التحول المتطور

في نظرية الفئات ، التشاكل الفوقي هو تشاكل f  : X → Y يكون قابلاً للإلغاء من اليمين بمعنى أنه بالنسبة لجميع الكائنات Z وجميع التشاكلات g ₁ ، g ₂ : Y → Z ، $${\displaystyle g_{1}\circ f=g_{2}\circ f\implies g_{1}=g_{2}.}$$

يستخدم بعض المؤلفين الصفة "فوقية" (التشكل الفوقي هو شكل مورفي يكون فوقيًا). التشكلات الفوقية هي نظائر فئوية للدوال الشاملة أو الدوال الشمولية (وفي فئة المجموعات، يتطابق المفهوم تمامًا مع الدوال الشمولية)، لكنها قد لا تتطابق تمامًا في جميع السياقات. ثنائي التشكل الفوقي هو شكل أحادي (أي أن التشكل الفوقي في الفئة C هو شكل أحادي في الفئة الثنائية C ^op ).

قد يكون التماثل الشامل شرطًا أضعف قليلًا من الشمولية. على سبيل المثال، في فئة الحلقات، يكون الاحتواء${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Q} }$تحويل الأعداد الصحيحة إلى أعداد نسبية هو تحويل شامل، لأن صور الأعداد الصحيحة تحت تحويل متماثل تحدد أيضًا صور نواتج قسمة الأعداد الصحيحة. في فئة فضاءات هاوسدورف ، التحويل الشامل هو تحديدًا دالة متصلة ذات صورة كثيفة ، لأن صورة متتالية كوشي تحدد صورة نقطة نهايتها: على سبيل المثال، التضمين${\displaystyle \mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$تحويل الفضاء المتري للأعداد النسبية إلى خط الأعداد الحقيقية.

يُعرّف العديد من مؤلفي الجبر المجرد والجبر الشامل التشاكلَ الفوقي ببساطة على أنه تشاكلٌ شمولي أو شامل . كل تشاكل فوقي بهذا المعنى الجبري هو تشاكل فوقي بمعنى نظرية الفئات، لكن العكس ليس صحيحًا في جميع الفئات. في هذه المقالة، سيُستخدم مصطلح "التشاكل الفوقي" بالمعنى المذكور أعلاه في نظرية الفئات. لمزيد من المعلومات حول هذا الموضوع، انظر قسم المصطلحات أدناه. 

في فئة ملموسة (حيث يمتلك كل عنصر مجموعة أساسية)، إذا كانت الدالة الأساسية للتشاكل شاملة، فإن التشاكل يكون فوقيًا. وفي العديد من الفئات الملموسة ذات الأهمية، يكون العكس صحيحًا أيضًا. على سبيل المثال، في الفئات التالية، التشاكلات الفوقية هي تحديدًا تلك التشاكلات الشاملة على المجموعات الأساسية:

