تحليل الحساسية القائم على التباين

يُعد تحليل الحساسية القائم على التباين (والذي يُشار إليه غالبًا بطريقة سوبول أو مؤشرات سوبول ، نسبةً إلى إيليا م. سوبول ) أحد أشكال تحليل الحساسية الشامل . ^{[ 1 ] [ 2 ]} يعمل هذا التحليل ضمن إطار احتمالي ، حيث يُقسّم تباين مخرجات النموذج أو النظام إلى أجزاء يُمكن نسبها إلى المدخلات أو مجموعات المدخلات. على سبيل المثال، في نموذج ذي مدخلين ومخرج واحد، قد نجد أن 70% من تباين المخرجات ناتج عن تباين المدخل الأول، و20% عن تباين المدخل الثاني، و10% عن التفاعلات بينهما. تُفسَّر هذه النسب مباشرةً على أنها مقاييس للحساسية. تتميز مقاييس الحساسية القائمة على التباين بجاذبيتها لأنها تقيس الحساسية عبر كامل نطاق المدخلات (أي أنها طريقة شاملة)، كما أنها قادرة على التعامل مع الاستجابات غير الخطية ، وقياس تأثير التفاعلات في الأنظمة غير الجمعية . ^{[ 3 ]}

من منظور الصندوق الأسود ، يمكن اعتبار أي نموذج دالة Y = f ( X )، حيث X متجه من d مدخلات نموذجية غير مؤكدة { X1 _, X2 _, ..., Xd } _، و Y مخرج نموذجي أحادي المتغير مُختار (لاحظ أن هذا النهج يفحص مخرجات النموذج العددية، ولكن يمكن تحليل مخرجات متعددة من خلال تحليلات حساسية مستقلة متعددة). علاوة على ذلك، سيُفترض أن المدخلات موزعة بشكل مستقل وموحد داخل المكعب الفائق ذي الوحدة ، أي${\displaystyle X_{i}\in [0,1]}$ل${\displaystyle i=1,2,...,d}$لا يترتب على ذلك أي فقدان للعمومية لأن أي فضاء إدخال يمكن تحويله إلى هذا المكعب الفائق ذي الوحدة. يمكن تحليل f ( X ) بالطريقة التالية، ^{[ 4 ]}

${\displaystyle Y=f_{0}+\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{i})+\sum _{i<j}^{d}f_{ij}(X_{i},X_{j})+\cdots +f_{1,2,\dots ,d}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$

حيث f₀ ثابت و fᵢ دالة لـ Xᵢ _{، و} fᵢⱼ دالة لـ _Xᵢ و Xⱼ ، _وهكذا . _ومن شروط هذا التحليل أن _،

${\displaystyle \int _{0}^{1}f_{i_{1}i_{2}\dots i_{s}}(X_{i_{1}},X_{i_{2}},\dots ,X_{i_{s}})dX_{k}=0,{\text{ for }}k=i_{1},...,i_{s}}$

أي أن جميع الحدود في التحليل الوظيفي متعامدة . وهذا يؤدي إلى تعريف حدود التحليل الوظيفي بدلالة القيم المتوقعة الشرطية.

${\displaystyle f_{0}=E(Y)}$

${\displaystyle f_{i}(X_{i})=E(Y|X_{i})-f_{0}}$

${\displaystyle f_{ij}(X_{i},X_{j})=E(Y|X_{i},X_{j})-f_{0}-f_{i}-f_{j}}$

يتضح مما سبق أن fᵢ هو تأثير تغيير Xᵢ وحده (ويُعرف بالتأثير الرئيسي لـ Xᵢ)، بينما fⱼ هو تأثير تغيير Xᵢ و Xⱼ معًا ، _{بالإضافة إلى} تأثير كل منهما على حدة _. يُعرف هذا بالتفاعل _من الدرجة الثانية . _{وللمصطلحات} ذات _الرتب الأعلى تعريفات مماثلة.

والآن، بافتراض أن الدالة f ( X ) قابلة للتكامل التربيعي ، يمكن تربيع التفكيك الوظيفي وتكامله للحصول على،

${\displaystyle \int f^{2}(\mathbf {X} )d\mathbf {X} -f_{0}^{2}=\sum _{s=1}^{d}\sum _{i_{1}<\dots <i_{s}}^{d}\int f_{i_{1}\dots i_{s}}^{2}dX_{i_{1}}\dots dX_{i_{s}}}$

لاحظ أن الطرف الأيسر يساوي تباين Y ، وأن حدود الطرف الأيمن هي حدود التباين، والتي تم تحليلها الآن بالنسبة لمجموعات Xᵢ _. وهذا يؤدي في النهاية إلى تحليل تعبير التباين.

