة فرعية من H أيضًا)، وفقًا لنظرية التماثل الأولى للمجموعات.

في الحالة الخاصة للمجموعات الإبيلية ، لا يوجد انحراف عن القسم السابق.

ليكن G هي المجموعة الدورية على 6 عناصر {0, 1, 2, 3, 4, 5} مع إضافة معيارية ، وليكن H هي المجموعة الدورية على عنصرين {0, 1} مع إضافة معيارية، وليكن f هو التماثل الذي يربط كل عنصر g في G بالعنصر g modulo 2 في H. عندئذٍ ker f = {0, 2, 4} ، حيث يتم ربط كل هذه العناصر بـ 0 _H. تحتوي مجموعة الحاصل G / (ker f ) على عنصرين: {0, 2, 4} و {1, 3, 5} . وهي في الواقع متماثلة مع H.

البنية الجبرية → نظرية الحلقة نظرية الحلقة
المفاهيم الأساسية خواتم • حلقات فرعية • مثالي • حلقة القسمة • المثالية الكسرية • مجموع حلقات الكسور • منتج من الحلقات •  حاصل الضرب الحر للجبر الترابطي • حاصل ضرب الموتر في الجبر تشابهات الحلقات • النواة • الشكل الذاتي الداخلي • تماثل فروبينيوس الهياكل الجبرية • الوحدة • الجبر الترابطي • حلقة متدرجة • حلقة غير ملزمة • فئة الحلقات • الحلقة الأولية ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • حلقة طرفية ${\displaystyle 0=\mathbb {Z} /1\mathbb {Z} }$ الهياكل ذات الصلة • مجال • المجال المحدود • حلقة غير ارتباطية • حلقة الكذب • خاتم الأردن • نصف حلقة • شبه الملعب
الجبر التبادلي حلقات تبديلية • المجال المتكامل • المجال المغلق تكامليا • نطاق GCD • مجال التحليل إلى عوامل فريدة • المجال المثالي الرئيسي • المجال الإقليدي • مجال • المجال المحدود • حلقة متعددة الحدود • حلقة سلسلة القوة الرسمية نظرية الأعداد الجبرية • حقل الأعداد الجبرية • الأعداد الصحيحة modulo n • Ring of integers • p-adic integers ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • p-adic numbers ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • Prüfer p-ring ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$
Noncommutative algebra Noncommutative rings • Division ring • Semiprimitive ring • Simple ring • Commutator Noncommutative algebraic geometry Free algebra Clifford algebra • Geometric algebra Operator algebra
v t e

ليكن R و S حلقتين (يفترض أنهما وحدويتان) وليكن f تماثل حلقي من R إلى S. إذا كان 0 S هو العنصر الصفري لـ S، فإن نواة f هي نواتها كخريطة خطية على الأعداد الصحيحة ، أو على نحو _مكافئ ، كمجموعات مضافة . إنها الصورة الأولية للمثالية الصفرية {0 _S }، وهي المجموعة الفرعية لـ R المكونة من كل عناصر R التي تم تعيينها بواسطة f إلى العنصر 0 _S. يُشار إلى النواة عادةً بـ ker f (أو تباين). بالرموز:

${\displaystyle \operatorname {ker} f=\{r\in R:f(r)=0_{S}\}.}$

نظرًا لأن التماثل الحلقي يحافظ على العناصر الصفرية، فإن العنصر الصفري 0 _R من R يجب أن ينتمي إلى النواة. التماثل f يكون حقنيًا إذا وفقط إذا كانت نواته هي المجموعة المفردة {0 _R }. هذه هي الحال دائمًا إذا كان R حقلًا و S ليست الحلقة الصفرية .

نظرًا لأن ker f تحتوي على الهوية المضاعفة فقط عندما تكون S هي الحلقة الصفرية، فقد اتضح أن النواة ليست عمومًا حلقة فرعية من R. النواة هي rng فرعية ، وبشكل أكثر دقة، مثالية ذات جانبين لـ R. وبالتالي، فمن المنطقي التحدث عن حلقة الحاصل R / (ker f ) . تنص نظرية التماثل الأولى للحلقات على أن حلقة الحاصل هذه متماثلة بشكل طبيعي لصورة f (وهي حلقة فرعية لـ S ). (لاحظ أن الحلقات لا يلزم أن تكون أحادية لتعريف النواة).

