التباين المُفسَّر

استنادًا إلى كينت (1983)، ^{[ 1 ]} نستخدم معلومات فريزر (فريزر 1965) ^{[ 2 ]}

${\displaystyle F(\theta )=\int {\textrm {d}}r\,g(r)\,\ln f(r;\theta )}$

أين${\displaystyle g(r)}$هي دالة كثافة الاحتمال لمتغير عشوائي${\displaystyle R\,}$، و${\displaystyle f(r;\theta )\,}$مع${\displaystyle \theta \in \Theta _{i}}$(${\displaystyle i=0,1\,}$) هما عائلتان من النماذج البارامترية. عائلة النموذج 0 هي الأبسط، ذات فضاء معلمات محدود${\displaystyle \Theta _{0}\subset \Theta _{1}}$.

يتم تحديد المعلمات عن طريق تقدير الاحتمال الأقصى ،

${\displaystyle \theta _{i}=\operatorname {argmax} _{\theta \in \Theta _{i}}F(\theta ).}$

يُكتب كسب المعلومات للنموذج 1 مقارنةً بالنموذج 0 على النحو التالي:

${\displaystyle \Gamma (\theta _{1}:\theta _{0})=2[F(\theta _{1})-F(\theta _{0})]\,}$

حيث تم تضمين عامل 2 للتسهيل. Γ دائمًا غير سالب؛ فهو يقيس مدى تفوق أفضل نموذج للعائلة 1 على أفضل نموذج للعائلة 0 في تفسير g ( r ).

لنفترض متغيرًا عشوائيًا ثنائي الأبعاد${\displaystyle R=(X,Y)}$حيث يُعتبر X متغيرًا تفسيريًا، و Y متغيرًا تابعًا. نماذج العائلة 1 "تفسر " Y بدلالة X.

${\displaystyle f(y\mid x;\theta )}$،

بينما في العائلة 0، يُفترض أن X و Y مستقلان. نُعرّف عشوائية Y من خلال${\displaystyle D(Y)=\exp[-2F(\theta _{0})]}$وعشوائية Y ، بمعلومية X ، بواسطة${\displaystyle D(Y\mid X)=\exp[-2F(\theta _{1})]}$. ثم،

${\displaystyle \rho _{C}^{2}=1-D(Y\mid X)/D(Y)}$

يمكن تفسيرها على أنها نسبة تشتت البيانات التي "يفسرها " X.

يُعدّ جزء التباين غير المُفسَّر مفهومًا راسخًا في سياق الانحدار الخطي . ويستند التعريف المعتاد لمعامل التحديد على المفهوم الأساسي للتباين المُفسَّر.

ليكن X متجهًا عشوائيًا، و Y متغيرًا عشوائيًا يتم نمذجته بواسطة توزيع طبيعي بمركز${\displaystyle \mu =\Psi ^{\textrm {T}}X}$في هذه الحالة، النسبة المشتقة أعلاه من التباين المُفسَّر${\displaystyle \rho _{C}^{2}}$يساوي مربع معامل الارتباط${\displaystyle R^{2}}$.

لاحظ الافتراضات القوية للنموذج: يجب أن يكون مركز توزيع Y دالة خطية لـ X ، ولأي قيمة معطاة لـ x ، يجب أن يكون توزيع Y طبيعيًا. في حالات أخرى، لا يكون من المبرر عمومًا تفسير${\displaystyle R^{2}}$كنسبة من التباين المُفسَّر.

يُستخدم التباين المُفسَّر بشكل روتيني في تحليل المكونات الرئيسية . ولا تزال العلاقة بينه وبين مكسب المعلومات في مقياس فريزر-كينت بحاجة إلى توضيح.