الفئة الإبلية

في الرياضيات ، الفئة الإبليسية هي فئة يمكن فيها إضافة التشكلات والأشياء والتي توجد فيها النوى والنوى المشتركة ولها خصائص مرغوبة.

المثال النموذجي المحفز للفئة الإيبيرية هو فئة المجموعات الإيبيرية ، Ab .

الفئات الإبيلية هي فئات مستقرة للغاية ؛ على سبيل المثال، فهي منتظمة وتلبي مبرهنة الثعبان . فئة الفئات الإبيلية مغلقة تحت العديد من الإنشاءات التصنيفية، على سبيل المثال، فئة معقدات السلسلة لفئة إبيلية، أو فئة المتجهين من فئة صغيرة إلى فئة إبيلية هي أيضًا إبيلية. تجعل خصائص الاستقرار هذه منها حتمية في الجبر المتجانس وما بعده؛ النظرية لها تطبيقات رئيسية في الهندسة الجبرية وعلم التماثل ونظرية الفئة البحتة .

يقول ماك لين ^{[1] أن} ألكسندر جروثينديك ^[2] هو من عرّف الفئة الإبيلية، ولكن هناك مرجع ^[3] يقول أن تلميذ إيلينبيرج، بوخسباوم ، اقترح المفهوم في أطروحته للدكتوراه، ^[4] وقام جروثينديك بترويجه تحت اسم "الفئة الإبيلية".

تكون الفئة أبيلية إذا كانت مسبقة الجمع و

• لديه كائن صفري
• فهو يحتوي على جميع المنتجات الثنائية
• فهو يحتوي على جميع النوى والحبوب ، و
• جميع الأشكال الأحادية الشكل والشكل المتماثل طبيعية .

هذا التعريف يعادل ^[5] التعريف "المجزأ" التالي:

• تكون الفئة مسبقة الجمع إذا تم إثرائها على الفئة الأحادية Ab للمجموعات الإبلية . وهذا يعني أن جميع المجموعات المتجانسة هي مجموعات إبلية وأن تركيب التشكلات يكون ثنائي الخط .
• تكون الفئة السابقة للجمع إضافية إذا كان لكل مجموعة محدودة من الأشياء حاصل ضرب ثنائي . وهذا يعني أنه يمكننا تكوين مجموع مباشر محدود وحاصلات مباشرة . في ^[6] التعريف 1.2.6، من المطلوب أن تحتوي الفئة المضافة على كائن صفري (حاصل ضرب ثنائي فارغ).
• تكون الفئة المضافة سابقة للأبيلية إذا كان لكل شكل شكل نواة ونواة مشتركة .
• أخيرًا، تكون الفئة ما قبل الإيبيلية إيبيلية إذا كانت كل أحادية الشكل وكل تماثل شكلي طبيعية . وهذا يعني أن كل أحادية الشكل هي نواة لبعض التماثلات، وكل تماثل شكلي هو نواة لبعض التماثلات.

لاحظ أن البنية الغنية للمجموعات المتجانسة هي نتيجة للمسلمات الثلاث الأولى للتعريف الأول. وهذا يسلط الضوء على الأهمية الأساسية لفئة المجموعات الأبيلية في النظرية وطبيعتها القانونية.

ينشأ مفهوم التسلسل الدقيق بشكل طبيعي في هذا الإطار، ويتبين أن الدوال الدقيقة ، أي الدوال التي تحافظ على التسلسلات الدقيقة في معانٍ مختلفة، هي الدوال ذات الصلة بين الفئات الإبلية. وقد تم توضيح مفهوم الدقة هذا في نظرية الفئات الدقيقة ، مما يشكل حالة خاصة جدًا من الفئات المنتظمة .

