نماذج الرسم البياني العشوائي للعائلة الأسية

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 61 صور
الموسوعة الحرة

نماذج الرسوم البيانية العشوائية من عائلة التوزيع الأسي (ERGMs) هي مجموعة من النماذج الإحصائية المستخدمة لدراسة بنية وأنماط الشبكات ، مثل تلك الموجودة في السياقات الاجتماعية أو التنظيمية أو العلمية. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] تحلل هذه النماذج كيفية تشكل الروابط ( الحواف ) بين الأفراد أو الكيانات ( العقد ) من خلال نمذجة احتمالية خصائص الشبكة، مثل التجميع أو المركزية ، عبر أمثلة متنوعة تشمل شبكات المعرفة ، [ 4 ] والشبكات التنظيمية، [ 5 ] وشبكات الزملاء، [ 6 ] وشبكات التواصل الاجتماعي ، وشبكات التعاون العلمي، [ 7 ] وغيرها. وباعتبارها جزءًا من عائلة التوزيعات الأسية ، تساعد نماذج الرسوم البيانية العشوائية من عائلة التوزيع الأسي الباحثين على فهم سلوك الشبكة والتنبؤ به في مجالات تتراوح من علم الاجتماع إلى علم البيانات .

خلفية

توجد العديد من المقاييس لوصف السمات البنيوية لشبكة مُرصَدة، مثل الكثافة والمركزية والترابط . [ 8 ] [ 9 ] مع ذلك، تصف هذه المقاييس الشبكة المُرصَدة، وهي مجرد مثال واحد من بين عدد كبير من الشبكات البديلة المُحتملة. [ 10 ] قد تتشابه هذه المجموعة من الشبكات البديلة في سماتها البنيوية أو تختلف. لدعم الاستدلال الإحصائي حول العمليات المؤثرة في تكوين بنية الشبكة، ينبغي أن يأخذ النموذج الإحصائي في الاعتبار مجموعة جميع الشبكات البديلة المُحتملة، مُرجَّحةً بناءً على تشابهها مع الشبكة المُرصَدة. مع ذلك، ولأن بيانات الشبكة بطبيعتها علائقية، فإنها تُخالف افتراضات الاستقلال والتوزيع المُتطابق للنماذج الإحصائية القياسية، مثل الانحدار الخطي . [ 11 ] [ 2 ] ينبغي أن تُعكس النماذج الإحصائية البديلة عدم اليقين المُصاحب لملاحظة مُعينة، وأن تسمح بالاستدلال حول التكرار النسبي للبنى الفرعية للشبكة ذات الأهمية النظرية، وأن تُزيل الغموض عن تأثير العمليات المُربكة ، وأن تُمثل البنى المُعقدة بكفاءة، وأن تربط العمليات على المستوى المحلي بالخصائص على المستوى العالمي. [ 12 ] إن التوزيع العشوائي الذي يحافظ على الدرجة ، على سبيل المثال، هو طريقة محددة يمكن من خلالها اعتبار الشبكة الملاحظة من حيث الشبكات البديلة المتعددة.

تعريف

تُعدّ عائلة النماذج الأسية عائلة واسعة من النماذج التي تغطي أنواعًا عديدة من البيانات، وليس الشبكات فقط. ونموذج ERGM هو نموذج من هذه العائلة يصف الشبكات.

رسم بياني عشوائي بشكل رسميY∈Y{\displaystyle Y\in {\mathcal {Y}}}يتكون من مجموعة منن{\displaystyle n}العقد ومجموعة من متغيرات الربط{Yأناج:أنا=1،...،ن؛ج=1،...،ن}{\displaystyle \{Y_{ij}:i=1,\dots ,n;j=1,\dots ,n\}}، مفهرسة بأزواج من العقدأناج{\displaystyle ij}، أينYأناج=1{\displaystyle Y_{ij}=1}إذا كانت العقد(أنا،ج){\displaystyle (i,j)}متصلة بحافة وYأناج=0{\displaystyle Y_{ij}=0}وإلا. زوج من العقدأناج{\displaystyle ij}يُطلق عليه اسم ثنائي، والثنائي هو حافة إذاYأناج=1{\displaystyle Y_{ij}=1}.

