المجموعة الطوبولوجية

يُعرَّف التشاكل بين المجموعات الطوبولوجية بأنه تشاكل مستمر بين المجموعات.${\displaystyle G\to H}$تشكل الزمر الطوبولوجية، بالإضافة إلى تشاكلاتها، فئة . يكون تشاكل الزمر بين الزمر الطوبولوجية متصلاً إذا وفقط إذا كان متصلاً عند نقطة ما . ^{[ 4 ]}

التشاكل بين الزمر الطوبولوجية هو تشاكل بين الزمر يكون أيضًا تشاكلًا طوبولوجيًا للفضاءات الطوبولوجية الأساسية. وهذا أقوى من مجرد اشتراط أن يكون التشاكل بين الزمر متصلًا، إذ يجب أن يكون معكوسه متصلًا أيضًا. وهناك أمثلة على زمر طوبولوجية متماثلة كزمر عادية، ولكنها ليست متماثلة كزمر طوبولوجية.

على سبيل المثال، لنفترض أن G هي أي زمرة. يمكننا تطبيق بنيتين طوبولوجية على الأقل عليها: البنية الطوبولوجية المنفصلة أو البنية الطوبولوجية غير المنفصلة، ​​وكلاهما يجعل عمليات الزمرة متصلة. نرمز للزمرة ذات البنية الطوبولوجية المنفصلة بـ${\displaystyle (G,{\mathcal {T}}_{1})}$والمجموعة ذات الطوبولوجيا غير المنفصلة كـ${\displaystyle (G,{\mathcal {T}}_{2})}$خريطة الهوية${\displaystyle I:(G,{\mathcal {T}}_{1})\to (G,{\mathcal {T}}_{2})}$محدد بواسطة${\displaystyle I(g)=g}$هو تماثل بين مجموعات متصلة، ولكنه ليس تماثلاً بين مجموعات طوبولوجية (إذا${\displaystyle G}$(ليست المجموعة التافهة).

طوبولوجيا كل مجموعة طوبولوجية هيثابت الترجمة ، وهو ما يعني بحكم التعريف أنه إذا كان لأي${\displaystyle a\in G,}$ينتج عن الضرب من اليسار أو اليمين بهذا العنصر تماثل شكلي${\displaystyle G\to G.}$ هذا يجعل كل مجموعة طوبولوجية فضاءً متجانسًا . وبالتالي، لأي${\displaystyle a\in G}$و${\displaystyle S\subseteq G,}$المجموعة الفرعية${\displaystyle S}$مفتوح (أو مغلق ) في${\displaystyle G}$إذا وفقط إذا كان هذا صحيحًا بالنسبة لترجمتها اليسرى${\displaystyle aS:=\{as:s\in S\}}$والترجمة الصحيحة${\displaystyle Sa:=\{sa:s\in S\}.}$ لو${\displaystyle {\mathcal {N}}}$هو أساس الجوار لعنصر الهوية في مجموعة طوبولوجية${\displaystyle G}$ثم للجميع${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x{\mathcal {N}}:=\{xN:N\in {\mathcal {N}}\}}$ هو أساس الحي${\displaystyle x}$في${\displaystyle G.}$^{[ 4 ]} على وجه الخصوص، فإن أي طوبولوجيا زمرة على زمرة طوبولوجية تتحدد تمامًا بواسطة أي أساس جوار عند عنصر الوحدة. إذا${\displaystyle S}$هي أي مجموعة جزئية من${\displaystyle G}$و${\displaystyle U}$هي مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle G,}$ثم${\displaystyle SU:=\{su:s\in S,u\in U\}}$هي مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle G.}$^{[ 4 ]}

عملية الانعكاس${\displaystyle g\mapsto g^{-1}}$على مجموعة طوبولوجية${\displaystyle G}$هو تماثل شكلي من${\displaystyle G}$لنفسه.