• كما ذكرنا أعلاه، فإن فئة كل المجموعات الإبيلية هي فئة إبيليانية. وفئة كل المجموعات الإبيلية المتولدة بشكل محدود هي أيضًا فئة إبيليانية، كما هي الحال مع فئة كل المجموعات الإبيلية المحدودة.
• إذا كانت R حلقة ، فإن فئة جميع الوحدات النمطية اليسرى (أو اليمنى) على R هي فئة أبيلية. في الواقع، يمكن إثبات أن أي فئة أبيلية صغيرة تعادل فئة فرعية كاملة من هذه الفئة من الوحدات النمطية ( نظرية تضمين ميتشل ).
• إذا كانت R حلقة نوثرية يسارية ، فإن فئة الوحدات النمطية اليسرى المولدة بشكل محدود على R تكون أبيلية. وعلى وجه الخصوص، فإن فئة الوحدات النمطية المولدة بشكل محدود على حلقة تبادلية نوثرية تكون أبيلية؛ وبهذه الطريقة، تظهر الفئات الأبيلة في الجبر التبادلي .
• كحالات خاصة للمثالين السابقين: فئة فضاءات المتجهات على حقل ثابت k هي أبيلية، كما هي الحال مع فئة فضاءات المتجهات ذات الأبعاد المحدودة على k .
• إذا كانت X عبارة عن فضاء طوبولوجي ، فإن فئة جميع حزم المتجهات (الحقيقية أو المعقدة) على X لا تكون عادةً فئة أبيلية، حيث يمكن أن تكون هناك أشكال أحادية الشكل ليست نوى.
• إذا كانت X فضاء طوبولوجي ، فإن فئة جميع حزم المجموعات الإبيلية على X هي فئة إبيلية. وبشكل عام، فإن فئة حزم المجموعات الإبيلية على موقع Grothendieck هي فئة إبيلية. وبهذه الطريقة، تظهر الفئات الإبيلية في الطوبولوجيا الجبرية والهندسة الجبرية .
• إذا كانت C فئة صغيرة وكانت A فئة أبيلية، فإن فئة جميع المتجهين من C إلى A تشكل فئة أبيلية. إذا كانت C صغيرة وقبل الجمع ، فإن فئة جميع المتجهين الجمع من C إلى A تشكل أيضًا فئة أبيلية. والأخير هو تعميم لمثال وحدة R ، حيث يمكن فهم الحلقة كفئة قبل الجمع مع كائن واحد.

في مقالته عن توهوكو ، ذكر جروثينديك أربع بديهيات إضافية (ومزدوجيها) قد تلبيها فئة أبيلية أ . ولا تزال هذه البديهيات مستخدمة على نطاق واسع حتى يومنا هذا. وهي كالتالي:

• AB3) لكل عائلة مفهرسة ( A _i ) من كائنات A ، فإن الحاصل المشترك * A _i موجود في A (أي أن A هو حاصل مشترك ).
• AB4) A يلبي AB3)، والحاصل المشترك لعائلة من الأشكال الأحادية الشكل هو شكل أحادي الشكل.
• AB5 ) A يلبي AB3)، والحدود الفاصلة المفلترة للتسلسلات الدقيقة دقيقة.

وثنائياتهم

• AB3*) لكل عائلة مفهرسة ( A _i ) من كائنات A ، فإن حاصل الضرب P A _i موجود في A (أي أن A مكتملة ) .
• (AB4*) A يلبي AB3*)، وحاصل ضرب عائلة من الأشكال المتشابهة هو شكل متشابه.
• AB5*) A تلبي AB3*)، والحدود المفلترة للتسلسلات الدقيقة دقيقة.

كما تم تقديم البديهيتين AB1) وAB2). وهما ما يجعلان الفئة المضافة أبيلية. على وجه التحديد:

• AB1) كل شكل له نواة ونواة مشتركة.
• AB2) لكل تماثل f ، التماثل القياسي من coim f إلى im f هو تماثل .

أعطى جروثينديك أيضًا البديهيتين AB6) و AB6*).