الافتراض الأساسي لهذه النماذج هو أن البنية في الرسم البياني المرصودy{\displaystyle y}يمكن تفسير ذلك بواسطة متجه معين من الإحصاءات الكافيةs(y){\displaystyle s(y)}وهي دالة للشبكة المرصودة، وفي بعض الحالات، لخصائص العقد. وبهذه الطريقة، يمكن وصف أي نوع من أنواع التبعية بين المتغيرات غير الثنائية.

P(Y=y|θ)=خبرة⁡(θتيs(y))ج(θ)،∀y∈Y{\displaystyle P(Y=y|\theta )={\frac {\exp(\theta ^{T}s(y))}{c(\theta )}},\quad \forall y\in {\mathcal {Y}}}

أينθ{\displaystyle \theta }هو متجه معلمات النموذج المرتبطة بـs(y){\displaystyle s(y)}وج(θ)=∑y′∈Yخبرة⁡(θتيs(y′)){\displaystyle c(\theta )=\sum _{y'\in {\mathcal {Y}}}\exp(\theta ^{T}s(y'))}هو ثابت تطبيع.

تمثل هذه النماذج توزيعًا احتماليًا على كل شبكة ممكنة علىن{\displaystyle n}العقد. ومع ذلك، فإن حجم مجموعة الشبكات الممكنة لشبكة غير موجهة (رسم بياني بسيط) بحجمن{\displaystyle n}يكون2ن(ن-1)/2{\displaystyle 2^{n(n-1)/2}}. ولأن عدد الشبكات الممكنة في المجموعة يفوق بكثير عدد المعلمات التي يمكن أن تقيد النموذج، فإن التوزيع الاحتمالي المثالي هو الذي يزيد من إنتروبيا جيبس ​​إلى أقصى حد . [ 13 ]

مثال

يتركV={1،2،3}{\displaystyle V=\{1,2,3\}}لتكن مجموعة من ثلاث عقد، ولتكنY{\displaystyle {\mathcal {Y}}}لتكن مجموعة جميع الرسوم البيانية غير الموجهة والخالية من الحلقات علىV{\displaystyle V}يعني مصطلح "بلا حلقات" أنه بالنسبة لجميعأنا=1،2،3{\displaystyle i=1,2,3}إنهاYأناأنا=0{\displaystyle Y_{ii}=0}ويعني عدم التوجيه أنه بالنسبة للجميعأنا،ج=1،2،3{\displaystyle i,j=1,2,3}إنهاYأناج=Yجأنا{\displaystyle Y_{ij}=Y_{ji}}وبالتالي، توجد ثلاثة متغيرات ربط ثنائية (Y12،Y13،Y23{\displaystyle Y_{12},Y_{13},Y_{23}}) و23=8{\displaystyle 2^{3}=8}رسوم بيانية مختلفة في هذا المثال.

عرّف متجهًا ثنائي الأبعاد للإحصائيات كما يلي:s(y)=[s1(y)،s2(y)]تي{\displaystyle s(y)=[s_{1}(y),s_{2}(y)]^{T}}، أينs1(y)=هـدزهـs(y){\displaystyle s_{1}(y)=الحواف(y)}يُعرَّف بأنه عدد الحواف في الرسم البيانيy{\displaystyle y}وs2(y)=ترأناأنزلهـs(y){\displaystyle s_{2}(y)=مثلثات(y)}يُعرَّف بأنه عدد المثلثات المغلقة فيy{\displaystyle y}وأخيرًا، لنفترض أن متجه المعاملات مُعرَّفٌ بـθ=(θ1،θ2)تي=(-ln⁡2،ln⁡3)تي{\displaystyle \theta =(\theta _{1},\theta _{2})^{T}=(-\ln 2,\ln 3)^{T}}بحيث يكون احتمال كل رسم بيانيy∈Y{\displaystyle y\in {\mathcal {Y}}}في هذا المثال يتم تحديده بواسطة:

P(Y=y|θ)=خبرة⁡(-ln⁡2⋅هـدزهـs(y)+ln⁡3⋅ترأناأنزلهـs(y))ج(θ){\displaystyle P(Y=y|\theta )={\frac {\exp(-\ln 2\cdot edges(y)+\ln 3\cdot triangles(y))}{c(\theta )}}}

نلاحظ أنه في هذا المثال، توجد أربع فئات فقط من تماثل الرسوم البيانية : الرسم البياني ذو الصفر من الحواف، وثلاثة رسوم بيانية ذات حافة واحدة فقط، وثلاثة رسوم بيانية ذات حافتين فقط، والرسم البياني ذو الثلاث حواف. وبما أن الرسوم البيانية المتماثلة لها نفس عدد الحواف ونفس عدد المثلثات، فإن احتمالية وجودها في هذا المثال من نموذج ERGM متساوية أيضًا. بالنسبة لنموذج تمثيليy{\displaystyle y}لكل فئة من فئات التشاكل، نقوم أولاً بحساب الحدx(y)=خبرة⁡(-ln⁡2⋅هـدزهـs(y)+ln⁡3⋅ترأناأنزلهـs(y)){\displaystyle x(y)=\exp(-\ln 2\cdot edges(y)+\ln 3\cdot triangles(y))}وهو ما يتناسب مع احتمالy{\displaystyle y}(حتى ثابت التطبيع)ج(θ){\displaystyle c(\theta )}).

لوy{\displaystyle y}إذا كان الرسم البياني يحتوي على صفر من الحواف ، فإنههـدزهـs(y)=0{\displaystyle edges(y)=0}وترأناأنزلهـs(y)=0{\displaystyle triangles(y)=0}، لهذا السبب

x(y)=خبرة⁡(-ln⁡2⋅0+ln⁡3⋅0)=خبرة⁡(0)=1.{\displaystyle x(y)=\exp(-\ln 2\cdot 0+\ln 3\cdot 0)=\exp(0)=1.}

لوy{\displaystyle y}إذا كان الرسم البياني يحتوي على حافة واحدة فقط ، فإنه يكونهـدزهـs(y)=1{\displaystyle edges(y)=1}وترأناأنزلهـs(y)=0{\displaystyle triangles(y)=0}، لهذا السبب

x(y)=خبرة⁡(-ln⁡2⋅1+ln⁡3⋅0)=خبرة⁡(0)خبرة⁡(ln⁡2)=12.{\displaystyle x(y)=\exp(-\ln 2\cdot 1+\ln 3\cdot 0)={\frac {\exp(0)}{\exp(\ln 2)}}={\frac {1}{2}}.}

لوy{\displaystyle y}إذا كان الرسم البياني يحتوي على حافتين فقط ، فإنه يكونهـدزهـs(y)=2{\displaystyle edges(y)=2}وترأناأنزلهـs(y)=0{\displaystyle triangles(y)=0}، لهذا السبب

x(y)=خبرة⁡(-ln⁡2⋅2+ln⁡3⋅0)=خبرة⁡(0)خبرة⁡(ln⁡2)2=14.{\displaystyle x(y)=\exp(-\ln 2\cdot 2+\ln 3\cdot 0)={\frac {\exp(0)}{\exp(\ln 2)^{2}}}={\frac {1}{4}}.}