مجموعة فرعية${\displaystyle S\subseteq G}$يُقال إنها متناظرة إذا${\displaystyle S^{-1}=S,}$أين${\displaystyle S^{-1}:=\left\{s^{-1}:s\in S\right\}.}$إذا كانت E أي مجموعة جزئية من زمرة طوبولوجية G ، فإن المجموعات E⁻¹ ^∩ E و E⁻¹ ∪ ^E و E⁻¹ E متناظرة. بالنسبة لزمرة G ^{التبديلية} ، يكون إغلاق كل مجموعة متناظرة متناظرًا. ^{[ 4 ]}

لأي جوار N في زمرة طوبولوجية تبديلية G للعنصر المحايد، يوجد جوار متناظر M للعنصر المحايد بحيث يكون M⁻¹M ⊆ N، مع ملاحظة أن M⁻¹M هو بالضرورة جوار متناظر للعنصر المحايد . [ 4 ] وبالتالي ^{، فإن لكل زمرة طوبولوجية} أساس جوار عند العنصر المحايد يتكون من مجموعات متناظرة.

إذا كانت G زمرة تبديلية متراصة محليًا ، فإنه لأي جوار N في G لعنصر المحايد، يوجد جوار متناظر متراص نسبيًا M لعنصر المحايد بحيث يكون cl M ⊆ N (حيث cl M متناظر أيضًا). ^{[ 4 ]}

يمكن النظر إلى كل زمرة طوبولوجية على أنها فضاء منتظم بطريقتين؛ فالانتظام الأيسر يحوّل جميع عمليات الضرب من اليسار إلى دوال متصلة بانتظام، بينما يحوّل الانتظام الأيمن جميع عمليات الضرب من اليمين إلى دوال متصلة بانتظام. ^{[ 5 ]} إذا لم تكن G زمرة تبديلية، فلا يشترط أن تتطابق هاتان الطريقتان. تسمح البنى المنتظمة بالحديث عن مفاهيم مثل الاكتمال ، والاتصال المنتظم ، والتقارب المنتظم في الزمر الطوبولوجية.

إذا كانت U مجموعة جزئية مفتوحة من مجموعة طوبولوجية تبديلية G وتحتوي U ^على مجموعة مضغوطة K ، فإنه يوجد جوار N لعنصر المحايد بحيث KN ⊆ U. ^{[ 4} ]

باعتبارها فضاءً منتظماً، فإن كل زمرة طوبولوجية تبديلية منتظمة تماماً . وبالتالي، بالنسبة لزمرة طوبولوجية ضربية G ذات عنصر محايد 1، فإن ما يلي متكافئ: ^{[ 4 ]}

1. G هو فضاء T ₀ ( كولموغوروف )؛
2. G هو فضاء T ₂ ( هاوسدورف )؛
3. G هو T _{3 1 ⁄ 2} ( Tychonoff )؛
4. { 1 } مغلق في G ؛
5. { 1 }  := ∩ N ∈ 𝒩 N ، حيث 𝒩 هي أساس الجوار لعنصر الوحدة في G ؛
6. لأي${\displaystyle x\in G}$بحيث${\displaystyle x\neq 1,}$توجد جوار U في G لعنصر الوحدة بحيث${\displaystyle x\not \in U.}$

تكون المجموعة الفرعية لمجموعة طوبولوجية تبديلية منفصلة إذا وفقط إذا كان لها نقطة معزولة . ^{[ 4 ]}

إذا لم تكن G زمرة هاوسدورف، فيمكن الحصول على زمرة هاوسدورف بالانتقال إلى زمرة القسمة G / K ، حيث K هي إغلاق زمرة الوحدة. ^{[ 6 ]} وهذا يكافئ أخذ قسمة كولموغوروف لـ G.

يترك${\displaystyle G}$أن تكون زمرة طوبولوجية. وكما هو الحال مع أي فضاء طوبولوجي، نقول إن${\displaystyle G}$تكون قابلة للقياس إذا وفقط إذا وُجد مقياس${\displaystyle d}$على${\displaystyle G}$، مما يؤدي إلى نفس التكوين الطوبولوجي على${\displaystyle G}$مقياس${\displaystyle d}$على${\displaystyle G}$يُطلق عليه اسم