• AB6) A يلبي AB3)، ونظرا لعائلة من الفئات والخرائط المفلترة ، لدينا ، حيث يشير lim إلى الحد المشترك المفلترة.${\displaystyle I_{j},j\in J}$${\displaystyle A_{j}:I_{j}\إلى A}$${\displaystyle \prod _{j\in J}\lim _{I_{j}}A_{j}=\lim _{I_{j},\forall j\in J}\prod _{j\in J}A_{j}}$
• AB6*) A تلبي AB3*)، ونظرا لعائلة من الفئات والخرائط المفلترة المشتركة ، لدينا ، حيث يشير lim إلى الحد المفلتر المشترك.${\displaystyle I_{j},j\in J}$${\displaystyle A_{j}:I_{j}\إلى A}$${\displaystyle \sum _{j\in J}\lim _{I_{j}}A_{j}=\lim _{I_{j},\forall j\in J}\sum _{j\in J}A_{j}}$

بالنظر إلى أي زوج A و B من الأشياء في فئة أبيلية، يوجد شكل صفري خاص من A إلى B. يمكن تعريف ذلك على أنه العنصر الصفري للمجموعة المتجانسة Hom( A و B )، نظرًا لأنها مجموعة أبيلية. بدلاً من ذلك، يمكن تعريفه على أنه التركيب الفريد A → 0 → B ، حيث 0 هو الكائن الصفري للفئة الأبلية.

في الفئة الإبلية، يمكن كتابة كل تماثل f على أنه تركيب لتماثل متبوع بتماثل أحادي الشكل. يُطلق على هذا التماثل اسم الصورة المشتركة لـ f ، بينما يُطلق على التماثل الأحادي الشكل اسم صورة f .

تتصرف الكائنات الفرعية والكائنات الحاصلة بشكل جيد في الفئات الإبلية. على سبيل المثال، المجموعة الجزئية للكائنات الفرعية لأي كائن معين A هي شبكة محدودة .

كل فئة أبيلية A هي وحدة نمطية فوق الفئة الأحادية للمجموعات الأبلية المولدة بشكل محدود؛ أي أنه يمكننا تكوين حاصل ضرب موتر للمجموعة الأبلية المولدة بشكل محدود G وأي كائن A من A. الفئة الأبلية هي أيضًا وحدة نمطية مشتركة ؛ يمكن تفسير Hom( G , A ) على أنه كائن من A. إذا كانت A كاملة ، فيمكننا إزالة الشرط بأن يتم توليد G بشكل محدود؛ وبشكل عام ، يمكننا تكوين حدود مخصبة منتهية في A.

عند إعطاء كائن في فئة أبيلية، يشير التسطح إلى فكرة أنه عبارة عن مُستدِل دقيق . انظر الوحدة المسطحة أو، لمزيد من العمومية، الشكل المسطح . ${\displaystyle A}$${\displaystyle -\otimes A}$

الفئات الإبلية هي الإعداد الأكثر عمومية للجبر المتجانس . كل الإنشاءات المستخدمة في هذا المجال ذات صلة، مثل التسلسلات الدقيقة، وخاصة التسلسلات الدقيقة القصيرة ، والمتجهات المشتقة . تشمل النظريات المهمة التي تنطبق في جميع الفئات الإبلية المعضلة الخماسية (والمعضلة الخماسية القصيرة كحالة خاصة)، بالإضافة إلى المعضلة الثعبانية (والمعضلة التسعة كحالة خاصة).

تُسمى الفئة الإبيلية شبه بسيطة إذا كانت هناك مجموعة من الأشياء تسمى أشياء بسيطة (بمعنى أن الأشياء الفرعية الوحيدة لأي منها هي الشيء الصفري ونفسه) بحيث يمكن تحليل الشيء كمجموع مباشر (يدل على حاصل الضرب المشترك للفئة الإبيلية)${\displaystyle \mathbf {أ} }$${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}\in {\text{Ob}}(\mathbf {A} )}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X\in {\text{Ob}}(\mathbf {A} )}$

${\displaystyle X\cong \bigoplus _{i\in I}X_{i}}$

هذا الشرط الفني قوي إلى حد ما ويستبعد العديد من الأمثلة الطبيعية للفئات الإبيلية الموجودة في الطبيعة. على سبيل المثال، معظم فئات الوحدات فوق حلقة ليست شبه بسيطة؛ في الواقع، هذه هي الحال إذا وفقط إذا كانت حلقة شبه بسيطة . ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