لوy{\displaystyle y}إذا كان الرسم البياني يحتوي على ثلاثة حواف بالضبط ، فإنه يكونهـدزهـs(y)=3{\displaystyle edges(y)=3}وترأناأنزلهـs(y)=1{\displaystyle triangles(y)=1}، لهذا السبب

x(y)=خبرة⁡(-ln⁡2⋅3+ln⁡3⋅1)=خبرة⁡(ln⁡3)خبرة⁡(ln⁡2)3=38.{\displaystyle x(y)=\exp(-\ln 2\cdot 3+\ln 3\cdot 1)={\frac {\exp(\ln 3)}{\exp(\ln 2)^{3}}}={\frac {3}{8}}.}

يتم حساب ثابت التطبيع عن طريق جمعx(y){\displaystyle x(y)}على جميع الرسوم البيانية الثمانية المختلفةy∈Y{\displaystyle y\in {\mathcal {Y}}}وهذا ينتج عنه:

ج(θ)=1+3⋅12+3⋅14+38=298.{\displaystyle c(\theta )=1+3\cdot {\frac {1}{2}}+3\cdot {\frac {1}{4}}+{\frac {3}{8}}={\frac {29}{8}}.}

وأخيرًا، احتمال كل رسم بيانيy∈Y{\displaystyle y\in {\mathcal {Y}}}يُعطى بواسطةP(Y=y|θ)=x(y)ج(θ){\displaystyle P(Y=y|\theta )={\frac {x(y)}{c(\theta )}}}. وبشكل صريح، نحصل على أن الرسم البياني ذو الحواف الصفرية له احتمال829{\displaystyle {\frac {8}{29}}}كل رسم بياني يحتوي على حافة واحدة بالضبط له احتمال429{\displaystyle {\frac {4}{29}}}كل رسم بياني يحتوي على حافتين بالضبط له احتمال229{\displaystyle {\frac {2}{29}}}والرسم البياني الذي يحتوي على ثلاثة حواف بالضبط له احتمال329{\displaystyle {\frac {3}{29}}}في هذا المثال.

بشكل بديهي، يتوافق هيكل احتمالات الرسم البياني في مثال ERGM هذا مع الأنماط النموذجية للشبكات الاجتماعية أو غيرها . المعامل السالب (θ1=-ln⁡2{\displaystyle \theta _{1}=-\ln 2}يشير الارتباط بعدد الحواف إلى أنه - مع ثبات جميع العوامل الأخرى - تتمتع الشبكات ذات الحواف الأقل باحتمالية أعلى من الشبكات ذات الحواف الأكثر. ويتوافق هذا مع خاصية التباعد التي غالبًا ما تُلاحظ في الشبكات التجريبية، أي أن العدد التجريبي للحواف ينمو عادةً بمعدل أبطأ من الحد الأقصى الممكن لعدد الحواف. المعامل الموجب (θ2=ln⁡3{\displaystyle \theta _{2}=\ln 3}يشير الارتباط بعدد المثلثات المغلقة إلى أنه - مع ثبات العوامل الأخرى - تتمتع الشبكات ذات المثلثات الأكثر احتمالية أعلى من الشبكات ذات المثلثات الأقل. ويتوافق هذا مع ميل بعض أنواع الشبكات الاجتماعية إلى الانغلاق الثلاثي . قارن هذه الأنماط باحتمالات الرسم البياني المحسوبة أعلاه. إضافة كل حافة تقسم الاحتمالية على اثنين. ومع ذلك، عند الانتقال من رسم بياني ذي حافتين إلى رسم بياني ذي ثلاث حواف، يزداد عدد المثلثات بمقدار واحد، مما يضاعف الاحتمالية ثلاث مرات.

نلاحظ أن الحساب الصريح لجميع احتمالات الرسوم البيانية ممكن فقط نظرًا لقلة عدد الرسوم البيانية المختلفة في هذا المثال. ولأن عدد الرسوم البيانية المختلفة يتناسب أُسّيًا مع عدد متغيرات الربط - الذي يتناسب بدوره تربيعيًا مع عدد العقد -، فإن حساب ثابت التطبيع يُعدّ عمومًا غير عملي حسابيًا ، حتى مع عدد معتدل من العقد. ولهذا السبب أيضًا، فإن إمكانية اعتماد نموذج ERGM لتحليل الشبكات الكبيرة تحظى باهتمام متزايد [ 14 ] [ 15 ].