إلى حد ما، يمكن اعتبار هذا بمثابة حالة خاصة للموقف بالنسبة للوحدات النمطية، حيث أن هذه كلها وحدات نمطية ثنائية على حلقة R :

• ر نفسها؛
• أي مثالي ثنائي الجانب لـ R (مثل ker f )؛
• أي حلقة حاصل قسمة R (مثل R / (ker f ) )؛ و
• المجال المشترك لأي تماثل حلقي يكون مجاله R (مثل S ، المجال المشترك لـ f ).

ومع ذلك، فإن نظرية التماثل تعطي نتيجة أقوى، لأن تماثلات الحلقات تحافظ على الضرب بينما تماثلات الوحدات (حتى بين الحلقات) بشكل عام لا تفعل ذلك.

يلتقط هذا المثال جوهر النواة في جبر Mal'cev العام .

ليكن M و N أحاديين وليكن f تماثل أحادي من M إلى N . عندئذٍ تكون نواة f هي المجموعة الجزئية للضرب المباشر M × M المكونة من كل تلك الأزواج المرتبة من عناصر M التي يتم تعيين مكوناتها بواسطة f إلى نفس العنصر في N . عادةً ما يُشار إلى النواة بـ ker f (أو أحد أشكالها). بالرموز:

${\displaystyle \operatorname {ker} f=\left\{\left(m,m'\right)\in M\times M:f(m)=f\left(m'\right)\right\}.}$

نظرًا لأن f دالة ، فيجب أن تنتمي عناصر النموذج ( m , m ) إلى النواة. تكون التماثلية f قابلة للحقن إذا وفقط إذا كانت نواتها هي المجموعة القطرية {( m , m ): m في M } .

يتبين أن ker f هي علاقة تكافؤ على M ، وفي الواقع علاقة تطابق . وبالتالي، فمن المنطقي أن نتحدث عن أحادي القسمة M / (ker f ) . تنص نظرية التماثل الأولى للأحاديات على أن أحادي القسمة هذا متماثل بشكل طبيعي لصورة f (وهي أحادي قسمة فرعي لـ N ؛ لعلاقة التطابق).

يختلف هذا كثيرًا في نكهته عن الأمثلة المذكورة أعلاه. وعلى وجه الخصوص، فإن الصورة الأولية لعنصر الهوية N ليست كافية لتحديد نواة f .

كل الحالات المذكورة أعلاه يمكن توحيدها وتعميمها في الجبر الشامل .

ليكن A و B بنيات جبرية من نوع معين وليكن f تماثلًا من هذا النوع من A إلى B. عندئذٍ تكون نواة f هي المجموعة الجزئية للحاصل المباشر A × A والتي تتكون من كل تلك الأزواج المرتبة من عناصر A التي يتم تعيين مكوناتها بواسطة f إلى نفس العنصر في B. عادةً ما يُشار إلى النواة بـ ker f (أو تباين). بالرموز:

${\displaystyle \operatorname {ker} f=\left\{\left(a,a'\right)\in A\times A:f(a)=f\left(a'\right)\right\}{\mbox{.}}}$

نظرًا لأن f هي دالة ، فإن عناصر النموذج ( a , a ) يجب أن تنتمي إلى النواة.

تكون التماثلية f حقنية إذا وفقط إذا كانت نواتها هي المجموعة القطرية تمامًا {( a , a ): a ∈ A } .

من السهل أن نرى أن ker f هي علاقة تكافؤ على A ، وفي الواقع علاقة تطابق . وبالتالي، فمن المنطقي أن نتحدث عن جبر القسمة A / (ker f ) . تنص نظرية التماثل الأولى في الجبر الشامل العام على أن جبر القسمة هذا متماثل بشكل طبيعي لصورة f (وهي جبر فرعي لـ B ).

لاحظ أن تعريف النواة هنا (كما في مثال المونويد) لا يعتمد على البنية الجبرية؛ فهو مفهوم نظري بحت . لمزيد من المعلومات حول هذا المفهوم العام، خارج الجبر المجرد، راجع نواة الدالة .