• المجموعة : المجموعات والدوال. لإثبات أن كل تشاكل شامل f  : X → Y في المجموعة هو تشاكل شامل، نقوم بتركيبه مع كل من الدالة المميزة g ₁  : Y → {0, 1} للصورة f ( X ) والتطبيق g ₂  : Y → {0, 1} الذي يكون ثابته 1.
• Rel : مجموعات ذات علاقات ثنائية ووظائف تحافظ على العلاقات. هنا يمكننا استخدام نفس البرهان المستخدم لمجموعة Set ، مع تزويد المجموعة {0, 1} بالعلاقة الكاملة {0, 1} × {0, 1} .
• الوضع : المجموعات المرتبة جزئيًا والدوال الرتيبة . إذا لم تكن الدالة f : (X, ≤) → (Y, ≤) شاملة، نختار _y₀ في  Y \ f ( X ) ولتكن g₁ : Y → { 0 , 1 } الدالة المميزة  للمجموعة _{ y | y₀ ≤ y₀ } ، و g₂ : Y → _{ 0 , 1}  الدالة المميزة للمجموعة { y | y₀ < _y₀ } . تكون هذه الدوال رتيبة إذا كانت _{المجموعة} {0, 1} مرتبة ترتيبًا قياسيًا 0 < 1 .
• Grp : الزمر وتشاكلات الزمر . إن النتيجة التي مفادها أن كل تشاكل شامل في Grp هو شامل تعود إلى أوتو شراير (لقد أثبت في الواقع أكثر من ذلك، موضحًا أن كل زمرة جزئية هي معادلة باستخدام الضرب الحر مع زمرة جزئية مدمجة واحدة)؛ يمكن العثور على برهان أولي في (ليندرهولم 1970).
• FinGrp : الزمر المنتهية وتشاكلات الزمر. ويعود الفضل في ذلك أيضًا إلى شراير؛ ويؤكد البرهان الوارد في (ليندرهولم 1970) هذه الحالة أيضًا.
• Ab : الزمر الأبيلية وتشاكلات الزمر.
• K -Vect :فضاءاتمتجهةفوقحقلKوالتحويلاتالخطية K.
• Mod - R : الوحدات النمطية اليمنى على حلقة R وتشاكلات الوحدات النمطية . هذا يعمم المثالين السابقين؛ لإثبات أن كل تشاكل فوقي f  : X → Y في Mod - R هو شامل، نقوم بتركيبه مع كل من خريطة القسمة القانونية g ₁  : Y → Y / f ( X ) وخريطة الصفر g ₂  : Y → Y / f ( X ) .
• Top : الفضاءات الطوبولوجية والدوال المتصلة . لإثبات أن كل تشاكل شامل في Top هو شامل، نتبع نفس الخطوات في Set ، مما يعطي {0, 1} الطوبولوجيا غير المتقطعة ، والتي تضمن أن جميع التطبيقات المدروسة متصلة.
• HComp : فضاءات هاوسدورف المدمجة والدوال المتصلة. إذا لم تكن الدالة f : X → Y شاملة، فليكن y ∈ Y − fX . بما أن fX فضاء مغلق، فبحسب مبرهنة أوريسون، _توجد دالة متصلة g₁ : Y → [0, 1] بحيث تكون g₁ مساويةً للصفر على fX وتساوي 1 على y . نركب f مع كل من _g₁ والدالة الصفرية g₂ : Y → _[ 0, 1] _.   

مع ذلك، توجد أيضاً العديد من الفئات الملموسة ذات الأهمية حيث لا تكون التشاكلات الشاملة شاملة. ومن الأمثلة على ذلك:

• في فئة المونويدات ، Mon ، يكون تطبيق التضمين N → Z تشاكلاً شاملاً غير شامل. ولتوضيح ذلك، لنفترض أن g1 و g2 تطبيقان مختلفان من Z إلى مونويد M. عندئذٍ _، بالنسبة لبعض n في Z ، _فإن g1 ( n ) ≠ g2 ( n ) ، وبالتالي g1 ₍ −n ₎ ≠ g2 (−n ) . إما أن n _أو −n ينتمي _إلى N ، لذا _فإن تقييد g1 _و g2 على N غير متساوٍ.
• في فئة الجبر على الحلقة التبادلية${\displaystyle R}$، يأخذ${\displaystyle R[x]\to R[x,x^{-1}]}$متعددات الحدود على${\displaystyle R}$مُضمنة في كثيرات حدود لوران (هذا هو تشاكل حلقات المونويد المُقابل للتضمين المذكور أعلاه N → Z ). هذا تشاكل فوقي لأن أي تشاكل للجبر يحترم المعكوس الضربي كلما تم تعريفه، لذا فإن صورة${\displaystyle x\in R[x]}$يحدد صورة أي متعددة حدود لوران.
• في فئة الحلقات ، الحلقة R ، يُعدّ تطبيق التضمين Z → Q تشاكلًا فوقيًا غير شامل؛ ولتوضيح ذلك، لاحظ أن أي تشاكل حلقي على Q يتحدد كليًا بفعله على Z ، كما في المثال السابق. وبحجة مماثلة، يتضح أن التشاكل الحلقي الطبيعي من أي حلقة تبديلية R إلى أي موضع من مواضعها هو تشاكل فوقي.
• في فئة الحلقات التبادلية ، يكون التشاكل المولد نهائيًا للحلقات f  : R → S تشاكلًا فوقيًا إذا وفقط إذا كان لكل مثاليات أولية P من R ، فإن المثالي Q المولد بواسطة f ( P ) هو إما S أو أولي، وإذا لم يكن Q هو S ، فإن الخريطة المستحثة Frac ( R / P ) → Frac( S / Q ) هي تماثل ( EGA IV 17.2.6).
• في فئة فضاءات هاوسدورف، Haus ، تكون التشاكلات الشاملة هي تحديدًا الدوال المتصلة ذات الصور الكثيفة . على سبيل المثال، دالة التضمين Q → R هي تشاكل شامل غير شامل.