• ثابت من اليسار (أو ثابت من اليمين ) إذا وفقط إذا${\displaystyle d(ax_{1},ax_{2})=d(x_{1},x_{2})}$(على التوالي)${\displaystyle d(x_{1}a,x_{2}a)=d(x_{1},x_{2})}$) للجميع${\displaystyle a,x_{1},x_{2}\in G}$(بمعنى آخر،${\displaystyle d}$ثابت من اليسار فقط في حالة الخريطة${\displaystyle x\mapsto ax}$هو رسم متساوي القياس من${\displaystyle (G,d)}$لنفسه لكل${\displaystyle a\in G}$).
• صحيح إذا وفقط إذا كانت جميع الكرات مفتوحة،${\displaystyle B(r)=\{g\in G\mid d(g,\mathbf {1} )<r\}}$ل${\displaystyle r>0}$، هي مضغوطة مسبقًا.

تنص نظرية بيركوف-كاكتاني (المسماة على اسم عالمي الرياضيات غاريت بيركوف وشيزو كاكوتاني ) على أن الشروط الثلاثة التالية على مجموعة طوبولوجية${\displaystyle G}$متكافئة: ^{[ 7 ]}

1. ${\displaystyle G}$هو ( هاوسدورف و) قابل للعد الأول (بصورة مكافئة: عنصر الهوية)${\displaystyle \mathbf {1} }$مغلق في${\displaystyle G}$وهناك أساس قابل للعد للأحياء لـ${\displaystyle \mathbf {1} }$في${\displaystyle G}$).
2. ${\displaystyle G}$قابل للقياس (كمساحة طوبولوجية).
3. يوجد مقياس ثابت من اليسار على${\displaystyle G}$الذي يؤدي إلى الطوبولوجيا المعطاة على${\displaystyle G}$.
4. يوجد مقياس ثابت من اليمين على${\displaystyle G}$الذي يؤدي إلى الطوبولوجيا المعطاة على${\displaystyle G}$.

علاوة على ذلك، فإن ما يلي متكافئ لأي مجموعة طوبولوجية${\displaystyle G}$:

1. ${\displaystyle G}$هو فضاء ثان قابل للعد محليًا ومضغوط (هاوسدورف).
2. ${\displaystyle G}$هو فضاء بولندي ، مضغوط محلياً (هاوسدورف).
3. ${\displaystyle G}$قابلة للقياس بشكل صحيح (كمساحة طوبولوجية).
4. يوجد مقياس مناسب وثابت من اليسار على${\displaystyle G}$الذي يؤدي إلى الطوبولوجيا المعطاة على${\displaystyle G}$.

ملاحظة: كما هو الحال في بقية المقال، نفترض هنا طوبولوجيا هاوسدورف. الآثار المترتبة على ذلك 4${\displaystyle \Rightarrow }$3${\displaystyle \Rightarrow }$2${\displaystyle \Rightarrow }$1- ينطبق في أي فضاء طوبولوجي. على وجه الخصوص 3-${\displaystyle \Rightarrow }$2 صحيح، لأن أي فضاء متري مناسب هو اتحاد قابل للعد لمجموعات جزئية مترية مضغوطة، وبالتالي قابلة للفصل ( انظر خصائص الفضاءات المترية المضغوطة ). الاستلزام غير التافه 1${\displaystyle \Rightarrow }$تم إثبات المعادلة 4 لأول مرة بواسطة رايموند ستروبل في عام 1974. ^{[ 8 ]} تم تقديم نهج بديل من قبل أوفي هاجيروب وأجاتا برزيبشيفسكا في عام 2006، ^{[ 9 ]} وتتلخص فكرته فيما يلي: يعتمد المرء على بناء مقياس ثابت من اليسار،${\displaystyle d_{0}}$كما هو الحال في الفضاءات القابلة للعد الأولى . وبسبب التراص المحلي، فإن الكرات المغلقة ذات أنصاف الأقطار الصغيرة بما فيه الكفاية تكون متراصة، ومن خلال التطبيع يمكننا افتراض أن هذا ينطبق على نصف القطر${\displaystyle 1}$إغلاق الكرة المفتوحة،${\displaystyle U}$، نصف قطر${\displaystyle 1}$ينتج عن عملية الضرب مجموعة فرعية مفتوحة ومغلقة ،${\displaystyle H}$، ل${\displaystyle G}$، الذي يعتمد عليه المقياس${\displaystyle d_{0}}$هذا صحيح. بما أن${\displaystyle H}$مفتوح و${\displaystyle G}$إذا كانت المجموعة الفرعية قابلة للعد من الدرجة الثانية ، فإن المجموعة الفرعية تحتوي على عدد قابل للعد على الأكثر من المجموعات المشاركة. الآن، نستخدم هذا التسلسل من المجموعات المشاركة والمقياس على${\displaystyle H}$لبناء مقياس مناسب على${\displaystyle G}$.

