امتداد مجموعة طوبولوجية

في الرياضيات ، وتحديدًا في المجموعات الطوبولوجية ، فإن امتداد المجموعات الطوبولوجية ، أو الامتداد الطوبولوجي ، هو متتالية تامة قصيرة${\displaystyle 0\to H{\stackrel {\imath }{\to }}X{\stackrel {\pi }{\to }}G\to 0}$ أين${\displaystyle H,X}$و${\displaystyle G}$هي مجموعات طوبولوجية و ${\displaystyle i}$و ${\displaystyle \pi }$ هي تماثلات متصلة مفتوحة أيضًا على صورها. ^{[ 1 ]} لذلك، فإن كل امتداد للمجموعات الطوبولوجية هو امتداد لمجموعة .

نقول إن الامتدادات الطوبولوجية

${\displaystyle 0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$

و

${\displaystyle 0\to H{\stackrel {i'}{\rightarrow }}X'{\stackrel {\pi '}{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$

تكون متكافئة (أو متطابقة) إذا وُجد تماثل طوبولوجي${\displaystyle T:X\to X'}$جعل الرسم التخطيطي للشكل 1 تبادليًا .

نقول إن الامتداد الطوبولوجي

${\displaystyle 0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$

يُعتبر امتدادًا منقسمًا (أو منقسمًا) إذا كان مكافئًا للامتداد التافه

${\displaystyle 0\rightarrow H{\stackrel {i_{H}}{\rightarrow }}H\times G{\stackrel {\pi _{G}}{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$

أين${\displaystyle i_{H}:H\to H\times G}$وهو الإدراج الطبيعي على العامل الأول و${\displaystyle \pi _{G}:H\times G\to G}$هو الإسقاط الطبيعي على العامل الثاني.

من السهل إثبات أن الامتداد الطوبولوجي ${\displaystyle 0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$ينقسم إذا وفقط إذا كان هناك تشاكل مستمر${\displaystyle R:X\rightarrow H}$بحيث${\displaystyle R\circ i}$خريطة الهوية على${\displaystyle H}$

لاحظ أن الامتداد الطوبولوجي${\displaystyle 0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$تنقسم المجموعة الفرعية إذا وفقط إذا كانت${\displaystyle i(H)}$هو مجموع مباشر طوبولوجي لـ${\displaystyle X}$

• يأخذ${\displaystyle \mathbb {R} }$الأرقام الحقيقية و${\displaystyle \mathbb {Z} }$الأعداد الصحيحة . خذ ${\displaystyle \imath }$الإدراج الطبيعي و${\displaystyle \pi }$الإسقاط الطبيعي. ثم

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} {\stackrel {\imath }{\to }}\mathbb {R} {\stackrel {\pi }{\to }}\mathbb {R} /\mathbb {Z} \to 0}$

هو امتداد للمجموعات الأبيلية الطوبولوجية. في الواقع، هو مثال على امتداد غير قابل للانقسام.

سيكون امتداد المجموعات الأبيلية الطوبولوجية عبارة عن متتالية تامة قصيرة${\displaystyle 0\to H{\stackrel {\imath }{\to }}X{\stackrel {\pi }{\to }}G\to 0}$أين${\displaystyle H,X}$و${\displaystyle G}$هي مجموعات أبيلية متراصة محلياً و ${\displaystyle i}$و ${\displaystyle \pi }$^{[ 2 ]} هي تماثلات مستمرة مفتوحة نسبياً.

• ليكن امتدادًا للمجموعات الأبيلية المدمجة محليًا

${\displaystyle 0\to H{\stackrel {\imath }{\to }}X{\stackrel {\pi }{\to }}G\to 0.}$

يأخذ${\displaystyle H^{\wedge },X^{\wedge }}$و${\displaystyle G^{\wedge }}$ثنائيات بونترياجين​${\displaystyle H,X}$و${\displaystyle G}$وخذ${\displaystyle i^{\wedge }}$و ${\displaystyle \pi ^{\wedge }}$ الخرائط المزدوجة لـ${\displaystyle i}$و ${\displaystyle \pi }$ثم التسلسل

${\displaystyle 0\to G^{\wedge }{\stackrel {\pi ^{\wedge }}{\to }}X^{\wedge }{\stackrel {\imath ^{\wedge }}{\to }}H^{\wedge }\to 0}$

هو امتداد للمجموعات الأبيلية المدمجة محليًا.

تُعدّ الامتدادات الطوبولوجية من النوع الخاص جدًا تلك التي تأخذ الشكل التالي:${\displaystyle 0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$أين${\displaystyle \mathbb {T} }$هي دائرة الوحدة و${\displaystyle X}$و${\displaystyle G}$هي مجموعات أبيلية طوبولوجية. ^{[ 3 ]}