يختلف ما سبق عن حالة الأشكال الأحادية حيث يكون من الصحيح في أغلب الأحيان أن الأشكال الأحادية هي تلك التي تكون وظائفها الأساسية حقنية .

أما بالنسبة لأمثلة على التشاكلات الشاملة في الفئات غير الملموسة:

• إذا تم اعتبار المونويد أو الحلقة كفئة ذات كائن واحد (تركيب التشكلات المعطاة بالضرب)، فإن التشكلات العليا هي بالضبط العناصر القابلة للإلغاء من اليمين.
• إذا اعتبرنا الرسم البياني الموجه فئة (الأشياء هي الرؤوس، والتشكلات هي المسارات، وتركيب التشكلات هو تسلسل المسارات)، فإن كل تشكل هو تشكل فوقي.

كل تماثل هو تماثل شامل؛ في الواقع، لا نحتاج إلا إلى معكوس من الجانب الأيمن: لنفترض وجود تماثل j  : Y → X بحيث يكون fj = id _Y. لأي تماثلات${\displaystyle h_{1},h_{2}:Y\to Z}$أين${\displaystyle h_{1}f=h_{2}f}$لديك ذلك${\displaystyle h_{1}=h_{1}id_{Y}=h_{1}fj=h_{2}fj=h_{2}}$تُسمى الدالة التي لها معكوس أيمن من هذا النوع دالة فوقية منقسمة . في الطوبولوجيا الأولية ، تُسمى الدالة التي تكون في آنٍ واحد تشاكلًا أحاديًا وتشاكلًا فوقيًا تشاكلًا.

تركيب دالتين فوقيتين هو أيضاً دالة فوقية. إذا كان تركيب fg لدالتين مورفيزميتين دالة فوقية، فإن f يجب أن تكون دالة فوقية.

كما توضح بعض الأمثلة السابقة، فإن خاصية كون الدالة شاملة لا تتحدد بسلوكها كدالة فحسب، بل أيضاً بفئة السياق. فإذا كانت D فئة فرعية من C ، فإن كل تشاكل في D يكون شاملاً عند اعتباره تشاكلاً في C ، يكون أيضاً شاملاً في D. ومع ذلك، ليس بالضرورة أن يكون العكس صحيحاً؛ إذ يمكن للفئة الأصغر (وكثيراً ما يكون) أن تحتوي على عدد أكبر من التشاكلات الشاملة.

كما هو الحال بالنسبة لمعظم المفاهيم في نظرية الفئات، فإن التشاكلات العليا محفوظة في ظل تكافؤات الفئات : بالنظر إلى تكافؤ F  : C → D ، يكون التشاكل f تشاكلاً عليا في الفئة C إذا وفقط إذا كان F ( f ) تشاكلاً عليا في D. الازدواجية بين فئتين تحول التشاكلات العليا إلى تشاكلات أحادية، والعكس صحيح.