كل زمرة جزئية من زمرة طوبولوجية هي نفسها زمرة طوبولوجية عند إعطائها طوبولوجيا الفضاء الجزئي . كل زمرة جزئية مفتوحة H هي أيضًا زمرة جزئية مغلقة في G ، لأن متممة H هي المجموعة المفتوحة المعطاة باتحاد المجموعات المشاركة gH لكل g ∈ G \ H ، وهي مجموعات مفتوحة. إذا كانت H زمرة جزئية من G ، فإن إغلاق H هو أيضًا زمرة جزئية. وبالمثل، إذا كانت H زمرة جزئية طبيعية من G ، فإن إغلاق H طبيعي في G.

إذا كانت H زمرة جزئية من G ، فإن مجموعة المشاركات اليسرى G / H ذات طوبولوجيا القسمة تسمى فضاءً متجانسًا لـ G. خريطة القسمة${\displaystyle q:G\to G/H}$تكون مفتوحة دائمًا . على سبيل المثال، بالنسبة لعدد صحيح موجب n ، فإن الكرة S ⁿ هي فضاء متجانس لمجموعة الدوران SO( n +1) في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$، حيث S ⁿ = SO( n +1)/SO( n ) . الفضاء المتجانس G / H هو فضاء هاوسدورف إذا وفقط إذا كان H مغلقًا في G. ^{[ 10 ]} لهذا السبب جزئيًا، من الطبيعي التركيز على المجموعات الفرعية المغلقة عند دراسة المجموعات الطوبولوجية.

إذا كانت H زمرة جزئية طبيعية من G ، فإن زمرة القسمة G / H تصبح زمرة طوبولوجية عند إعطاء طوبولوجيا القسمة. وتكون زمرة هاوسدورف إذا وفقط إذا كانت H مغلقة في G. على سبيل المثال، زمرة القسمة${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$متماثل مع مجموعة الدائرة S ¹ .

في أي زمرة طوبولوجية، يكون العنصر المحايد (أي العنصر المتصل الذي يحتوي على العنصر المحايد) زمرة جزئية طبيعية مغلقة. إذا كان C هو العنصر المحايد و a أي نقطة في G ، فإن المشاركة اليسرى aC هي عنصر G الذي يحتوي على a . لذا، فإن مجموعة جميع المشاركات اليسرى (أو اليمنى) لـ C في G تساوي مجموعة جميع عناصر G. ويترتب على ذلك أن زمرة القسمة G / C منفصلة تمامًا . ^{[ 11 ]}

في أي زمرة طوبولوجية تبديلية، يكون حاصل ضرب (بافتراض أن الزمرة ضربية) KC لمجموعة مضغوطة K ومجموعة مغلقة C مجموعة مغلقة. ^{[ 4 ]} علاوة على ذلك، لأي مجموعتين جزئيتين R و S من G ، فإن (cl R )(cl S ) ⊆ cl ( RS ) . ^{[ 4 ]}

إذا كانت H زمرة جزئية من زمرة طوبولوجية تبديلية G ، وكانت N جوارًا في G لعنصر المحايد بحيث تكون H ∩ cl N زمرة مغلقة، فإن H تكون زمرة مغلقة. ^{[ 4 ]} كل زمرة جزئية منفصلة من زمرة طوبولوجية تبديلية هاوسدورف تكون مغلقة. ^{[ 4 ]}

لا تنطبق نظريات التشاكل من نظرية الزمر العادية دائمًا على السياق الطوبولوجي. والسبب في ذلك هو أن التشاكل التقابلي ليس بالضرورة أن يكون تشاكلًا بين الزمر الطوبولوجية.

