مخطط تبادلي

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 21 صور
الموسوعة الحرة
المخطط التبادلي المستخدم في برهان اللمة الخامسة

في الرياضيات ، وخاصة في نظرية الفئات ، يُعرف المخطط التبادلي بأنه مخطط تؤدي فيه جميع المسارات الموجهة التي تبدأ وتنتهي من نفس النقطة إلى نفس النتيجة. [ 1 ] ويُقال إن المخططات التبادلية تؤدي في نظرية الفئات الدور الذي تؤديه المعادلات في الجبر . [ 2 ]

وصف

يتكون المخطط التبادلي عادةً من ثلاثة أجزاء:

  • الكائنات (المعروفة أيضًا باسم الرؤوس )
  • التشكلات (المعروفة أيضًا بالأسهم أو الحواف )
  • المسارات أو المركبات

رموز الأسهم

في نصوص الجبر، يمكن الإشارة إلى نوع التشكل باستخدامات مختلفة للأسهم:

  • يمكن تسمية الشكل الأحادي بـ↪{\displaystyle \hookrightarrow }[ 3 ] أو أ↣{\displaystyle \rightarrowtail }[ 4 ]​
  • يمكن تسمية التحول فوق الشكلي بـ↠{\displaystyle \twoheadrightarrow }.
  • يمكن تسمية التشاكل بـ→∼{\displaystyle {\overset {\sim }{\rightarrow }}}.
  • يمثل السهم المتقطع عادةً الادعاء بوجود التشاكل المشار إليه (عندما يكون باقي الرسم التخطيطي صحيحًا)؛ ويمكن تسمية السهم اختياريًا بـ∃{\displaystyle \exists }.
    • إذا كان التشاكل فريدًا بالإضافة إلى ذلك، فيمكن تسمية السهم المتقطع.!{\displaystyle !} أو∃!{\displaystyle \exists !} .
  • إذا كان التشكل يعمل بين سهمين (كما هو الحال في نظرية الفئات العليا )، فإنه يُطلق عليه اسم التحويل الطبيعي ويمكن تسميته بـ⇒{\displaystyle \Rightarrow }(كما هو موضح أدناه في هذه المقالة).

إن معاني الأسهم المختلفة ليست موحدة تمامًا: فالأسهم المستخدمة في أحاديات الشكل، والشكليات العليا، والتماثلات تستخدم أيضًا في الحقن ، والشموليات ، والتقابلات ، بالإضافة إلى التليف المشترك، والتليف، والتكافؤات الضعيفة في فئة النموذج .

التحقق من خاصية التبديل

تكون خاصية التبديل منطقية بالنسبة للمضلع ذي أي عدد محدود من الأضلاع (بما في ذلك ضلع واحد أو ضلعين فقط)، ويكون المخطط تبديليًا إذا كان كل مخطط فرعي مضلعي تبديليًا.

لاحظ أن المخطط قد يكون غير تبادلي، أي أن تركيب المسارات المختلفة في المخطط قد لا يعطي نفس النتيجة.

أمثلة

المثال 1

في الرسم البياني الأيسر، الذي يعبر عن نظرية التشاكل الأولى ، تعني خاصية التبديل للمثلث أنو=و~∘π{\displaystyle f={\tilde {f}}\circ \pi }في الرسم البياني الأيمن، تعني خاصية التبديل للمربعح∘و=ك∘ز{\displaystyle h\circ f=k\circ g}.

المثال 2

لكي يكون الرسم البياني أدناه قابلاً للتبادل، يجب استيفاء ثلاث معادلات:

  1. ر∘ح∘ز=ح∘جي∘ل{\displaystyle r\circ h\circ g=H\circ G\circ l}
  2. م∘ز=جي∘ل{\displaystyle m\circ g=G\circ l}
  3. ر∘ح=ح∘م{\displaystyle r\circ h=H\circ m}

بما أن المساواة الأولى تتبع من المساويتين الأخيرتين، يكفي إثبات صحة (2) و(3) لكي يكون المخطط تبادليًا. مع ذلك، ولأن المساواة (3) لا تتبع عادةً من المساويتين الأخريين، فلا يكفي عادةً وجود المساويتين (1) و(2) فقط لإثبات أن المخطط تبادلي.

تتبع المخططات

تتبع المخطط (أو البحث التخطيطي ) هو أسلوب إثبات رياضي يُستخدم خصوصًا في الجبر التماثلي ، حيث يتم إثبات خاصية معينة لتشاكل ما من خلال تتبع عناصر مخطط تبادلي. يتضمن الإثبات بتتبع المخطط عادةً الاستخدام الرسمي لخصائص المخطط، مثل التطبيقات أحادية أو شاملة ، أو المتتاليات التامة . [ 5 ] يتم بناء قياس منطقي ، حيث يكون التمثيل البياني للمخطط مجرد وسيلة مساعدة بصرية. ويترتب على ذلك أن المرء ينتهي به الأمر إلى "تتبع" العناصر حول المخطط، حتى يتم بناء العنصر أو النتيجة المطلوبة أو التحقق منها.