يمكن إعادة صياغة تعريف التشاكل الفوقي لينص على أن f  : X → Y هو تشاكل فوقي إذا وفقط إذا كانت التطبيقات المستحثة $${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,Z)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,Z)\\g&\mapsto &gf\end{matrix}}}$$ تكون هذه الدوال أحادية لكل اختيار لـ Z. وهذا بدوره يكافئ التحويل الطبيعي المستحث.$${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,-)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,-)\end{matrix}}}$$كونه شكلاً أحادياً في فئة الدوال Set ^C.

كل مُساوٍ مشترك هو تشاكل شامل، نتيجةً لشرط التفرد في تعريف المُساويات المشتركة. ويترتب على ذلك تحديدًا أن كل نواة مشتركة هي تشاكل شامل. أما العكس، أي أن كل تشاكل شامل هو مُساوٍ مشترك، فلا يصح في جميع الفئات.

في العديد من الفئات، يُمكن كتابة كل مورفيزم على أنه تركيب لتشاكل فوقي متبوع بتشاكل أحادي. على سبيل المثال، إذا كان لدينا تشاكل زمرة f  : G → H ، يُمكننا تعريف الزمرة K = im( f ) ثم كتابة f على أنها تركيب للتشاكل الشامل G → K المُعرَّف مثل f ، متبوعًا بالتشاكل الحقني K → H الذي يُعيد كل عنصر إلى نفسه. يُمكن إجراء هذا التحليل لأي مورفيزم إلى تشاكل فوقي متبوع بتشاكل أحادي في جميع الفئات الأبيلية ، وكذلك في جميع الفئات الملموسة المذكورة أعلاه في قسم  الأمثلة (وإن لم يكن في جميع الفئات الملموسة).

ومن بين المفاهيم المفيدة الأخرى: التماثل المنتظم ، والتماثل المتطرف ، والتماثل الفوري ، والتماثل القوي ، والتماثل المنقسم .

• يُقال إن التشاكل الفوقي منتظم إذا كان مُساوياً لزوج من التشاكلات المتوازية. ^{[ 1 ]}
• يُقال عن التشاكل الشامل f أنه صارم إذا كان مُساوياً مشتركاً لكل زوج من التشاكلات g و h بحيث${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$[ ^{2 ]​}
• التحول الفوقي${\displaystyle \varepsilon }$يُقال إنها متطرفة ^{[ 3 ]} إذا كانت في كل تمثيل${\displaystyle \varepsilon =\mu \circ \varphi }$، أين${\displaystyle \mu }$هو أحادي الشكل ، التشكل${\displaystyle \mu }$هو تماثل تلقائي .
• التحول الفوقي${\displaystyle \varepsilon }$يُقال إنها فورية إذا كانت في كل تمثيل${\displaystyle \varepsilon =\mu \circ \varepsilon '}$، أين${\displaystyle \mu }$هو شكل أحادي و${\displaystyle \varepsilon '}$هو شكل فوقي، الشكل${\displaystyle \mu }$هو تماثل تلقائي .
• التحول الفوقي${\displaystyle \varepsilon :A\to B}$يُقال إنها قوية ^{[ 3 ] [ 4 ]} إذا كان لأي شكل أحادي${\displaystyle \mu :C\to D}$وأي تحويلات${\displaystyle \alpha :A\to C}$و${\displaystyle \beta :B\to D}$بحيث${\displaystyle \beta \circ \varepsilon =\mu \circ \alpha }$يوجد تشاكل${\displaystyle \delta :B\to C}$بحيث${\displaystyle \delta \circ \varepsilon =\alpha }$و${\displaystyle \mu \circ \delta =\beta }$.
• التحول الفوقي${\displaystyle \varepsilon }$يُقال إن المنقسم موجود إذا كان هناك تشاكل${\displaystyle \mu }$بحيث${\displaystyle \varepsilon \circ \mu =1}$(في هذه الحالة)${\displaystyle \mu }$يُطلق عليه اسم المعكوس الأيمن لـ${\displaystyle \varepsilon }$).