على سبيل المثال، النسخة الأصلية من نظرية التشاكل الأولى خاطئة بالنسبة للمجموعات الطوبولوجية: إذا${\displaystyle f:G\to H}$إذا كان تماثلًا بين مجموعات طوبولوجية (أي تماثلًا مستمرًا)، فليس بالضرورة أن يكون التماثل المستحث${\displaystyle {\tilde {f}}:G/\ker f\to \mathrm {Im} (f)}$هو تماثل بين الزمر الطوبولوجية؛ سيكون تقابلاً، وتماثلاً متصلاً، ولكنه ليس بالضرورة تماثلاً طوبولوجياً. بعبارة أخرى، ليس بالضرورة أن يكون له معكوس في فئة الزمر الطوبولوجية. على سبيل المثال، لننظر إلى دالة التطابق من مجموعة الأعداد الحقيقية المزودة بالطوبولوجيا المنفصلة إلى مجموعة الأعداد الحقيقية المزودة بالطوبولوجيا الإقليدية. هذا تماثل بين الزمر، وهو متصل لأن أي دالة من فضاء منفصل تكون متصلة، ولكنه ليس تماثلاً بين الزمر الطوبولوجية لأن معكوسه غير متصل.

توجد صيغة لنظرية التشاكل الأولى للمجموعات الطوبولوجية، والتي يمكن صياغتها على النحو التالي: إذا${\displaystyle f:G\to H}$إذا كان G تماثلًا مستمرًا، فإن التماثل المستحث من G /ker( f ) إلى im( f ) يكون تماثلًا إذا وفقط إذا كانت الدالة f مفتوحة على صورتها. ^{[ 12 ]}

ومع ذلك، فإن نظرية التشاكل الثالثة صحيحة حرفيًا تقريبًا بالنسبة للمجموعات الطوبولوجية، كما يمكن للمرء التحقق بسهولة.

ستفترض هذه المقالة من الآن فصاعدًا أن أي زمرة طوبولوجية ندرسها هي زمرة طوبولوجية تبادلية جمعية ذات عنصر محايد${\displaystyle 0.}$

قطر​​${\displaystyle X}$هي المجموعة $${\displaystyle \Delta _{X}:=\{(x,x):x\in X\}}$$ ولأي${\displaystyle N\subseteq X}$يحتوي على${\displaystyle 0,}$الحاشية المتعارف عليها أو المناطق المحيطة المتعارف عليها${\displaystyle N}$هي المجموعة $${\displaystyle \Delta _{X}(N):=\{(x,y)\in X\times X:x-y\in N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times \{y\}]=\Delta _{X}+(N\times \{0\})}$$

بالنسبة لمجموعة طوبولوجية${\displaystyle (X,\tau ),}$التوحيد المتعارف عليه ^{[ 21 ]} على${\displaystyle X}$هي البنية الموحدة الناتجة عن مجموعة جميع المرافق الأساسية${\displaystyle \Delta (N)}$مثل${\displaystyle N}$تمتد على جميع أحياء${\displaystyle 0}$في${\displaystyle X.}$

أي أنه الإغلاق التصاعدي للمرشح المسبق التالي على${\displaystyle X\times X,}$$${\displaystyle \left\{\Delta (N):N{\text{ is a neighborhood of }}0{\text{ in }}X\right\}}$$ حيث يشكل هذا المرشح المسبق ما يُعرف باسم قاعدة المرافقات للتجانس المتعارف عليه.

بالنسبة لمجموعة جمعية تبديلية${\displaystyle X,}$نظام أساسي من المرافقين${\displaystyle {\mathcal {B}}}$يُطلق عليها اسم التوحيد الثابت تحت الإزاحة إذا كان لكل${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$${\displaystyle (x,y)\in B}$إذا وفقط إذا${\displaystyle (x+z,y+z)\in B}$للجميع${\displaystyle x,y,z\in X.}$التوحيد${\displaystyle {\mathcal {B}}}$يُطلق عليه اسم "ثابت تحت الإزاحة" إذا كان لديه قاعدة من المرافقات التي تكون ثابتة تحت الإزاحة. ^{[ 22 ]}