بعض الفئات الإبيلية الموجودة في الطبيعة هي شبه بسيطة، مثل

• فئة من فضاءات المتجهات على حقل ثابت .${\displaystyle {\text{المتجه}}(ك)}$${\displaystyle k}$
• وفقًا لنظرية ماشكه، فإن فئة تمثيلات المجموعة المحدودة على حقل لا تنقسم خصائصه هي فئة أبيلية شبه بسيطة.${\displaystyle {\text{Rep}}_{k}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle k}$${\displaystyle |G|}$
• إن فئة الحزم المتماسكة في مخطط نوثر هي شبه بسيطة إذا وفقط إذا كانت اتحادًا منتهيًا منفصلًا لنقاط غير قابلة للاختزال. وهذا يعادل حاصل ضرب منتهيًا لفئات من فضاءات المتجهات على حقول مختلفة. إن إظهار صحة هذا في الاتجاه الأمامي يعادل إظهار اختفاء جميع المجموعات، مما يعني أن البعد المتجانس يساوي 0. يحدث هذا فقط عندما يكون لباقات ناطحة السحاب عند نقطة ما فضاء ظل زاريسكي يساوي صفرًا، وهو ما يتشابه مع استخدام الجبر المحلي لمثل هذا المخطط. ^[7]${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{الامتداد}}^{1}}$${\displaystyle k_{x}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle {\text{الخارجي}}^{1}(ك_{س}،ك_{س})}$

توجد بعض الأمثلة الطبيعية المضادة للفئات الإبيلية التي ليست شبه بسيطة، مثل فئات معينة من التمثيلات . على سبيل المثال، فئة تمثيلات مجموعة لي لها التمثيل${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$

${\displaystyle a\mapsto {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}}$

الذي يحتوي فقط على تمثيل فرعي واحد للبعد . في الواقع، هذا صحيح بالنسبة لأي مجموعة أحادية القدرة ^{[8] ص 112} . ${\displaystyle 1}$

هناك العديد من أنواع الفئات الفرعية (الكاملة والمضافة) للفئات الإبيلية التي تحدث في الطبيعة، فضلاً عن بعض المصطلحات المتضاربة.

ليكن A فئة أبيلية، و C فئة فرعية كاملة إضافية، و I دالة تضمين.

• تعتبر C فئة فرعية دقيقة إذا كانت هي نفسها فئة دقيقة وكان التضمين I عبارة عن دالة دقيقة . يحدث هذا إذا وفقط إذا كانت C مغلقة تحت عمليات سحب للخلف من الأشكال المتماثلة ودفعات للشكليات الأحادية. وبالتالي فإن التسلسلات الدقيقة في C هي التسلسلات الدقيقة في A والتي تقع فيها جميع الكائنات في C.
• تعتبر C فئة فرعية أبيلية إذا كانت هي نفسها فئة أبيلية وكان التضمين I عبارة عن دالة دقيقة . يحدث هذا إذا وفقط إذا كانت C مغلقة تحت نوى الأخذ ونوى الدمج. لاحظ أن هناك أمثلة لفئات فرعية كاملة لفئة أبيلية هي نفسها أبيلية ولكن حيث لا يكون دالة التضمين دقيقة، وبالتالي فهي ليست فئات فرعية أبيلية (انظر أدناه).
• C هي فئة فرعية سميكة إذا كانت مغلقة تحت أخذ المجاميع المباشرة وتلبي خاصية 2 من 3 في تسلسلات دقيقة قصيرة؛ أي إذا كانت تسلسلًا دقيقًا قصيرًا في A بحيث يقع اثنان من في C ، فإن الثالث يقع أيضًا. بعبارة أخرى، تكون C مغلقة تحت نوى الأشكال المتشابهة ونوى الأشكال المتشابهة والامتدادات. لاحظ أن P. Gabriel استخدم مصطلح الفئة الفرعية السميكة لوصف ما نسميه هنا فئة فرعية Serre .${\displaystyle 0\إلى م'\إلى م\إلى م'\إلى 0}$${\displaystyle م',م,م''}$
• C هي فئة فرعية طوبولوجية إذا كانت مغلقة تحت الحصص الفرعية .
• C هي فئة فرعية من Serre إذا كان لدينا M في C لكل تسلسلات دقيقة قصيرة في A إذا وفقط إذا كان كلاهما في C. بعبارة أخرى، تكون C مغلقة تحت الامتدادات والحاصلات الجزئية . هذه الفئات الفرعية هي على وجه التحديد نواة المتجه الدقيق من A إلى فئة أبيلية أخرى.${\displaystyle 0\إلى م'\إلى م\إلى م'\إلى 0}$${\displaystyle م',م''}$
• تكون C فئة فرعية موضعية إذا كانت فئة فرعية Serre بحيث يسمح المتجه الحاصل بوجود مرافق أيمن .${\displaystyle Q\colon \mathbf {A} \to \mathbf {A} /\mathbf {C} }$
• هناك مفهومان متنافسان لفئة فرعية واسعة. أحد هذين المفهومين هو أن C تحتوي على كل كائنات A (حتى التماثل)؛ ومن الواضح أن هذا ليس مثيرًا للاهتمام بالنسبة لفئة فرعية كاملة. (يُطلق على هذا أيضًا فئة فرعية lluf ). والمفهوم الآخر هو أن C مغلقة تحت الامتدادات.