تشمل أمثلة البراهين عن طريق تتبع المخططات تلك التي يتم تقديمها عادةً لـ " الخمسة ليما" ، و "الثعبان ليما" ، و" الزيغ زاغ ليما" ، و" التسع ليما" .

في نظرية الفئات العليا

في نظرية الفئات العليا، لا يقتصر الأمر على دراسة الكائنات والأسهم فحسب، بل يشمل أيضًا دراسة الأسهم بين الأسهم، والأسهم بين الأسهم، وهكذا إلى ما لا نهاية . على سبيل المثال، تُعد فئة الفئات الصغيرة Cat فئة ثنائية بطبيعتها، حيث تمثل الدوال أسهمها، والتحويلات الطبيعية تمثل الأسهم بين الدوال. في هذا السياق، قد تتضمن المخططات التبادلية هذه الأسهم العليا أيضًا، والتي غالبًا ما تُصوَّر على النحو التالي:⇒{\displaystyle \Rightarrow }على سبيل المثال، يوضح الرسم التخطيطي التالي (البسيط نوعًا ما) فئتين C و D ، بالإضافة إلى دالتين F و G  : C → D وتحويل طبيعي α  : F ⇒ G :

يوجد نوعان من التكوين في فئة 2 (يسمى التكوين الرأسي والتكوين الأفقي )، ويمكن أيضًا تصويرهما من خلال لصق المخططات (انظر 2-category#Definitions للحصول على أمثلة).

الرسوم البيانية كدوال

يمكن تفسير المخطط التبادلي في فئة C على أنه دالة من فئة فهرس J إلى C؛ ويطلق على هذه الدالة اسم مخطط .

بصورة أدق، يُعد المخطط التبادلي تمثيلاً مرئياً لمخطط مُفهرس بفئة مجموعة جزئية مرتبة . ويتضمن هذا المخطط عادةً ما يلي:

  • عقدة لكل عنصر في فئة الفهرس،
  • سهم لمجموعة مولدة من التشكلات (مع استبعاد خرائط الهوية والتشكلات التي يمكن التعبير عنها كتركيبات)،
  • تبادلية المخطط (مساواة التراكيب المختلفة للخرائط بين كائنين)، والتي تتوافق مع تفرد الخريطة بين كائنين في فئة مرتبة جزئياً.

وعلى العكس من ذلك، إذا أُعطي مخطط تبادلي، فإنه يُعرّف فئة مرتبة جزئياً، حيث:

  • الكائنات هي العقد،
  • يوجد تماثل بين أي كائنين إذا وفقط إذا كان هناك مسار (موجه) بين العقدتين،
  • مع العلاقة التي مفادها أن هذا التشاكل فريد (أي تركيب للخرائط يتم تحديده بواسطة مجاله وهدفه: هذه هي بديهية التبادلية).

مع ذلك، لا يكون كل مخطط تبادليًا (مفهوم المخطط هو تعميم دقيق للمخطط التبادلي). كمثال بسيط، مخطط كائن واحد مع تشاكل داخلي (و:X→X{\displaystyle f\colon X\to X}أو بسهمين متوازيين (∙⇉∙{\displaystyle \bullet \rightrightarrows \bullet }، إنه،و،ز:X→Y{\displaystyle f,g\colon X\to Y}(يُطلق عليها أحيانًا اسم " السهم الحر ")، كما هو مستخدم في تعريف المُعادل ، لا يشترط أن تكون تبادلية. علاوة على ذلك، قد تكون المخططات معقدة أو مستحيلة الرسم عندما يكون عدد الكائنات أو التشكلات كبيرًا (أو حتى لانهائيًا).

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ وايسشتاين، إريك و. "مخطط التبادل" . mathworld.wolfram.com . تم الاسترجاع في 25 نوفمبر 2019 .
  2. ↑ مازولا، جويرينو؛ ميلمايستر، جيرار؛ فايسمان، جودي (2005). الرياضيات الشاملة لعلماء الحاسوب 2. سبرينغر. ص 140. doi : 10.1007/b138337 . ISBN  978-3-540-26937-3.
  3. ↑ "الرياضيات - نظرية الفئات - آرو - مارتن بيكر" . www.euclideanspace.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 نوفمبر 2019 .
  4. ↑ ريهل، إميلي (17-11-2016). "1". نظرية الفئات في السياق (ملف PDF) . منشورات دوفر. ص 11. 
  5. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "مطاردة المخططات" . mathworld.wolfram.com . تم الاسترجاع في 25 نوفمبر 2019 .

فهرس