This section may be confusing or unclear to readers. In particular, this section cannot be understood, as referring to a structure which is different from Malcev algebra and is not defined nor linked. Please help clarify the section. There might be a discussion about this on the talk page. (December 2016) (Learn how and when to remove this message)

في حالة جبر مالسيف، يمكن تبسيط هذا البناء. كل جبر مالسيف له عنصر محايد خاص ( المتجه الصفري في حالة فضاءات المتجهات ، والعنصر المحايد في حالة المجموعات التبادلية ، والعنصر الصفري في حالة الحلقات أو الوحدات). السمة المميزة لجبر مالسيف هي أنه يمكننا استعادة علاقة التكافؤ بالكامل ker f من فئة التكافؤ للعنصر المحايد.

لكي نكون أكثر تحديدًا، دع A و B تكونان هياكل جبرية مالشيف من نوع معين ودع f تكون تماثلًا من هذا النوع من A إلى B. إذا كان e _B هو العنصر المحايد لـ B ، فإن نواة f هي الصورة الأولية للمجموعة المفردة { e _B }؛ أي المجموعة الفرعية لـ A المكونة من كل عناصر A التي تم تعيينها بواسطة f إلى العنصر e B. يُشار إلى النواة عادةً بـ _ker f ( أو تباين). بالرموز:

${\displaystyle \operatorname {ker} f=\{a\in A:f(a)=e_{B}\}.}$

نظرًا لأن تماثل الشكل في جبر مالشيف يحافظ على العناصر المحايدة، فإن العنصر المتطابق e _A من A يجب أن ينتمي إلى النواة. التماثل f يكون حقنيًا إذا وفقط إذا كان نواته هي المجموعة المفردة { e _A }.

يُعمم مفهوم المثالي على أي جبر مالسيف (مثل الفضاء الخطي في حالة الفضاءات المتجهة، والزمرة الفرعية الطبيعية في حالة المجموعات، والمثل العليا ذات الجانبين في حالة الحلقات، والوحدات الجزئية في حالة الوحدات ). اتضح أن ker f ليس جبرًا جزئيًا لـ A ، ولكنه مثالي. ومن المنطقي إذن التحدث عن جبر الحاصل G / (ker f ) . تنص نظرية التماثل الأولى لجبر مالسيف على أن جبر الحاصل هذا متماثل بشكل طبيعي لصورة f (وهي جبر جزئي لـ B ).

الارتباط بين هذا وعلاقة التطابق لأنواع أكثر عمومية من الجبر هو كما يلي. أولاً، النواة كمثالية هي فئة التكافؤ للعنصر المحايد e _A تحت تطابق النواة كمثالية. بالنسبة للاتجاه العكسي، نحتاج إلى مفهوم الحاصل في جبر مالسيف (وهو القسمة على أي من الجانبين للمجموعات والطرح لمساحات المتجهات والوحدات والحلقات). باستخدام هذا، يكون العنصران a و b من A متكافئين تحت تطابق النواة كمثالية إذا وفقط إذا كان حاصل قسمتهما a / b عنصرًا من النواة كمثالية.

في بعض الأحيان تكون الجبر مجهزة ببنية غير جبرية بالإضافة إلى عملياتها الجبرية. على سبيل المثال، قد يفكر المرء في المجموعات الطوبولوجية أو فضاءات المتجهات الطوبولوجية ، والتي تكون مجهزة بطوبولوجيا . في هذه الحالة، نتوقع أن يحافظ التماثل f على هذه البنية الإضافية؛ في الأمثلة الطوبولوجية، نريد أن تكون f خريطة متصلة . قد تواجه العملية عقبة مع جبر الحاصل، والتي قد لا تكون جيدة السلوك. في الأمثلة الطوبولوجية، يمكننا تجنب المشاكل من خلال اشتراط أن تكون الهياكل الجبرية الطوبولوجية هاوسدورف (كما هو الحال عادةً)؛ ثم ستكون النواة (مهما كانت طريقة بنائها) مجموعة مغلقة وستعمل مساحة الحاصل بشكل جيد (وستكون هاوسدورف أيضًا).

إن مفهوم النواة في نظرية الفئات هو تعميم لنوى الجبر الإبلائي؛ انظر النواة (نظرية الفئات) . والتعميم التصنيفي للنواة كعلاقة تطابق هو زوج النواة . (هناك أيضًا مفهوم نواة الفرق ، أو المعادل الثنائي .)

• النواة (الجبر الخطي)
• مجموعة الصفر