يوجد أيضًا مفهوم التشاكل الفوقي المتجانس في نظرية الحلقات. يُعتبر التشاكل f : A → B للحلقات تشاكلًا فوقيًا متجانسًا إذا كان تشاكلًا فوقيًا ويُنتج دالة كاملة وأمينة على الفئات المشتقة : D( f )  : D( B ) → D( A ).

يُطلق على التشاكل الذي يكون أحاديًا وشاملًا اسم ثنائي التشاكل . كل تماثل هو ثنائي التشاكل، لكن العكس ليس صحيحًا بشكل عام. على سبيل المثال، الدالة من الفترة نصف المفتوحة [0,1) إلى دائرة الوحدة S1 ⁽ التي تُعتبر فضاءً جزئيًا من المستوى العقدي ) والتي تُرسل x إلى exp(2πi x ) (انظر صيغة أويلر ) متصلة وتقابلية، لكنها ليست تماثلًا مكانيًا لأن الدالة العكسية غير متصلة عند 1، لذا فهي حالة من ثنائي التشاكل غير المتماثل في فئة Top . مثال آخر هو التضمين Q → R في فئة Haus ؛ كما ذُكر أعلاه، هو ثنائي التشاكل، لكنه ليس تقابليًا، وبالتالي ليس تماثلًا. وبالمثل، في فئة الحلقات ، الدالة Z → Q هي ثنائي التشاكل لكنها ليست تماثلًا.

_{تُستخدم التشاكلات الشاملة} لتعريف كائنات القسمة المجردة في الفئات العامة: يُقال إن تشاكلين شاملين f1 : X → Y1 و _f2 : X → Y2 متكافئان إذا وُجد تماثل j : Y1 → Y2 بحيث يكون _j f1 = f2 _{. هذه} علاقة تكافؤ _، وتُعرَّف فئات _{التكافؤ} بأنها كائنات القسمة _لـ X.   

استُخدم مصطلحا "التشكل الفوقي" و "التشكل الأحادي" لأول مرة من قِبل بورباكي . يستخدم بورباكي "التشكل الفوقي" كاختصار للدالة الشاملة . اعتقد رواد نظرية الفئات الأوائل أن التشكلات الفوقية هي النظير الصحيح للشموليات في أي فئة، على غرار كون التشكلات الأحادية نظيرًا شبه كامل للحقن. لسوء الحظ، هذا غير صحيح؛ فالتشكلات الفوقية القوية أو المنتظمة تتصرف بشكل أقرب إلى الشموليات منها إلى التشكلات الفوقية العادية.

حاول سوندرز ماك لين التمييز بين التشاكلات الفوقية ، وهي دوال في فئة ملموسة تكون دوال المجموعة الأساسية فيها شاملة، والتشاكلات الملحمية ، وهي تشاكلات فوقية بالمعنى الفئوي. ومع ذلك، لم يلقَ هذا التمييز رواجاً.

من المفاهيم الخاطئة الشائعة أن مفهوم الشمولية أفضل من مفهوم الشمولية. لسوء الحظ، نادرًا ما يكون هذا صحيحًا؛ فالشموليات قد تكون غامضة للغاية وتتصرف بشكل غير متوقع. على سبيل المثال، من الصعب جدًا تصنيف جميع شموليات الحلقات. عمومًا، الشمولية مفهوم غير منتظم، يرتبط بالشمولية ولكنه يختلف عنها جوهريًا.

• قائمة بمواضيع نظرية الفئات
• الشكل الأحادي
• التحول الفعال

• التحول فوق الشكلي في مختبر n
• تحول شكلي قوي في مختبر n