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\sum _{i=1}^{d}V_{i}+\sum _{i<j}^{d}V_{ij}+\cdots +V_{12\dots d}}$

أين

${\displaystyle V_{i}=\operatorname {Var} _{X_{i}}\left(E_{{\textbf {X}}_{\sim i}}(Y\mid X_{i})\right)}$،

${\displaystyle V_{ij}=\operatorname {Var} _{X_{ij}}\left(E_{{\textbf {X}}_{\sim ij}}\left(Y\mid X_{i},X_{j}\right)\right)-V_{i}-V_{j}}$

وهكذا. يشير الرمز X _{~ i} إلى مجموعة جميع المتغيرات باستثناء X _i . يوضح تحليل التباين أعلاه كيفية تقسيم تباين مخرجات النموذج إلى حدود تُعزى إلى كل مُدخل، بالإضافة إلى تأثيرات التفاعل بينها. ومجموع هذه الحدود يُساوي التباين الكلي لمخرجات النموذج.

يتم تحديد مقياس الحساسية القائم على التباين المباشر S _i ، والذي يسمى " مؤشر الحساسية من الدرجة الأولى " أو "مؤشر التأثير الرئيسي" على النحو التالي، ^{[ 4 ]}

${\displaystyle S_{i}={\frac {V_{i}}{\operatorname {Var} (Y)}}}$

هذا هو مساهمة التأثير الرئيسي لـ X _i في تباين الناتج ، وبالتالي فهو يقيس تأثير تغيير X _i وحده ، ولكن بمتوسط ​​التغيرات في معلمات الإدخال الأخرى. يتم توحيده بقسمته على التباين الكلي لتقديم مساهمة كسرية. يمكن تكوين مؤشرات التفاعل من الرتبة الأعلى S _ij و S _ijk وما إلى ذلك عن طريق قسمة الحدود الأخرى في تحليل التباين على Var( Y ). لاحظ أن هذا يعني ضمناً أن

${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}S_{i}+\sum _{i<j}^{d}S_{ij}+\cdots +S_{12\dots d}=1}$

باستخدام المؤشرات S _{_i} و S_{_ij} والمؤشرات ذات الرتب الأعلى المذكورة أعلاه، يمكن تكوين صورة عن أهمية كل متغير في تحديد تباين المخرجات. مع ذلك، عندما يكون عدد المتغيرات كبيرًا، يتطلب ذلك حساب 2^{^d -1} مؤشرًا، وهو ما قد يكون مُرهقًا حسابيًا. لهذا السبب، يُستخدم مقياس يُعرف باسم "مؤشر التأثير الكلي" أو "مؤشر الرتبة الكلية"، S_{_Ti.} ^{[ 5 ]} يقيس هذا المقياس مساهمة X_{_i} في تباين المخرجات ، بما في ذلك جميع التباينات الناتجة عن تفاعلاته، من أي رتبة، مع أي متغيرات إدخال أخرى. ويُعطى على النحو التالي:

${\displaystyle S_{Ti}={\frac {E_{{\textbf {X}}_{\sim i}}\left(\operatorname {Var} _{X_{i}}(Y\mid \mathbf {X} _{\sim i})\right)}{\operatorname {Var} (Y)}}=1-{\frac {\operatorname {Var} _{{\textbf {X}}_{\sim i}}\left(E_{X_{i}}(Y\mid \mathbf {X} _{\sim i})\right)}{\operatorname {Var} (Y)}}}$

لاحظ أنه على عكس S _i ،

${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}S_{Ti}\geq 1}$

وذلك لأن تأثير التفاعل بين X _i و X _{j، على سبيل المثال ،} يُحتسب في كل من _STi و STj . في الواقع، لن يساوي مجموع STi واحدًا إلا عندما يكون النموذج جمعيًا بحتًا .

بالنسبة للدوال القابلة للمعالجة التحليلية، يمكن حساب المؤشرات المذكورة أعلاه تحليليًا عن طريق تقييم التكاملات في عملية التفكيك. ومع ذلك، في الغالبية العظمى من الحالات، يتم تقديرها - ويتم ذلك عادةً باستخدام طريقة مونت كارلو .

تسلسلات أخذ العينات

تعتمد طريقة مونت كارلو على توليد سلسلة من النقاط الموزعة عشوائيًا داخل مكعب الوحدة الفائق (بمعنى أدق، ستكون هذه النقاط شبه عشوائية ). عمليًا، من الشائع استبدال السلاسل العشوائية بسلاسل ذات تباين منخفض لتحسين كفاءة المُقدِّرات. يُعرف هذا الأسلوب حينها باسم طريقة شبه مونت كارلو . من بين السلاسل ذات التباين المنخفض الشائعة الاستخدام في تحليل الحساسية، سلسلة سوبول وتصميم مكعب لاتين الفائق .

• تحليل الحساسية
• طريقة مونت كارلو
• طريقة شبه مونت كارلو
• متتالية سوبول