أخذ العينات من ERGM

يُعد أخذ عينات دقيقة من نموذج ERGM معين أمرًا غير عملي حسابيًا بشكل عام، لأن حساب ثابت التطبيع يتطلب الجمع على جميعy∈Y{\displaystyle y\in {\mathcal {Y}}}يمكن إجراء أخذ عينات تقريبية فعالة من نموذج ERGM باستخدام سلاسل ماركوف ، ويتم تطبيق ذلك في الطرق الحالية لتقريب القيم المتوقعة وتقدير معلمات ERGM. [ 16 ] بشكل غير رسمي، بالنظر إلى نموذج ERGM على مجموعة من الرسوم البيانيةY{\displaystyle {\mathcal {Y}}}مع دالة الكتلة الاحتماليةP(Y=y|θ)=خبرة⁡(θتيs(y))ج(θ){\displaystyle P(Y=y|\theta )={\frac {\exp(\theta ^{T}s(y))}{c(\theta )}}}يختار المرء رسمًا بيانيًا أوليًاy(0)∈Y{\displaystyle y^{(0)}\in {\mathcal {Y}}}(والتي قد يتم اختيارها بشكل تعسفي أو عشوائي أو قد تمثل شبكة مُلاحظة) وتحدد ضمنيًا احتمالات الانتقال (أو احتمالات القفز).π(y،y′)=P(Y(ت+1)=y′|Y(ت)=y){\displaystyle \pi (y,y')=P(Y^{(t+1)}=y'|Y^{(t)}=y)}، وهي الاحتمالات الشرطية لوجود سلسلة ماركوف على الرسم البيانيy′{\displaystyle y'}الخطوة التاليةت+1{\displaystyle t+1}بالنظر إلى أنها موجودة على الرسم البيانيy{\displaystyle y}الخطوة التاليةت{\displaystyle t}لا تعتمد احتمالات الانتقال على الرسوم البيانية في الخطوات السابقة (y(0)،...،y(ت-1){\displaystyle y^{(0)},\dots ,y^{(t-1)}})، وهي خاصية مميزة لسلاسل ماركوف ، وهي لا تعتمد علىت{\displaystyle t}أي أن سلسلة ماركوف متجانسة زمنيًا. والهدف هو تحديد احتمالات الانتقال بحيث يكون لكلy∈Y{\displaystyle y\in {\mathcal {Y}}}إنها

ليمت→∞P(Y(ت)=y)=خبرة⁡(θتيs(y))ج(θ)،{\displaystyle \lim _{t\to \infty }P(Y^{(t)}=y)={\frac {\exp(\theta ^{T}s(y))}{c(\theta )}},}

بغض النظر عن الرسم البياني الأوليy(0){\displaystyle y^{(0)}}إذا تحقق ذلك، يمكن تشغيل سلسلة ماركوف لعدد كبير من الخطوات، ثم إعادة الرسم البياني الحالي كعينة عشوائية من نموذج ERGM المُعطى. احتمال إعادة رسم بيانيy∈Y{\displaystyle y\in {\mathcal {Y}}}بعد عدد محدود ولكن كبير من خطوات التحديث، يكون الاحتمال تقريبًا هو الاحتمال المحدد بواسطة نموذج ERGM.

