الشكل الأحادي

في سياق الجبر المجرد أو الجبر الشامل ، يُعرف التشاكل الأحادي بأنه تشاكل حقني . ويُرمز للتشاكل الأحادي من X إلى Y عادةً بالرمز التالي: ${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$.

في الإطار الأكثر عمومية لنظرية الفئات ، يُعرف التشاكل الأحادي (ويُسمى أيضًا التشاكل الأحادي أو أحادي ) بأنه تشاكل يساري قابل للإلغاء . أي، سهم f : X → Y بحيث يكون لجميع الكائنات Z وجميع التشاكلات g ₁ ، g ₂ : Z → X ، 

${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\implies g_{1}=g_{2}.}$

تُعتبر الأشكال الأحادية تعميمًا فئويًا للدوال الحقنية (وتسمى أيضًا "الدوال أحادية التقابل")؛ في بعض الفئات تتطابق المفاهيم، لكن الأشكال الأحادية أكثر عمومية، كما هو الحال في الأمثلة أدناه .

في سياق المجموعات المرتبة جزئيًا، تكون التقاطعات متطابقة : أي أن تقاطع أي شيء مع نفسه هو نفسه. تعمم التشكلات الأحادية هذه الخاصية على فئات عشوائية. يكون التشكل أحاديًا إذا كان متطابقًا بالنسبة لعمليات السحب العكسي .

إنّ الثنائية الفئوية للتشاكل الأحادي هي تشاكل فوقي ، أي أن التشاكل الأحادي في الفئة C هو تشاكل فوقي في الفئة الثنائية C ^op . كل مقطع هو تشاكل أحادي، وكل انكماش هو تشاكل فوقي.

تكون التشكلات القابلة للعكس من اليسار أحادية بالضرورة: إذا كان l معكوسًا يساريًا لـ f (أي أن l تشكل و${\displaystyle l\circ f=\operatorname {id} _{X}}$إذاً، فإن f أحادية، كما

${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow l\circ f\circ g_{1}=l\circ f\circ g_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}.}$

يُطلق على التشاكل القابل للعكس من اليسار اسم التشاكل المقطعي أو التشاكل المنفصل.

مع ذلك، ليس بالضرورة أن يكون التشاكل الأحادي قابلاً للعكس من اليسار. على سبيل المثال، في فئة الزمر التي تضم جميع الزمر والتشاكلات الزمرية فيما بينها، إذا كانت H زمرة جزئية من G ، فإن تضمين f  : H → G يكون دائمًا تشاكلاً أحاديًا؛ ولكن f له معكوس من اليسار في الفئة إذا وفقط إذا كان لـ H مكمل طبيعي في G.

يكون التشكل f  : X → Y أحاديًا إذا وفقط إذا كانت الخريطة المستحثة f _∗  : Hom( Z , X ) → Hom( Z , Y ) ، المعرفة بواسطة f _∗ ( h ) = f ∘ h لجميع التشكلات h  : Z → X ، أحادية لجميع الكائنات Z.

كل تشاكل في فئة ملموسة تكون دالته الأساسية أحادية هو تشاكل أحادي؛ بعبارة أخرى، إذا كانت التشاكلات دوالًا بين مجموعات، فإن أي تشاكل يمثل دالة أحادية سيكون بالضرورة تشاكلًا أحاديًا بالمعنى الفئوي. في فئة المجموعات ، ينطبق العكس أيضًا، لذا فإن التشاكلات الأحادية هي تحديدًا التشاكلات الأحادية . وينطبق العكس أيضًا في معظم فئات الجبر التي تظهر بشكل طبيعي نظرًا لوجود كائن حر على مولد واحد. على وجه الخصوص، ينطبق هذا على فئات جميع الزمر، وجميع الحلقات ، وأي فئة أبيلية .

ليس صحيحًا بشكل عام أن جميع التشاكلات الأحادية يجب أن تكون أحادية في فئات أخرى؛ أي أن هناك حالات تكون فيها التشاكلات دوالًا بين مجموعات، ولكن يمكن أن تكون لدينا دالة غير أحادية ومع ذلك فهي تشاكل أحادي بالمعنى الفئوي. على سبيل المثال، في فئة Div للمجموعات القابلة للقسمة (الأبيلية) وتشاكلات المجموعات بينها، توجد تشاكلات أحادية غير أحادية: لنأخذ على سبيل المثال دالة القسمة q  : Q → Q / Z ، حيث Q هي الأعداد النسبية تحت الجمع، وZ هي الأعداد الصحيحة (التي تُعتبر أيضًا مجموعة تحت الجمع)، و Q / Z هي مجموعة القسمة المقابلة . هذه ليست دالة أحادية، حيث يتم تعيين كل عدد صحيح إلى 0. ومع ذلك، فهي تشاكل أحادي في هذه الفئة. هذا يتبع من الاستلزام q ∘ h = 0 ⇒ h = 0 ، والذي سنثبته الآن. إذا كانت h  : G → Q ، حيث G زمرة قابلة للقسمة، و q ∘ h = 0 ، فإن h ( x ) ∈ Z ، لكل x ∈ G. لنثبت الآن x ∈ G. دون فقدان للعمومية، يمكننا افتراض أن h ( x ) ≥ 0 (وإلا، نختار -x بدلاً من ذلك). عندئذٍ، بوضع n = h ( x ) + 1 ، بما أن G زمرة قابلة للقسمة، فإنه يوجد y ∈ G بحيث x = ny ، وبالتالي h ( x ) = n h ( y ) . من هذا، وبما أن 0 ≤ h ( x ) < h ( x ) + 1 = n ، فإنه يترتب على ذلك أن

${\displaystyle 0\leq {\frac {h(x)}{h(x)+1}}=h(y)<1}$

بما أن h ( y ) ∈ Z ، فإنه يترتب على ذلك أن h ( y ) = 0 ، وبالتالي h ( x ) = 0 = h (−x ) ، لكل x ∈ G. وهذا يعني أن h = 0 ، كما هو مطلوب.