فيما يلي مثال واضح لفئة فرعية كاملة إضافية لفئة أبيلية هي في حد ذاتها أبيلية ولكن دالة التضمين ليست دقيقة. دع k يكون حقلًا، وجبر المصفوفات المثلثية العلوية على k ، وفئة الوحدات النمطية ذات الأبعاد المحدودة. إذن كل منها فئة أبيلية ولدينا دالة تضمين تحدد الوحدات النمطية الإسقاطية البسيطة والحقنية البسيطة والحقنية الإسقاطية غير القابلة للتحلل. الصورة الأساسية لـ I هي فئة فرعية كاملة إضافية، ولكن I ليست دقيقة. ${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbf {A} _{n}}$${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle \mathbf {A} _{n}}$${\displaystyle I\colon \mathbf {A} _{2}\to \mathbf {A} _{3}}$

تم تقديم الفئات الأبيلية بواسطة Buchsbaum (1955) (تحت اسم "الفئة الدقيقة") و Grothendieck (1957) من أجل توحيد نظريات التماسك المختلفة. في ذلك الوقت، كانت هناك نظرية تماسك للحزم ، ونظرية تماسك للمجموعات . تم تعريف الاثنتين بشكل مختلف، لكنهما كانت لهما خصائص متشابهة. في الواقع، تم تطوير الكثير من نظرية الفئات كلغة لدراسة هذه التشابهات. وحد Grothendieck النظريتين: نشأت كلتاهما كمتجهات مشتقة على الفئات الأبيلية؛ الفئة الأبيلية لحزم المجموعات الأبيلية على فضاء طوبولوجي، والفئة الأبيلية لوحدات G لمجموعة معينة G.

• فئة مثلثة

• Buchsbaum, David A. (1955)، "الفئات الدقيقة والثنائية"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 80 (1): 1–34، doi : 10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6 ، ISSN  0002-9947، JSTOR  1993003، MR  0074407
• فرايد، بيتر (1964)، فئات أبيليان، نيويورك: هاربر ورو
• Grothendieck، Alexander (1957)، “Sur quelques point d’algèbre Homologique”، مجلة توهوكو الرياضية ، السلسلة الثانية، 9 : 119-221، دوى : 10.2748 / tmj / 1178244839 ، ISSN  0040-8735، MR  0102537
• ميتشل، باري (1965)، نظرية الفئات ، بوسطن، ماساتشوستس: أكاديميك بريس
• بوبيسكو، نيكولاي (1973)، الفئات الأبيلية مع التطبيقات على الحلقات والوحدات ، بوسطن، ماساتشوستس: أكاديميك بريس