• إن التماثل الكنسي على أي مجموعة طوبولوجية تبادلية يكون ثابتًا تحت الإزاحة.
• سينتج نفس التوحيد المتعارف عليه باستخدام أساس الجوار للأصل بدلاً من مرشح جميع جوارات الأصل.
• كل حاشية${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$يحتوي على القطر${\displaystyle \Delta _{X}:=\Delta _{X}(\{0\})=\{(x,x):x\in X\}}$لأن${\displaystyle 0\in N.}$
• لو${\displaystyle N}$متناظر (أي ،${\displaystyle -N=N}$) ثم${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$متناظر (بمعنى أن${\displaystyle \Delta _{X}(N)^{\operatorname {op} }=\Delta _{X}(N)}$) و ${\displaystyle \Delta _{X}(N)\circ \Delta _{X}(N)=\{(x,z):{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}x,z\in y+N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times (y+N)]=\Delta _{X}+(N\times N).}$
• الطوبولوجيا المستحثة على${\displaystyle X}$إن التوحيد المتعارف عليه هو نفسه الطوبولوجيا التي${\displaystyle X}$بدأ بـ (أي أنه${\displaystyle \tau }$).

تتضمن النظرية العامة للفضاءات المنتظمة تعريفها الخاص لـ "مرشح كوشي المسبق" و"شبكة كوشي". أما بالنسبة للانتظام المتعارف عليه في${\displaystyle X,}$ويؤدي هذا إلى التعريف الموضح أدناه.

يفترض${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$هي شبكة في${\displaystyle X}$و${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{j}\right)_{j\in J}}$هي شبكة في${\displaystyle Y.}$يصنع${\displaystyle I\times J}$إلى مجموعة موجهة عن طريق الإعلان${\displaystyle (i,j)\leq \left(i_{2},j_{2}\right)}$إذا وفقط إذا${\displaystyle i\leq i_{2}{\text{ and }}j\leq j_{2}.}$ثم ^{[ 23 ]}${\displaystyle x_{\bullet }\times y_{\bullet }:=\left(x_{i},y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$يشير إلى صافي المنتج . إذا${\displaystyle X=Y}$ثم صورة هذه الشبكة تحت خريطة الجمع${\displaystyle X\times X\to X}$يشير إلى مجموع هاتين الشبكتين: $${\displaystyle x_{\bullet }+y_{\bullet }:=\left(x_{i}+y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$$ وبالمثل، يُعرَّف الفرق بينهما بأنه صورة شبكة المنتج تحت خريطة الطرح: $${\displaystyle x_{\bullet }-y_{\bullet }:=\left(x_{i}-y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}.}$$

شبكة​${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$في مجموعة طوبولوجية جمعية${\displaystyle X}$يُطلق عليها اسم شبكة كوشي إذا ^{[ 24 ]}$${\displaystyle \left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0{\text{ in }}X}$$ أو ما يعادل ذلك، إذا كان لكل حي${\displaystyle N}$ل${\displaystyle 0}$في${\displaystyle X,}$يوجد بعض${\displaystyle i_{0}\in I}$بحيث ${\displaystyle x_{i}-x_{j}\in N}$لجميع المؤشرات${\displaystyle i,j\geq i_{0}.}$

متتالية كوشي هي شبكة كوشي التي تمثل متتالية.

لو${\displaystyle B}$هي مجموعة جزئية من مجموعة جمعية${\displaystyle X}$و${\displaystyle N}$هي مجموعة تحتوي على${\displaystyle 0,}$ثم${\displaystyle B}$يقال إنه${\displaystyle N}$- مجموعة صغيرة أو طلب صغير${\displaystyle N}$لو${\displaystyle B-B\subseteq N.}$^{[ 25 ]}

مرشح أولي${\displaystyle {\mathcal {B}}}$على مجموعة طوبولوجية جمعية${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم مرشح كوشي المسبق إذا استوفى أيًا من الشروط المكافئة التالية:

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0}$في${\displaystyle X,}$أين${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}:=\{B-C:B,C\in {\mathcal {B}}\}}$هو مرشح أولي.
2. ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0}$في${\displaystyle X,}$أين${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}}$هو مرشح مسبق مكافئ لـ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}.}$
3. لكل حي${\displaystyle N}$ل${\displaystyle 0}$في${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$يحتوي على بعض${\displaystyle N}$- مجموعة صغيرة (أي، يوجد بعض${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$بحيث${\displaystyle B-B\subseteq N}$). ^{[ 25 ]}

وإذا${\displaystyle X}$إذا كانت عملية التبديل تبادلية، فإن ذلك يشمل أيضًا:

4. لكل حي${\displaystyle N}$ل${\displaystyle 0}$في${\displaystyle X,}$يوجد بعض${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$وبعض${\displaystyle x\in X}$بحيث${\displaystyle B\subseteq x+N.}$^{[ 25 ]}

• يكفي التحقق من أي من الشروط المذكورة أعلاه لأي منطقة معينة على أساس الجوار${\displaystyle 0}$في${\displaystyle X.}$

يفترض${\displaystyle {\mathcal {B}}}$هو مرشح مسبق على مجموعة طوبولوجية تبادلية${\displaystyle X}$و${\displaystyle x\in X.}$ثم${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$في${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا${\displaystyle x\in \operatorname {cl} {\mathcal {B}}}$و${\displaystyle {\mathcal {B}}}$هو كوشي. ^{[ 23 ]}

تذكر أنه بالنسبة لأي${\displaystyle S\subseteq X,}$مرشح أولي${\displaystyle {\mathcal {C}}}$على${\displaystyle S}$هي بالضرورة مجموعة فرعية من${\displaystyle \wp (S)}$؛ إنه،${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S).}$

مجموعة فرعية${\displaystyle S}$من مجموعة طوبولوجية${\displaystyle X}$تُسمى المجموعة مجموعة جزئية كاملة إذا استوفت أيًا من الشروط المتكافئة التالية:

1. كل مرشح مسبق من كوشي${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S)}$على${\displaystyle S}$يتقارب إلى نقطة واحدة على الأقل من${\displaystyle S.}$
   • لو${\displaystyle X}$هل هاوسدورف هو كل مرشح مسبق على${\displaystyle S}$ستتقارب عند نقطة واحدة على الأكثر من${\displaystyle X.}$لكن إذا${\displaystyle X}$إذا لم يكن هاوسدورف، فقد يتقارب المرشح المسبق إلى نقاط متعددة في${\displaystyle X.}$وينطبق الأمر نفسه على الشباك.
2. كل شبكة كوشي في${\displaystyle S}$يتقارب إلى نقطة واحدة على الأقل من${\displaystyle S}$؛
3. كل مرشح كوشي${\displaystyle {\mathcal {C}}}$على${\displaystyle S}$يتقارب إلى نقطة واحدة على الأقل من${\displaystyle S.}$
4. ${\displaystyle S}$هو فضاء منتظم كامل (وفقًا لتعريف " الفضاء المنتظم الكامل " في طوبولوجيا مجموعة النقاط ) عندما${\displaystyle S}$يتمتع بالانتظام الذي يفرضه عليه الانتظام المتعارف عليه لـ${\displaystyle X}$؛

مجموعة فرعية${\displaystyle S}$تُسمى مجموعة جزئية كاملة تسلسليًا إذا كانت كل متتالية كوشي في${\displaystyle S}$(أو ما يعادل ذلك، كل مرشح/مرشح أولي من نوع كوشي على${\displaystyle S}$) يتقارب إلى نقطة واحدة على الأقل من${\displaystyle S.}$