للانتقال من هذا الاستنتاج إلى حقيقة أن q أحادي الشكل، نفترض أن q ∘ f = q ∘ g لبعض التشكلات f و g  : G → Q ، حيث G زمرة قابلة للقسمة. عندئذٍ q ∘ ( f − g ) = 0 ، حيث ( f − g )  : x ↦ f ( x ) − g ( x ) . (بما أن ( f − g )(0) = 0 ، و ( f − g )( x + y ) = ( f − g )( x ) + ( f − g )( y ) ، فإنه يترتب على ذلك أن ( f − g ) ∈ Hom( G , Q ) ). من الاستلزام الذي تم إثباته للتو، q ∘ ( f − g ) = 0 ⇒ f − g = 0 ⇔ ∀ x ∈ G , f ( x ) = g ( x ) ⇔ f = g . وبالتالي فإن q هو أحادي الشكل، كما هو مطلوب.

• في الطوبولوجيا الأولية ، كل أحادي هو مُعادل، وأي خريطة أحادية وملحمية في نفس الوقت هي تماثل .
• كل تماثل هو تماثل أحادي.

توجد أيضًا مفاهيم مفيدة مثل التشكل الأحادي المنتظم ، والتشكل الأحادي المتطرف ، والتشكل الأحادي الفوري ، والتشكل الأحادي القوي ، والتشكل الأحادي المنقسم .

• يقال إن الشكل الأحادي منتظم إذا كان مساوياً لزوج من الأشكال المتوازية.
• أحادي الشكل${\displaystyle \mu }$يُقال إنها متطرفة ^{[ 1 ]} إذا كانت في كل تمثيل${\displaystyle \mu =\varphi \circ \varepsilon }$، أين${\displaystyle \varepsilon }$هو شكل فوقي، الشكل${\displaystyle \varepsilon }$هو تماثل تلقائي .
• أحادي الشكل${\displaystyle \mu }$يُقال إنها فورية إذا كانت في كل تمثيل${\displaystyle \mu =\mu '\circ \varepsilon }$، أين${\displaystyle \mu '}$هو شكل أحادي و${\displaystyle \varepsilon }$هو شكل فوقي، الشكل${\displaystyle \varepsilon }$هو تماثل تلقائي .
• أحادي الشكل${\displaystyle \mu :C\to D}$يُقال إنها قوية ^{[ 1 ] [ 2 ]} إذا كان لأي شكل فوقي${\displaystyle \varepsilon :A\to B}$وأي تحويلات${\displaystyle \alpha :A\to C}$و${\displaystyle \beta :B\to D}$بحيث${\displaystyle \beta \circ \varepsilon =\mu \circ \alpha }$يوجد تشاكل${\displaystyle \delta :B\to C}$بحيث${\displaystyle \delta \circ \varepsilon =\alpha }$و${\displaystyle \mu \circ \delta =\beta }$.
• أحادي الشكل${\displaystyle \mu }$يُقال إن المنقسم موجود إذا كان هناك تشاكل${\displaystyle \varepsilon }$بحيث${\displaystyle \varepsilon \circ \mu =1}$(في هذه الحالة)${\displaystyle \varepsilon }$يُطلق عليه اسم معكوس الجانب الأيسر لـ${\displaystyle \mu }$).

استُخدم مصطلحا "التشكل الأحادي" و "التشكل الفوقي" لأول مرة من قِبل نيكولاس بورباكي ؛ حيث استخدم بورباكي "التشكل الأحادي" كاختصار للدالة الحقنية. اعتقد رواد نظرية الفئات أن التعميم الصحيح للحقنية في سياق الفئات هو خاصية الإلغاء المذكورة أعلاه. ورغم أن هذا لا ينطبق تمامًا على الدوال الأحادية، إلا أنه قريب جدًا، ولذلك لم يُسبب هذا الأمر إشكالًا يُذكر، على عكس حالة التشكلات الفوقية. حاول سوندرز ماك لين التمييز بين ما أسماه "التشكلات الأحادية" ، وهي دوال في فئة محددة تكون دوالها الأساسية للمجموعات حقنية، و" الدوال الأحادية" ، وهي تشكلات أحادية بالمعنى الفئوي للكلمة. لم يُستخدم هذا التمييز على نطاق واسع.

في الصيغة الوصفية، يقال عن الشكل الأحادي أنه أحادي؛ وفي الاختصار الشائع، يطلق عليه أيضًا اسم أحادي.

• التضمين
• التحلل العقدي
• الكائن الفرعي

• بيرغمان، جورج (2015). مدخل إلى الجبر العام والإنشاءات الشاملة . سبرينغر. ISBN 978-3-319-11478-1.
• بورسي، فرانسيس (1994). دليل الجبر الفئوي. المجلد 1: نظرية الفئات الأساسية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0521061193.
• "التشكل الأحادي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• فان أوستن، ياب (1995). "نظرية الفئات الأساسية" (ملف PDF) . سلسلة محاضرات بريكس . مركز بريكس لعلوم الحاسوب، جامعة آرهوس. الرقم الدولي الموحد للدوريات 1395-2048 . 
• تسالينكو، إم إس؛ شولغيفر، إي جي (1974). أسس نظرية الفئات . ناوكا. ISBN 5-02-014427-4.
• ريهل، إميلي (2016). نظرية الفئات في السياق (ملف PDF) . منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0486809038.

• أحادية الشكل في مختبر n
• التناظر الأحادي القوي في مختبر n