تعتمد الطرق الحالية لأخذ العينات من نماذج ERGM باستخدام سلاسل ماركوف [ 16 ] عادةً على خطوتين فرعيتين لتحديد خطوة التحديث: أولاً، اختيار مرشح عشوائياًy′{\displaystyle y'}في جوار الرسم البياني الحاليy{\displaystyle y}وثانياً، أن يقبلy′{\displaystyle y'}باحتمالية تعتمد على نسبة الاحتمالية للرسم البياني الحاليy{\displaystyle y}والمرشحy′{\displaystyle y'}(إذا لم يتم قبول المرشح، تبقى سلسلة ماركوف على الرسم البياني الحالي)y{\displaystyle y}.) إذا كانت مجموعة الرسوم البيانيةY{\displaystyle {\mathcal {Y}}}إذا كانت غير مقيدة (أي تحتوي على أي مجموعة من القيم على متغيرات الربط الثنائية)، فإن إحدى الطرق البسيطة لاختيار المرشح هي اختيار متغير ربط واحد.yأناج{\displaystyle y_{ij}}بشكل عشوائي منتظم، ولتحديد المرشح عن طريق قلب هذا المتغير الوحيد (أي، لتعيينyأناج′=1-yأناج{\displaystyle y'_{ij}=1-y_{ij}}تأخذ جميع المتغيرات الأخرى نفس القيمة كما فيy{\displaystyle y}إحدى الطرق الشائعة لتحديد احتمالية القبول هي قبولy′{\displaystyle y'}مع الاحتمال الشرطي

P(Y=y′|Y=y′∨Y=y)=P(Y=y′)P(Y=y′)+P(Y=y)،{\displaystyle P(Y=y'|Y=y'\vee Y=y)={\frac {P(Y=y')}{P(Y=y')+P(Y=y)}},}