• والأهم من ذلك، التقارب خارج${\displaystyle S}$مسموح به : إذا${\displaystyle X}$ليس من إنتاج هاوسدورف، وإذا كان كل مرشح مسبق من كوشي قيد التشغيل${\displaystyle S}$يتقارب إلى نقطة ما من${\displaystyle S,}$ثم${\displaystyle S}$ستكتمل العملية حتى لو تم تشغيل بعض أو كل مرشحات كوشي المسبقة${\displaystyle S}$كما أنها تتقارب إلى نقطة أو نقاط في المتمم${\displaystyle X\setminus S.}$باختصار، ليس هناك أي شرط يلزم أن تعمل مرشحات كوشي المسبقة هذه${\displaystyle S}$تتقارب فقط إلى نقاط في${\displaystyle S.}$وينطبق الشيء نفسه على تقارب شبكات كوشي في${\displaystyle S.}$
  • ونتيجة لذلك، إذا كانت المجموعة الطوبولوجية تبادلية${\displaystyle X}$إذا لم تكن مجموعة هاوسدورف ، فإن كل مجموعة جزئية من إغلاق${\displaystyle \{0\},}$يقول${\displaystyle S\subseteq \operatorname {cl} \{0\},}$هي كاملة (لأنها متراصة بوضوح، وكل مجموعة متراصة هي بالضرورة كاملة). لذا، على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle S\neq \varnothing }$(على سبيل المثال، إذا${\displaystyle S}$أ هي مجموعة أحادية مثل${\displaystyle S=\{0\}}$) ثم${\displaystyle S}$سيكون الأمر مكتملاً على الرغم من أن كل شبكة كوشي في${\displaystyle S}$(وكل مرشح مسبق من نوع كوشي على${\displaystyle S}$، يتقارب إلى كل نقطة في${\displaystyle \operatorname {cl} \{0\}}$(أدرج تلك النقاط في${\displaystyle \operatorname {cl} \{0\}}$التي ليست في${\displaystyle S}$).
  • يُظهر هذا المثال أيضًا أن المجموعات الجزئية الكاملة (بل وحتى المجموعات الجزئية المدمجة) لفضاء غير هاوسدورف قد لا تكون مغلقة (على سبيل المثال، إذا${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} \{0\}}$ثم${\displaystyle S}$يُغلق إذا وفقط إذا${\displaystyle S=\operatorname {cl} \{0\}}$).

مجموعة طوبولوجية تبادلية${\displaystyle X}$تُسمى المجموعة مجموعة كاملة إذا تحققت أي من الشروط المتكافئة التالية:

1. ${\displaystyle X}$تكتمل كمجموعة فرعية من نفسها.
2. كل شبكة كوشي في${\displaystyle X}$يتقارب إلى نقطة واحدة على الأقل من${\displaystyle X.}$
3. يوجد حي من${\displaystyle 0}$في${\displaystyle X}$وهذا أيضاً مجموعة فرعية كاملة من${\displaystyle X.}$^{[ 25 ]}
   • وهذا يعني أن كل مجموعة طوبولوجية تبادلية متراصة محلياً هي مجموعة كاملة.
4. عندما تتمتع بتجانسها المتعارف عليه،${\displaystyle X}$يصبح فضاءً منتظماً كاملاً .
   • في النظرية العامة للفضاءات المنتظمة ، يُطلق على الفضاء المنتظم اسم الفضاء المنتظم الكامل إذا كان كل مرشح كوشي فيه${\displaystyle X}$يتقارب في${\displaystyle (X,\tau )}$إلى حد ما من${\displaystyle X.}$

تُسمى المجموعة الطوبولوجية كاملة تسلسليًا إذا كانت مجموعة فرعية كاملة تسلسليًا من نفسها.

على أساس الجوار : لنفترض${\displaystyle C}$هو إكمال لمجموعة طوبولوجية تبادلية${\displaystyle X}$مع${\displaystyle X\subseteq C}$وذلك${\displaystyle {\mathcal {N}}}$هي قاعدة محلية للأصل في${\displaystyle X.}$ثم عائلة المجموعات $${\displaystyle \left\{\operatorname {cl} _{C}N:N\in {\mathcal {N}}\right\}}$$ هو أساس الجوار عند الأصل في${\displaystyle C.}$^{[ 23 ]}

استمرارية منتظمة

يترك${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$لتكن مجموعات طوبولوجية،${\displaystyle D\subseteq X,}$و${\displaystyle f:D\to Y}$كن خريطة. ثم${\displaystyle f:D\to Y}$تكون متصلة بانتظام إذا كان لكل جوار${\displaystyle U}$من أصل في${\displaystyle X,}$يوجد حي${\displaystyle V}$من أصل في${\displaystyle Y}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle x,y\in D,}$لو${\displaystyle y-x\in U}$ثم${\displaystyle f(y)-f(x)\in V.}$