حيث تُحدد احتمالات الرسم البياني بواسطة نموذج ERGM. والأهم من ذلك، ثابت التطبيعج(θ){\displaystyle c(\theta )}يتم إلغاء هذا الجزء في الكسر، بحيث يمكن حساب احتمالات القبول بكفاءة.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ لوشر، دين؛ كوسكينين، يوهان؛ روبينز، غاري (2012). نماذج الرسوم البيانية العشوائية الأسية للشبكات الاجتماعية: النظرية والأساليب والتطبيقات (التحليل الهيكلي في العلوم الاجتماعية) . doi : 10.1017/CBO9780511894701 . ISBN 978-0-521-14138-3. OCLC 1120539699 . 
  2. 1 2 هاريس، جينين ك (2014). مقدمة في نمذجة الرسوم البيانية العشوائية الأسية . ISBN 978-1-4522-2080-2. OCLC 870698788 . 
  3. ↑ أماتي، فيفيانا؛ لومي، أليساندرو؛ ميرا، أنطونيتا (2018-03-07). "نمذجة الشبكات الاجتماعية" . المراجعة السنوية للإحصاء وتطبيقاته . 5 (1): 343-369 . Bibcode : 2018AnRSA...5..343A . doi : 10.1146/annurev-statistics-031017-100746 . ISSN 2326-8298 . 
  4. ↑ برينيك، جوليا؛ رانك، أولاف (2017-05-01). "شبكة المعرفة في الشركة ونقل المشورة بين المخترعين في الشركة - دراسة شبكية متعددة المستويات". سياسة البحث . 46 (4): 768-783 . doi : 10.1016/j.respol.2017.02.002 . ISSN 0048-7333 . 
  5. ↑ هاريس، جينين ك. (2013). " روابط التواصل عبر الشبكة الوطنية لإدارات الصحة المحلية". المجلة الأمريكية للطب الوقائي . 44 (3): 247-253 . doi : 10.1016/j.amepre.2012.10.028 . ISSN 0749-3797 . OCLC 4937103196. PMID 23415121 .   
  6. ↑ برينيك، جوليا (2019). "الروابط المتنافرة في الشبكات داخل المنظمات: لماذا يلتمس الأفراد المساعدة في حل المشكلات من زملاء العمل الصعبين". مجلة أكاديمية الإدارة (AMJ) . الرقم الدولي الموحد للدوريات 0001-4273 . رقم OCLC 8163488129 .  
  7. ↑ هاريس، جينين ك؛ لوك، دوغلاس أ؛ شيلتون، سارة س؛ زوكرمان، راشيل ب (2009). "أربعون عامًا من أبحاث التدخين السلبي: الفجوة بين الاكتشاف والتطبيق". المجلة الأمريكية للطب الوقائي . 36 (6): 538-548 . doi : 10.1016/j.amepre.2009.01.039 . ISSN 0749-3797 . OCLC 6980180781. PMID 19372026 .   
  8. ↑ واسرمان، ستانلي ؛ فاوست، كاثرين (1994). تحليل الشبكات الاجتماعية: الأساليب والتطبيقات . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-38707-1.
  9. ↑ نيومان، إم إي جيه (2003). "بنية ووظيفة الشبكات المعقدة". مجلة SIAM Review . 45 (2): 167-256 . arXiv : cond-mat/0303516 . Bibcode : 2003SIAMR..45..167N . doi : 10.1137/S003614450342480 .
  10. ^ سيميني، جوليو. سكوارتيني، تيزيانو؛ ساراكو، فابيو؛ جارلاسشيلي، دييغو؛ غابرييلي، أندريا؛ كالداريلي ، جويدو (2018). “الفيزياء الإحصائية لشبكات العالم الحقيقي”. طبيعة مراجعات الفيزياء . 1 : 58 – 71. أرخايف : 1810.05095 . دوى : 10.1038/s42254-018-0002-6 .
  11. ↑ كونتراكتور، نوشير؛ واسرمان، ستانلي؛ فاوست، كاثرين (2006). "اختبار الفرضيات متعددة النظريات والمستويات حول الشبكات التنظيمية: إطار تحليلي ومثال تجريبي" (ملف PDF) . مجلة أكاديمية الإدارة . 31 (3): 681-703 . doi : 10.5465/AMR.2006.21318925 . S2CID 10837327. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 25 فبراير 2020. 
  12. ↑ روبنز، ج.؛ باتيسون، ب.؛ كاليش، ي.؛ لوشر، د. (2007). "مقدمة في نماذج الرسوم البيانية العشوائية الأسية للشبكات الاجتماعية". الشبكات الاجتماعية . 29 (2): 173-191 . doi : 10.1016/j.socnet.2006.08.002 . hdl : 1959.3/216571 .
  13. ↑ نيومان، إم إي جيه (25 مارس 2010). "نماذج شبكية أخرى". الشبكات . ص 565-585 . ISBN  978-0-19-920665-0.
  14. ↑ بيشكين، ماكسيم؛ ستيفالا، أليكس؛ ميرا، أنطونيتا؛ روبينز، غاري؛ لومي، أليساندرو (31 يوليو 2018). " تقدير سريع لأقصى احتمال عبر توقع التوازن لبيانات الشبكات الكبيرة" . التقارير العلمية . 8 (1): 11509. arXiv : 1802.10311 . Bibcode : 2018NatSR...811509B . doi : 10.1038/s41598-018-29725-8 . ISSN 2045-2322 . PMC 6068132. PMID 30065311 .   
  15. ↑ ستيفالا، أليكس؛ روبينز، غاري؛ لومي، أليساندرو (24 يناير 2020). "تقدير معلمات نموذج الرسم البياني العشوائي الأسي للشبكات الموجهة الكبيرة جدًا" . PLOS ONE . 15 (1) e0227804. arXiv : 1904.08063 . Bibcode : 2020PLoSO..1527804S . doi : 10.1371/journal.pone.0227804 . ISSN 1932-6203 . PMC 6980401. PMID 31978150 .   
  16. 1 2 هانتر، د. ر.؛ هاندكوك، م. س. (2006). "الاستدلال في نماذج عائلة التوزيع الأسي المنحني للشبكات". مجلة الإحصاءات الحاسوبية والرسومية . 15 (3): 565-583 . CiteSeerX 10.1.1.205.9670 . doi : 10.1198/106186006X133069 . 

للمزيد من القراءة